直接开平方,配方法,因式分解法
228.因式分解(完全平方公式)(试题+参考答案)
完全平方公式 【目标导航】 1．理解完全平方公式的意义； 2．能运用完全平方公式进行多项式的因式分解． 【例题选讲】 例1（1）把2 2 9124b ab a +-分解因式． （2）把22816y x xy +-分解因式． （3）把2 4 11x x ++分解因式． （4）把xy y x 4422-+分解因式． 练习：把下列各式分解因式： （5）．1692 +-t t （6）．4 12 r r +- （7）．2 36121a a +- （8）．42 2 4 2b b a a +- 例2．把下列各式分解因式： （9）．122++n n m m （10）．2 2 2n m mn -- （11）．ax y ax y ax ++2232 （12）．22224)1(4)1(a a a a ++-+ 练习：把下列各式分解因式： （13）．n n m m y y x x 42242510+- (14)．222y xy x -+- (15)21222 + -x x (16)16 1)(21)(2 +---y x y x (17)n n m m y y x x 2245105-+- 例3．把下列各式分解因式： (18)．222)1(4+-a a (19)．2 )(4y x y x -- 练习：把下列各式分解因式： (20)．2 2 2 )4 1(+ -m m (21)．2 2 2 22 4)(b a b a -+ (22)．)(42 s t s s -+- (23)．1)3)(2)(1(++++x x x x 例4(24)．已知05422 2 =+++-b b a a 求 b a ,的值． 【课堂操练】 一．填空： （25）．-2 x （ ）+29y =（x - 2) （26）．+-2 4 4x x =-2(x 2) （27）．++x x 32 =+x ( 2) （28）．++2 2520r r =（ +52)r 二．填空，将下列各式填上适当的项，使它成 为完全平方式（2 2 2b ab a ++）的形式： （29）．+-x x 2 （30）．++ 2 2 4 1y x （31）．2 42x xy -+ （32）．++ 2 4 4 14b a （33）．++4 69n m （34）．+-x x 52 三．把下列各式分解因式： （36）．2 44x x +- （37）．49142 ++x x （38）．9)(6)(2++-+n m n m （39）．n n n x x x 7224212 +-++ 【课后巩固】 一．填空 1．（ ）2 +=+22520y xy （ ）2 ． 2．=+?-2 2 7987981600800（ -- 2)= ． 3．已知3=+y x ，则 222 1 21y xy x ++= ． 4．已知0106222=++-+y x y x 则=+y x ． 5．若4)3(2+-+x m x 是完全平方式，则数 m 的值是 ． 6．158 -能被20至30之间的两个整数整除，那么这两个整数是 ． 二．把下列各式分解因式： 7．3 2 2 31212x x y xy -+ 8．4 4 2 44 4)(y x y x -+ 9．2 2248)4(3ax x a -+ 10．2 2 2 2 )(4)(12)(9b a b a b a ++-+-
配方法及其应用(题目)
配方法及其应用 初一（ ）班 学号：_______ 姓名：____________ 一、配方法： 将一个式子变为完全平方式，称为配方，它是完全平方公式的逆用。配方法是一种重要的数学方法，它是恒等变形的重要手段，又是求最大最小值的常用方法，在数学中有广泛的应用。 配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简，何时配方需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方，有时也将其称为“凑配法”． 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2 ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(a －b )2＋2ab ； a 2＋a b ＋b 2＝(a ＋b )2－ab ＝(a －b )2 ＋3ab ＝? ????a ＋b 22＋? ????32b 2； a 2＋b 2＋c 2＋ab ＋bc ＋ca ＝12 [(a ＋b )2＋(b ＋c )2＋(c ＋a )2]． 下面举例说明配方法的应用： 一、求字母的值 【例1】已知a ，b 满足a 2＋2b 2－2ab －2b ＋1＝0，求a ＋2b 的值． 分析:可将含x,y 的方程化为两个非负数和为0的形式,从而求出两个未知数的值. 解：∵a 2＋2b 2－2ab －2b ＋1＝0， ∴a 2＋b 2－2ab ＋b 2－2b ＋1＝0， ∴(a －b )2＋(b －1)2＝0. ∵(a －b )2≥0，(b －1)2≥0， ∴a －b ＝0，b －1＝0， ∴a ＝1，b ＝1， ∴a ＋2b ＝1＋2×1＝3， ∴a ＋2b 的值是3. 变式练习： 1、已知,6134222x xy x y x =+++则x,y 的值分别为___ ___.
