椭圆焦点三角形面积公式在高考中的妙用

椭圆焦点三角形面积公式在高考中的妙用

定理 在椭圆122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，

θ=∠21PF F ，则2

tan

221θ

b S PF F =∆.

证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得

.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+

在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22

212

22

1c r r r r =-+θ

配方得：.4cos 22)(2

2121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242

212

c r r a =+-θ

.cos 12cos 1)(22

2221θ

θ+=+-=∴b c a r r

由任意三角形的面积公式得：

2tan 2

cos 22cos

2

sin

2cos 1sin sin 2122

222121θθθ

θ

θ

θθ⋅=⋅=+⋅==

∆b b b r r S PF F .

.2

tan 221θ

b S PF F =∴∆

同理可证，在椭圆122

22=+b

x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.

典题妙解

例1 若P 是椭圆

164

1002

2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积.

解法一：在椭圆

1641002

2=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ记.||,||2211r PF r PF == 点P 在椭圆上，

∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r

在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22

212

22

1c r r r r =-+θ

P

y F 1 O F 2 x

P

配方，得：.1443)(212

21=-+r r r r

.144340021=-∴r r 从而.3

256

21=

r r .3

36423325621sin 212121=⨯⨯==

∆θr r S PF F 解法二：在椭圆

1641002

2=+y x 中，642=b ，而.60︒=θ .3

3

6430tan 642

tan

221=

︒==∴∆θ

b S PF F 解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！

例 2 已知P 是椭圆

19252

2=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若2

1

|

|||2121=

⋅⋅PF PF PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C.

3 D.

3

3 解：设θ=∠21PF F ，则2

1

|

|||cos 2121=

⋅⋅=

PF PF PF PF θ，.60︒=∴θ .3330tan 92

tan

221=︒==∴∆θ

b S PF F

故选答案A.

例3（04湖北）已知椭圆19

162

2=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）

A.

59 B. 779 C. 49 D. 4

9或77

9

解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长4

9

2=a b ；若P 是直角顶点，设点P 到x 轴的距离为h ，则945tan 92

tan

221=︒==∆θ

b S PF F ，又,7)2(2

1

21h h c S PF F =⋅⋅=

∆ 97=∴h ，.7

7

9=

h 故答案选D.

金指点睛

1. 椭圆124

492

2=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ） A. 20 B. 22 C. 28 D. 24

2. 椭圆14

22

=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）

A. 0

B. 1

C. 3

D. 6

3. 椭圆14

22

=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，21PF PF ⋅的值为（ ）

A. 0

B. 2

C. 4

D. 2-

4．已知椭圆12

22=+y a

x （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，

则||||21PF PF ⋅的值为（ ） A ．1

B ．

3

1 C ．

3

4 D ．

3

2 5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上，直线1PF 与2PF 倾斜角的差为︒90，△21PF F 的面积是20，离心率为

3

5

，求椭圆的标准方程. 6．已知椭圆的中心在原点，1F 、2F 为左右焦点，P 为椭圆上一点，且21

|

|||212

1-=⋅⋅PF PF PF PF ，△21PF F 的面积是3，准线方程为3

3

4±=x ，求椭圆的标准方程.

参考答案

1. 解：24,902

21=︒==∠b PF F θ，∴2445tan 242

tan

221=︒==∆θ

b S PF F .

故答案选D.

2. 解：设θ=∠21PF F ， 12

tan

2

tan

221===∆θ

θ

b S PF F ，∴

︒=︒=90,452

θθ

，021=⋅PF PF .

故答案选A. 3. 解：3,1,2=

==c b a ，设θ=∠21PF F ， 2

tan

2

tan

221θ

θ

==∆b S PF F ，