3.3立方根导学案

3.3 立方根
【要点预习】
1.立方根的概念:如果一个数的 等于a ,这个数就叫做a 的立方根,也叫做a 的三次方根.记做 .
2.开立方的概念:求一个数的 的运算,叫做开立方.
3.立方根的性质:一个正数有一个 的立方根;一个负数有一个 的立方根;零的立方根是 .
【课前热身】
1. 8-的立方根是…………………………………………………………（ ） A ．22-
B ．2-
C ．3
22-
D ．3
2
2. 一个体积为8cm 3的正方体，其棱长是 cm. 答案：2
3.因为 的立方是27，所以27的立方根是 ，即3=27 . 答案：3 3 3
【讲练互动】
【例1】求下列各数的立方根.
27
182830.125450125--（），（），（），（），（）.
解：
312882,2;==3（）因为，故的立方根为即8 32(2)882,2;
-=---=-3
（）因为，故的立方根为即-8 3330.50.1250.1250.5,0.125
0.5;
=
=
（）因为，故的立方根为即 3
332727
3
2734,;51251255
1255
⎛⎫
-=-
---=- ⎪⎝⎭
（）因为，故的立方根是即 3350000,00.==（）因为，故的立方根为即
【绿色通道】一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根;零的立方根是0. 【变式训练】
1. 求下列各数的立方根：（1）－0.008；（2）()
12005
-.
解:（1）因为（－0.2）2=－0.008，所以－0.008的立方根为－0.2，即30.0080.2-=-； (2) 因为()
12005
-=1-,而3(1)1-=-,所以1-的立方根是1-,即31-=1-.
【例2】求下列各式的值：
（1）30.027；（2）3
1-；（3）3
63163--； 3
9342105
-（）. 解：（1）3027.0=3.03.033=；
（2）31-=33
)1(-=1-；
（3）3
16363--4
1)41()41(641333=--=--=--=； （）42931253431257
5
3
3-=-=-.
【黑色陷阱】注意根号内的“－”号可以移到根号外面；应把带分数化成假分数再开立方.
【变式训练】
2. 下列运算正确的是………………………………………………………………（ ） A. 33
33--=- B.
33
33=-
C.
33
33-=- D.
33
33-=-
解析：因为负数的立方根是负数.可从结果的正负来判断.A 、B 、D 选项的左边是负数,而右边是正数,所以A 、B 、D 不成立.
答案：C
【例3】”魔方”是一种形状为立方体的玩具,它由三层完全相同的九个小立方体组成,九个小立方体体积为243cm 2,求每个小立方体的棱长.
解：每个小立方体的棱长为x cm, 则9x 3=243, x 3=27, ∴x =3273=cm. 【变式训练】
3. 小燕制作了一个无盖的立方体纸盒,它的体积比棱长为4cm 的立方体的体积的一半还少5cm 3,求这个纸盒的表面积是多少?
解：设这个立方体的棱长为x cm ，则x 3=
12
×43
－5=27，∴x =3cm.
【同步测控】
基础自测 1.
等于……………………………………………………………（ ） A. 9 B. －9 C. 3 D. －3
2. 下列说法中正确的是………………………………………………………………（ ）
A.一个正数的平方根和立方根都只有一个
B.零的平方根和立方根是零
C.1的平方根与立方根都等于它本身
D.一个数的立方根与其自身相等的数只有－1 3.
3
8的相反数是…………………………………………………………（ ）
A ．2
B ．2-
C ．
1
2
D ．12
-
4.
3
0.001= ________．
5.一个立方体的体积是125立方米,则它的棱长为 .
6. 若30.2x x ==，____________.
7.
3
8
27
的绝对值为 ，相反数为 ，倒数为 . 8. －8的立方根与9的算术平方根的积是 . 9. 求下列各数的立方根：（1）61
164
； (2)9.
10. 如果一个球的体积为原来的8倍，那么它的半径为原来的多少倍？如果一个球的体积变为原来的27倍，那么它的半径变为原来的多少倍？如果球的体积变为原来的1000倍呢？变为原来的几倍呢？（球的体积公式为r V 3
3
4π=）.