初二数学利用公式法(完全平方公式)因式分解课堂
设计思路： 教师是学习活动的引导者和组织者，学生是课堂的主人。教师在教学中要充分体现教师的导向作用，尊重学生的个体差异，选择适合自己的学习方式，鼓励学生自主探索与合作交流，让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生的直觉并且运用基本方法进行相关的验证，指导学生注重数学知识之间的联系，不断提高解决问题的能力。 教学过程： 师生问好，组织上课。 师：我们在初一第二学期就已经学习了乘法完全平方公式,请一位同学用文字语言来描述一下这个公式的内容？ 生1：（答略） 师：你能用符号语言来表示这个公式吗？ 生1：（a＋b）2=a2＋2ab＋b2（a－b）2=a2－2ab＋b2 师：不错，请坐。由此我们可以看出完全平方公式其实包含几个公式？ 生齐答：两个。 师：接下来有两道填空题，我们该怎么进行填空？ a2＋＋1=(a＋1)24a2－4ab＋=(2a－b)2 生2：（答略） 师：你能否告诉大家，你是根据什么来进行填空的吗？ 生2：根据完全平方公式，将等号右边的展开。 师：很好。（将四个式子分别标上○1○2○3○4） 问题：○1、○2两个式子由左往右是什么变形？ ○3、○4两个式子由左往右是什么变形？ 生3：（答略） 师：刚才的○1和○2是我们以前学过的完全平方公式，那么将这两个公式反过来就有：
a2＋2ab＋b2=（a＋b）2a2－2ab＋b2=（a－b）2（板书） 问题：这两个式子由左到右的变形又是什么呢？ 生齐答：因式分解。 师：可以看出，我们已将左边多项式写成完全平方的形式，即将左边的多项式分解因式了。 这两个公式我们也将它们称之为完全平方公式，也是我们今天来共同学习的知识（板书课题） 师：既然这两个是公式，那么我们以后遇到形如这种类型的多项式可以直接运用这个公式进行分解。这个公式到底有哪些特征呢？请同学们仔细观察思考一下，同座的或前后的同学可以讨论一下。 （经过讨论之后） 生4：左边是三项，右边是完全平方的形式。 生5：左边有两项能够写成平方和的形式。 师：说得很好，其他同学有没有补充的？ 生6：还有一项是两个数的乘积的2倍。 师：这“两个数的乘积”中“两个数”是不是任意的？ 生6：不是，而是刚才两项的底数。 师：刚才三位同学都回答得不错，每人都找出了一些特征。再请一位同学来综合一下。 生7：左边的多项式要有三项，有两项是平方和的形式，还有一项是这两个数的积的2倍。右边是两个数的和或差的平方。 教师在学生回答的基础上总结： 1)多项式是三项式 2)有两项都为正且能够写成平方的形式 3)另一项是刚才写成平方项两底数乘积的2倍，但这一项可以是正，也可以是负 4)等号右边为两平方项底数和或差的平方。
解一元二次方程(直接开方法-配方法)练习题100+道
解一元二次方程练习题(配方法) 1．用适当的数填空： ①、x 2+6x+ =（x+ ）2； ②、x 2－5x+ =（x － ）2； ③、x 2+ x+ =（x+ ）2； ④、x 2－9x+ =（x － ）2 2．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，?所以方程的根为_________． 3．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 4．把方程x 2+3=4x 配方，得（ ） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 5．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ） A ．2 B ．-2 C ． D ．6．用配方法解下列方程： （2）x 2+8x=9 （3）x 2+12x-15=0 （4）4 1 x 2 -x-4=0 7.用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、0142 =-x 2、2)3(2=-x 3、()512 =-x 4、()162812 =-x 8.用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662 =--y y 2、x x 4232 =- 3、9642=-x x 4、01322=-+x x 5、07232=-+x x 6、01842 =+--x x 7.用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、0142 =-x 2、2)3(2=-x 3、()512 =-x 4、()162812 =-x 8.用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232 =- 3、9642=-x x 2 2 2
