高等数学2-3高阶导数隐函数求导

.
解: y a x ln a ,
x 2 y a (ln a ) ,
y a x (ln a )3 ,

y
( n)
a (ln a )
x
n
例6
设 y sin x, 求y ( n) . 解 y cos x sin( x ) sin(x ) sin( x ) 2 2 2 y sinx sin(x ) sin( x 2 ) 2 y cos( x 2 ) sin( x 3 ) 2 2 (n) y sin( x n ) 2 (n) 同理可得 (cos x ) cos( x n ) 2
若 n, 则
y
( n)
( x ) n! ,
n ( n)
y ( n 1) (n! ) 0.
( x )( n )
( 1)( n 1) x n ( n) n! ( n) 0 ( n)
例如：( x 5 )( 6) 0
(2)幂指函数 u( x )v ( x ) .
如y x sin x .
y u( x )v ( x )
等式两边取对数得
( u( x ) 0)
ln y v( x ) ln u( x )
两边对x求导得 u( x) y v ( x) ln u ( x) v( x) u ( x) y v ( x )u( x ) v( x) y u( x ) [v ( x ) ln u( x ) ] u( x )
例 设 y x sin x ( x 0), 求y. 解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x 上式两边对x求导得 1 1 y cos x ln x sin x y x 1 y y(cos x ln x sin x ) x
x
消参数困难或无法消参数 如何求导.
x a(t sint ) 例如 y a(1 cost )
x (t ) 参数方程 所确定函数的导数为 y (t ) dy dy dt d y ( t ) 即 d x ( t ) dx dx dt
（参数方程所确定函数的二阶导公式不需掌握。）
x a(t sint ) 所确定函数在 t 处的导数。 例 求由 2 y a(1 cost )
解
dy dy dt a sin t sin t d x dx a a cos t 1 cos t dt
dy dx
t

2

sin

2
1 cos
即
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求隐函数的导数时,只要记住x是自变量, y是x的函数, 于是y的函数便是x的复合函数, 将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数 y 的方程. 从中解出即可.
虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来 了,当然结果中仍含有变量y. 一般来说,隐函数 求导, 允许在 y的表达式中含有变量y.
dy 练习 设 sin y xe 0, 求 . dx
( x 3 6 x 2 5 x 1)( 3) 3! 6
例4 设 y e x , 求y( n) .
x x x ( n) x x y e , , y e , y e , ( e ) e . 解
例5 设 y a , 求 y
x
( n)

2
1.
四、小结
高阶导数的定义;
几个常用的基本初等函数的n阶导数公式 (幂函数n阶导公式);
隐函数求导法则 将方程两边对x求导. 注意:变量y是x的函数. 对数求导法 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导. dy 参数方程求导
dy dt dx dx dt
sin(x n ) 2
cos(x n ) 2
( 3) (sinx )
( n)
(4) (cos x )
( n)
二、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 . 由 表示的函数 , 称为显函数 .
例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 .
三、由参数方程所确定的函数的导数
x (t ) 若参数方程 y ( t ) 确定 y与x的 函数关系 称此为由参数方程所确定的函数. x x 2t , t 如 消去参数 t 2 2 y t , 2 2 1 x x 2 y x yt 2 2 4
一、高阶导数的定义
高阶导数也是由实 际需要而引入的.
问题:变速直线运动的加速度. 设 s s(t ),则瞬时速度为 v(t ) s(t )
t的变化率 加速度 a是 速度v对时间
a( t ) v ( t ) [ s( t )]' 这就是二阶导数的物理意义
将f ( x )的导数称为 f ( x )的 二阶导数.
二、 高阶导数求法举例
直接法: 由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例1 求下列函数二阶导数。
(1) y sinx
(2) y ln( 1 x2 ) (3) y (1 x 2 ) arctanx
例2：设f ( x )二阶可导，求 y x 2 f (ln x )的二阶导数。
解：
例3
设 y x ( R), 求y ( n) .
y (x 1 ) ( 1) x 2 y (( 1) x 2 ) ( 1)( 2) x 3
解 y x 1

y ( n) ( 1)( n 1) x n (n 1)
y
解
利用隐函数求导法.
将方程两边对x求导,得 cos y y 1 e y x e y y 0
解出 y , 得
ey y cos y xe y
3. 对数求导法
作为隐函数求导法的一个简单应用, 介绍 对数求导法, 它可以利用对数性质使某些函数的 求导变得更为简单. 方 法 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的
4
因x=0时y=0, 故
例2. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y y 3 3 y3 3
2 2
3 3 故切线方程为 y 3 ( x 2) 2 4
几个常用高阶导数公式
(1) (a )
x ( n)
a ln a (a 0)
x n
(e x ) ( n ) e x
( 2) ( x )( n )
( 1)( n 1) x n ( n) n! ( n) 0 ( n)
求导法求出导数.
--------对数求导法
适 (1) 许多因子相乘除、乘方、开方的函数. 用 ( x 1) 3 x 1 于 如y , 2 x ( x 4) e
( x 1) 3 x 1 例 设 y , 求y . 2 x ( x 4) e
解 等式两边取对数得 1 ln y ln( x 1) ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3 上式两边对x求导得 隐函数
1 1 1 2 y 1 y x 1 3( x 1) x 4
( x 1)3 x 1 1 1 2 y [ 1] 2 x x 1 3( x 1) x 4 ( x 4) e
有些显函数用对数求导法很方便.
例如, 两边取对数 a ln y x ln a [ ln b ln x ] b[ ln x ln a ] b 两边对x求导 y a a b ln b x x y
1 y 2 xf (ln x ) x f (ln x ) x 2 xf (ln x ) xf (ln x )
2
y [2 xf (ln x ) xf (ln x )] 1 1 2 f (ln x ) 2 xf (ln x ) f (ln x ) xf (ln x ) x x 2 f (ln x ) 2 f (ln x ) f (ln x ) f (ln x )
sin x
sin x (cos x ln x ) x
例题
设x y , 求y.
y x
解 等式两边取对数得 y ln x x ln y,
上式两边对x求导得 y x y ln x ln y y, x y
xy ln y y 2 y . 2 xy ln x x
函数f ( x )的n阶导数, 记作
n n d y d f ( x) (n) (n) f ( x ), y , 或 . n n dx dx 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
注意：（1）f ( 0) ( x ) f ( x ) f (1) ( x ) f ( x )
( 2) 若f ( n ) ( x )存在，则f ( x )所有低于n阶 的导数都存在。
d2 y d2 f ( x ) . 记作 f ( x ), y, 2 或 2 dx dx
d3y . 二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x ), y, 3 dx 4 d y (4) (4) 三阶导数的导数称为四阶导数, f ( x ), y , . 4 dx
一般地, 函数f ( x )的n 1阶导数的导数称为
隐函数求导方法:
两边对 x 求导( 注意 y = y(x) )
(含导数 y 的方程)
例1. 求由方程
在 x = 0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导
确定的隐函数
得
dy dy 6 1 21x 0 5y 2 dx dx d y 1 21x 6 4 dx 5 y 2