能力提升
11. 一个数的立方根是它本身，则这个数是…………………………………………（ ）
A. 1
B. 0或1
C. －1或1
D. 1,0或－1
12. 若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是………………………………（ ）
A. 4
B. 4±
C. 2
D. 2± 13.我们知道:
3
3311,100010,0.0010.1===……利用以上规律,解下列问题：
已知3200812.62=,3 1.262a =,求a = .
14. 计算：(1)-⎛⎝ ⎫⎭
⎪⋅-13272
3； (2)2511446433---+.
15.求下列各式中的x ：
(1)02783
=+x ； (2)0125.0)1(3=--x . 创新应用
16. 已知3128x 是一个正整数,求满足条件的最小正整数x 的值.
参考答案
基础自测 1.
等于……………………………………………………………（ ） A. 9 B. －9 C. 3 D. －3 答案：D
2. 下列说法中正确的是………………………………………………………………（ ）
A.一个正数的平方根和立方根都只有一个
B.零的平方根和立方根是零
C.1的平方根与立方根都等于它本身
D.一个数的立方根与其自身相等的数只有－1 解析：一个正数的平方根有两个,它们互为相反数,故A 错误;1的平方根是1±,不是它本身,故C 错误; 一个数的立方根与其自身相等的数有三个,它们是1,1,0-,故D 错误.而零的平方根是零,立方根也是零.
答案：B 3.
3
8的相反数是…………………………………………………………（ ）
A ．2
B ．2-
C ．
1
2
D ．12
-
答案：B
4.
3
0.001= ________．
答案：0.1
5.一个立方体的体积是125立方米,则它的棱长为 .
答案：5米
6. 若30.2x x ==，____________.
解析：由立方根的概念可知x 就是0.2的立方. 答案：0.008 7.
3
8
27
的绝对值为 ，相反数为 ，倒数为 . 答案：
32 32- 23
8. －8的立方根与9的算术平方根的积是 .
答案：－6
9. 求下列各数的立方根：（1）61
1
64
；(2)9. 解：(1)因为3
512561()14
6464=
=，所以64611的立方根为54，即3615
1644
=. （2）9的立方根为39
10. 如果一个球的体积为原来的8倍，那么它的半径为原来的多少倍？如果一个球的体积变为原来的27倍，那么它的半径变为原来的多少倍？如果球的体积变为原来的1000倍呢？变为原来的几倍呢？（球的体积公式为r V 3
3
4π=）. 解：分别为2， 3，10倍. 能力提升
11. 一个数的立方根是它本身，则这个数是…………………………………………（ ）
A. 1
B. 0或1
C. －1或1
D. 1,0或－1 答案：D
12. 若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是………………………………（ ）
A. 4
B. 4±
C. 2
D. 2± 解析：平方根是8±的数是64, 而64的立方根即为4. 答案：64 13.我们知道:
3
3311,100010,0.0010.1===……利用以上规律,解下列问题：
已知3200812.62=,3 1.262a =,求a = .
解析：被开方数扩大或缩小1000倍, 立方根的运算结果就相应地扩大或缩小10倍. 反之, 由于立方根缩小到原来的10倍, 故被开方数缩小到原来的1000倍.
答案：2.008
14. 计算：(1)-⎛⎝ ⎫⎭
⎪⋅-13272
3；(2)2511446433---+. 解：(1) 原式=()1
313⨯-=-；
(2) 原式=5－(－1)－12+4=－2. 15.求下列各式中的x ：
(1)02783
=+x ；(2)0125.0)1(3
=--x .
分析：先化成a
b
x =
3
的形式，再根据立方根的定义求解. 解：（1）由02783
=+x 得，8273
-
=x . ∴2
3)23(827323-=-=-=x . （2）由0125.0)1(3=--x 得，125.0)1(3=-x ,
∴5.0)5.0(125.0133
3===-x , 即5.1=x .
创新应用
16. 已知3128x 是一个正整数,求满足条件的最小正整数x 的值.
解：∵128=25, 且3128x 是一个正整数, ∴128x 必为立方数, 最小为26,
即x 最小正整数值为2. 。