完全平方公式——配方法
完全平方公式——配方法 一．选择题（共2小题） 1．（2018?宜宾模拟）已知x2+mx+25是完全平方式，则m的值为（）A．10 B．±10 C．20 D．±20 2．（2017秋?凉州区期末）若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于（） A．3 B．﹣5 C．7 D．7或﹣1 二．填空题（共1小题） 3．（2017秋?资中县期末）小丽在计算一个二项式的平方时，得到正确结果m2﹣10mn+■，但最后一项不慎被墨水污染，这一项应是． 三．解答题（共7小题） 4．（2016秋?卢龙县期末）将多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方．则添加单项式的方法共有多少种？请写出所有的式子及演示过程． 5．（2012秋?仪征市校级月考）小明在做作业时，不慎把墨水滴在纸上，将一个三项式前后两项污染得看不清楚了，中间项是12xy，请帮他把前后两项补充完整，使它成为完全平方式，有几种方法？（至少写出三种不同的方法） 三项式：■+12xy+■=2． （1）； （2）； （3）．
6．（2012春?都江堰市校级期中）如果a2﹣2（k﹣1）ab+9b2是一个完全平方式，那么k=． 7．已知4x2﹣100x+m是完全平方式，求m的值并说明理由． 8．已知x2﹣（m﹣1）xy+49y2是一个完全平方式，求m的值． 9．将下列式子配成完全平方式： （1）1﹣0.5 （2）8+4． 10．若9（x﹣y）2+M+4是一个完全平方公式，求M的表达式．
完全平方公式——配方法 参考答案与试题解析 一．选择题（共2小题） 1．B． 2．D． 二．填空题（共1小题） 3．25n2． 三．解答题（共7小题） 4．解：添加的方法有5种，其演示的过程分别是（1分） 添加4x，得4x2+1+4x=（2x+1）2；（2分） 添加﹣4x，得4x2+1﹣4x=（2x﹣1）2；（3分） 添加4x4，得4x2+1+4x4=（2x2+1）2；（4分） 添加﹣4x2，得4x2+1﹣4x2=12；（5分） 添加﹣1，得4x2+1﹣1=（2x）2．（6分） 5．解：（1）4x2+12xy+9y2=（2x+3y）2； （2）4x2y2+12xy+9=（2xy+3）2； （3）x2y2+12xy+36=（xy+6）2； 故答案为：（1）4x2+12xy+9y2=（2x+3y）2；（2）4x2y2+12xy+9=（2xy+3）2；（3）x2y2+12xy+36=（xy+6）2 6．解：∵a2﹣2（k﹣1）ab+9b2=a2﹣2（k﹣1）ab+（3b）2， ∴﹣2（k﹣1）ab=±2×a×3b， ∴k﹣1=3或k﹣1=﹣3， 解得k=4或k=﹣2． 即k=4或﹣2． 7．解：m=25．理由如下： ∵4x2﹣100x+m是完全平方式， ∴100x=2×2x×，
完全平方式法因式分解
合峪中学高效课堂 八年级数学（上册）导学案 1 课题：因式分解(完全平方公式法)（29、30） 授课班级：八年级 授课时间： 授课教师： 审核人：牛晓云 学习目标. 能熟练运用公式将多项式进行因式分解 学习重难点：掌握完全平方公式法进行因式分解. 一自主学习⑴提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)⑵运用公式法： ①a 2-b 2=(a+b)(a-b) 练习 把下列各式分解因式 （1）24 ax ax - ② x 4-16 二、合作探究（a+b ）2 = (a-b)2 = 2222()a ab b ++=2222()a ab b ++= 从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)的平方,另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍. 从符号看：平方项符号相同(即：两平方项的符号同号，首尾2倍中间项)填一填 判断因式分解正误，并写出正确过程 (1)-x 2-2xy-y 2= -(x-y)2 (2)a 2+2ab-b 22 )(b a -= 总结与反思：1:、整式乘法的完全平方公式是： 2:、利用完全平方公式分解因式的公式形式是： 3:、完全平方公式特点： ①含有三项；②两平方项的符号同号；③首尾2倍中间项 三、拓展延伸例题(①x 2 ＋14x ＋49 ② 9)(6)(2++-+n m n m ③ 3ax 2＋6axy ＋3ay 2 ④ -x 2-4y 2＋4xy ⑤229124b ab a ++ ⑥ 16x 4-8x 2＋1 四、堂清反馈1、知识检测： (1)25x 2＋10x ＋1 2269)2(b ab a +- ab b a 1449)3(2 2++ (4)-a 2-10a -25 (5)-a 3b 3+2a 2b 3-ab 3 (6)9 - 12(a-b) + 4 (a-b)2 (7)x 2-12xy+36y 2 (8)16a 4+24a 2b 2+9b 4 (9) -2xy-x 2-y 2 (10)4-12(x-y)+9(x-y)2 2、知识提高： (1)若x 2-8x+m 是完全平方式,则m= (2) 若9x 2+axy+4y 2是完全平方式,则a=( ) A. 6 B. 12 C. ±6 D. ±12 (3)提高计算：(y 2 + x 2 )2 - 4x 2y 2 (a+1)2-2(a 2-1) ＋(a-1)2 2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+- )3(492b a b a -- (4)已知x 2+4x+y 2-2y+5=0,求 x-y 的值 【课后反思】 () 2 22 2a b a ab b ±=±+() 2 222a ab b a b ±+=±2 2363ay axy ax ++
高中数学方法篇之配方法
高中数学方法篇之配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab； a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b 2 )2＋（ 3 2 b）2； a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝1 2 [(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2] a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2； x2＋1 2 x ＝(x＋ 1 x )2－2＝(x－ 1 x )2＋2 ；……等等。 一、再现性题组： 1. 在正项等比数列{a n }中，a 1 ?a 5 +2a 3 ?a 5 +a 3 ?a 7 =25，则 a 3 ＋a 5 ＝_______。 2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。 A. 1 4
因式分解——完全平方公式
14.3.2公式法（完全平方公式） 一、内容及内容解析 1.内容：本节课的主要内容是利用完全平方公式进行因式分解。 2.内容解析：本节是人教版八年级上册第十四章14. 3.2公式法的内容。主要是利用完全 平方公式进行因式分解。因式分解是整式的一种重要的恒等变形，它和整式的乘法，尤其 是多项式的乘法关系十分密切。因式分解的几种基本方法都是直接依据整式乘法的各个法则和乘法公式。完全平方公式是一种重要的因式分解的方法，学好用完全平方公式因 式分解，是学生进一步学习数学不可或缺的工具。 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：能准确判断全平方公式，会用完全平方公式进行因式分解。 二、目标及目标解析 1.目标： （1）知道完全平方式的特征，会用完全平方公式分解因式； （2）能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式。 2.目标解析： 达成目标（1）的具体标志是：学生通过自学，小组合作的方式，能准确说出完全平方式 的特征、并会判断一个式子是否是完全平方式，是哪两个数的完全平方和（或差），从而将这个式子进行因式分解。 达成目标（2）的具体标志是：学生能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式，并 且会判断一个式子是否已经分解到最简，还能否继续分解。从而培养学生的观察和联想能力。 再以课堂习题加以巩固，提高学生灵活运用知识的能力，使新知识得到巩固和升华。 三、教学问题诊断分析 在知识上：学生在学习用完全平方公式因式分解之前，已经学习了用平方差公式因 式分解。这两种方法都是整式乘法的逆运用，所以应先复习整式乘法中的完全平方公式， 再学习用公式法分解因式，可以加强学生对公式的熟练使用。 在思想上：学生个体有所差异，所以应准备不同梯度的题目，让不同层次的学生 尝试完成不同难度的题目，从而达到让“差生吃好，优生吃饱”的教学效果。另外，平 方差公式与完全平方公式都有平方项，容易混淆，讲解时应加以区分。 基于以上分析，确定本节课的教学难点是：能准确判断完全平方式，并能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式。 四、教学过程设计： ●教学基本流程：课前回顾——揭示（学习）目标——指导自学——巡视自学——检查（自学）效果——讨论（学生），点拨（教师）——当堂训练——课后小结 ●教学情景： （一）课前回顾： 1.因式分解的定义: 把一个（）化成几个（）的积的形式。 练一练: 2a-2= ；a2-1= ；2a2-2= ； 因式分解要注意：有公因式先提公因式;分解因式要彻底
因式分解完全平方
上课班级：江苏省如东县景安初中初二（6）班邮编：226441 上课教师：唐国栋e－mail：guodong.tang@https://www.360docs.net/doc/b55143781.html, 设计思路： 教师是学习活动的引导者和组织者，学生是课堂的主人。教师在教学中要充分体现教师的导向作用，尊重学生的个体差异，选择适合自己的学习方式，鼓励学生自主探索与合作交流，让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生的直觉并且运用基本方法进行相关的验证，指导学生注重数学知识之间的联系，不断提高解决问题的能力。 教学过程： 师生问好，组织上课。 师：我们在初一第二学期就已经学习了乘法完全平方公式,请一位同学用文字语言来描述一下这个公式的内容？ 生1：（答略） 师：你能用符号语言来表示这个公式吗？ 生1：（a＋b）2=a2＋2ab＋b2（a－b）2=a2－2ab＋b2 师：不错，请坐。由此我们可以看出完全平方公式其实包含几个公式？ 生齐答：两个。 师：接下来有两道填空题，我们该怎么进行填空？ a2＋＋1=(a＋1)24a2－4ab＋=(2a－b)2 生2：（答略） 师：你能否告诉大家，你是根据什么来进行填空的吗？ 生2：根据完全平方公式，将等号右边的展开。 师：很好。（将四个式子分别标上○1○2○3○4） 问题：○1、○2两个式子由左往右是什么变形？ ○3、○4两个式子由左往右是什么变形？ 生3：（答略） 师：刚才的○1和○2是我们以前学过的完全平方公式，那么将这两个公式反过来就有：a2＋2ab＋b2=（a＋b）2a2－2ab＋b2=（a－b）2（板书） 问题：这两个式子由左到右的变形又是什么呢？ 生齐答：因式分解。 师：可以看出，我们已将左边多项式写成完全平方的形式，即将左边的多项式分解因式了。 这两个公式我们也将它们称之为完全平方公式，也是我们今天来共同学习的知识（板书课题） 师：既然这两个是公式，那么我们以后遇到形如这种类型的多项式可以直接运用这个公式进行分解。这个公式到底有哪些特征呢？请同学们仔细观察思考一下，同座的或前后的同学可以讨论一下。 （经过讨论之后） 生4：左边是三项，右边是完全平方的形式。 生5：左边有两项能够写成平方和的形式。 师：说得很好，其他同学有没有补充的？ 生6：还有一项是两个数的乘积的2倍。 师：这“两个数的乘积”中“两个数”是不是任意的？ 生6：不是，而是刚才两项的底数。 师：刚才三位同学都回答得不错，每人都找出了一些特征。再请一位同学来综合一下。
完全平方与配方法
完全平方公式与配方法 马升爱 学习目标： 1.理解完全平方公式及其应用； 2.掌握配方法； 3.熟练用配方法因式分解和解一元二次方程； 4.在配方的过程中体会“转化”的思想，掌握一些转化的技能。 学习重难点：理解并掌握配方法及其应用。 学习过程： 一.完全平方公式记忆 完全平方公式（a＋b）2 = （a-b）2 = 1. 运用完全平方公式计算: (1) (x+3y)2= （2）(-a-b)2= (3)（x＋y）·（2x＋2y）= (4)（a＋b）·（－a－b）= (5)(a+b+c)2= 分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。所以在运用公式 时，可先变形为或或者，再进行计算． 2、公式的变形： 练习：已知实数a、b满足（a＋b）2=10，ab=1。求下列各式的值： （1）a2+b2；（2）（a－b）2 二.配方法
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式2222)(b ab a b a +±=± 1．把下列各式配成完全平方式 （1）()22_________21-=+-x x x （2）()22___________32+=++ x x x （3）()22__________-=+-x x a b x （4）()22____25____-=+-x x x 2．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 3.配方法应用： ③x 2+6x+4= x 2+6x+ - +4=(x+ )2- ④x 2+4x+1=x 2+4x+ - +1=(x+ )2- ⑤x 2-8x-9=x 2-8x+ - -9=(x- )2- ⑥x 2+3x-4=x 2+3x+ - -4=(x+ )2- 4. 用配方法解一元二次方程． 其步骤是： ①化二次项系数为1，并把常数项移项到方程的另一侧，即把方程化为 q px x -=+2的形式；②方程两边都加上22??? ??p ，把方程化为44222q p p x -=?? ? ??+ ③当042≥-q p 时，利用开平方法求解． （1）．用配方法解方程01322=++ x x ，正确的解法是（ ）． A ．3223198312±-==??? ??+x x ， B ．98312-=?? ? ??+x ，原方程无实数根． C ．35295322±-==??? ??+x x ， D ．95322 -=??? ??+x ，原方程无实数根．
利用完全平方公式因式分解(教案)
4.3.2利用完全平方公式因式分解 授课时间：2019.4.11下午第二节指导老师：陈平老 师 授课班级：八年（1）班授课教师：邱振荣老师 授课地点：M1春晖楼阶梯教室级别：区级 一、教学目标： (一)知识与技能： 1.了解运用公式法分解因式的意义. 2.理解并掌握完全平方式的概念、特征，会用完全平方公式分解因式. 3.清楚地知道通常情况下提公因式法是因式分解首先考虑的方法,然后再考虑用公式法进行因式分解. (二)过程与方法： 经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用完全平方公式分解因式的方法的过程,发展逆向思维和推理能力. (三)情感态度与价值观： 通过对公因式是多项式时的因式分解的教学,培养“换元”的意识，体验数学的化归转化思想. 二、教学重点： 掌握用完全平方公式分解因式. 三、教学难点： 学会观察多项式的特点,恰当地安排步骤,恰当地选用不同方法分解因式. 四、教学方法： 问答法、讲授法、练习法、演示法 五、教学用具： PPT 六、教学过程： 第一环节练习引入 1.把下列各式因式分解： （1）x2–2x；（2）x2–1 ；（3）x2–2x+1 . 2.回顾（乘法公式）完全平方公式： (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 第二环节探究新知 1、引导学生把上述完全平方公式反过来： a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 a2－2ab＋b2＝(a－b)2 2、“公式法” 根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式（如平方差、完全平方公式）把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法. 3、探究：完全平方式 (1)形如a2±2ab＋b2的多项式称为完全平方式. a2 ± 2·a·b ＋ b2 ? ? ? ? ?
利用完全平方公式因式分解
15.5.２利用完全平方公式因式分解 一、回顾 与 思考 、因式分解的方法有 种，分别是 2、提取公因式法 ma+mb+mc= 3、平方差公式法 a 2-b 2 = 4、能用平方差公式进行因式分解的多项式有什么特点？ 5、分解因式一直到不能分解为止.所以分解后一定检查括号内是否能继续分解. 分解因式 2222 41(1)49 (2)(3)94(4)1625 a x x y x -- --+ 6、 二、新知: (1) a 2＋2ab ＋b 2 (2) a 2－2ab ＋b 2 三、探究： 完全平方公式：()2 22 2a ab b a b ++=+ 公式应用的特征:左边 ： 结果： 四、练一练 1:下列各多项式哪些能用完全平方式因式分解?若是,请找出相应的a 和b. 22222(4)44 (5)14(6)441(7)a a a b b a ab b -+++-++ 五、例1:把下列各式因式分解 例2：分解因式22(1)363ax axy ay ++ （2）2()12()36a b a b +-++ 六、练一练 1、分解因式 七、灵活运用 1、已知51 =+x x ，那么221x x +=_______。 2、12142++mx x 是一个完全平方式，则m =_______。 3、分解因式()()49142 ++-+y x y x =____________________。 八、随堂检测 () 2 __________________ a b +=() 2 __________________ a b -=() 2 222a ab b a b -+=-()211236x x ++()2222y x xy ++-()2 223y x xy +--()211236x x ++2(2)16249 x x ++()22 344x xy y -+-()()22221123622(3)21 y y xy x y a a ++---++()()2223 22 444152(6)363x x ax a x a x xy y -+++-+-()()()2 22 2211236 22(3)21 4441 a a a b a b x x y y ++---++-+
解一元二次方程 直接开方法、配方法、公式法的计算
直接开方法与配方法 一 直接开方法 形如()()02 ≥=-b b a x 的方程，可用直接开平方法，求得方程的根为：()0≥±=b b a x 。 例3．解方程： （1）()512=-x （2）()162812 =-x （3）()()22322+=-x x （4）01532 =+x 4．一般的一元二次方程，可用配方法求解。其步骤是： ①化二次项系数为1，并把常数项移项到方程的另一侧，即把方程化为q px x -=+2的形式； ②方程两边都加上22??? ??p ，把方程化为44222q p p x -=??? ? ?+； ③当042≥-q p 时，利用开平方法求解。 1．把下列各式配成完全平方式 （1）()22__________-=+-x x a b x （2） ()22____25____-=+-x x x （2）()22___________3 2+=++x x x 10．关于x 的方程()2222b ab a a x ++=-的根是 。 11．把方程0562=+-x x 化成()k m x =+2 的形式，则m =_______，k =_________。 例4.用配方法解下列方程： （1）0542=--x x （2）01322 =-+x x （3）01842=+--x x （4）0222=-+n mx x
练习 3．方程052=x 的解是（ ） A ．有一个解x =0 B ．有两个解x 1=x 2=0 C ．有一个解51= x D ． 以上都不对 4．方程()()02>=-q q p x 的根是（ ） A ．q p x ±= B ．q p x ±-= C ．q p x ±±= D ．)(q p x ±±= 5．用配方法解方程01322=++ x x ，正确的解法是（ ） A ．3223198312±-==??? ??+x x ， B ．98312-=??? ? ?+x ，原方程无实数根。 C ．35295322±-==??? ??+x x ， D ．95322 -=??? ? ?+x ，原方程无实数根。 9．方程()()22132+=-x x 的解是 。 2．用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ） A ．08022=--x x ，化为()8112=-x B ．0352 =--x x ，化为437252=??? ??-x C ．0982 =++t t ，化为()2542=+t D ．02432=-+t t ，化为910322=??? ??+t 3．将二次三项式6422+-x x 进行配方，正确的结果是（ ） A ．()4122--x B ．()4122+-x C ．()2222--x D ．()2222 +-x 16.用配方法解下列方程： （1） 01722=++x x （2）()00222>=--m m mx x （3）012=--x x （4）02932=+-x x
用完全平方公式因式分解练习
用完全平方公式因式分解练习 例1（1）把229124b ab a +-分解因式． （2）把2 2816y x xy +-分解因式． （3）把241 1x x ++分解因式． （4）把xy y x 4422-+分解因式． 练习：把下列各式分解因式： （5）．1692+-t t （6）．412 r r +- （7）．236121a a +- （8）．42242b b a a +- 例2．把下列各式分解因式： （9）．122++n n m m （ 10）．222n m mn -- （11）．ax y ax y ax ++2232 （12）．22224)1(4)1(a a a a ++-+
练习：把下列各式分解因式： （13）．n n m m y y x x 42242510+- (14)．222y xy x -+- (15)21222+-x x (16)16 1)(21)(2+---y x y x (17)n n m m y y x x 2245105-+- 例3．把下列各式分解因式： (18)．222)1(4+-a a (19)．2)(4y x y x -- 练习：把下列各式分解因式： (20)．222)4 1 (+-m m (21)．222224)(b a b a -+ (22)．)(42 s t s s -+- (23)．1)3)(2)(1(++++x x x x 例4(24)．已知054222=+++-b b a a 求b a ,的值．
【课堂操练】 一．填空： （25）．-2x （ ）+29y =（x - 2 ) （26）．+-244x x =-2(x 2) （27）．++x x 32 =+x ( 2) （28）．++22520r r =（ +52 )r 二．填空，将下列各式填上适当的项，使它成为完全平方式（222b ab a ++）的形式： （29）．+-x x 2 （30）．++22 4 1y x （31）．242x xy -+ （32）．++24414b a （33）．++469n m （34）．+-x x 52 三．把下列各式分解因式： （36）．244x x +- （37）．49142 ++x x （38）．9)(6)(2++-+n m n m （39）．n n n x x x 7224212+-++ 【课后巩固】 一．填空 1．（ ）2+=+2 2520y xy （ ）2． 2．=+?-227987981600800（ -- 2)= ． 3．已知3=+y x ，则222 121y xy x ++= ．
因式分解(公式法之完全平方公式与平方差公式)
因式分解基础习题 （公式法） 专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1.24x - 2.2 9y - 3.21a - 4.224x y - 5.2125b - 6.222 x y z - 7.2240.019m b - 8.2219 a x - 9.2236m n - 10.2249x y - 11.220.8116a b - 12.222549p q - 13.2422a x b y - 14.41x - 15. 44411681 a b m - 题型(二)：把下列各式分解因式 1.22()()x p x q +-+ 2. 22 (32)()m n m n +-- 3.2216()9()a b a b --+ 4.22 9()4()x y x y --+ 5.22()()a b c a b c ++-+- 6.22 4()a b c -+ 题型(三)：把下列各式分解因式 1.53x x - 2.22 4ax ay - 3.322ab ab -
4.316x x - 5.2433ax ay - 6.2 (25)4(52)x x x -+- 7.324x xy - 8.343 322x y x - 9.4416ma mb - 10.238(1)2a a a -++ 11.416ax a -+ 12.2216()9()mx a b mx a b --+ 题型(四)：利用因式分解解答下列各题 1.证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。 2.计算 ⑴22758258- ⑵22429171- ⑶223.59 2.54?-? ⑷222221 1111(1)(1)(1)(1)(1) 234910---???-- 专题训练二：利用完全平方公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1.221x x ++ 2.2441a a ++ 3. 2169y y -+ 4.2 14m m ++ 5. 221x x -+ 6.2816a a -+
因式分解练习题(完全平方公式)
因式分解练习题（完全平方公式）一、选择题 1．已知y2+my+16是完全平方式，则m的值是（）A．8 B．4 C．±8 D．±4 2．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（）A．x2-6x-9 B．a2-16a+32 C．x2-2xy+4y2D．4a2-4a+1 3．下列各式属于正确分解因式的是（） A．1+4x2=（1+2x）2B．6a-9-a2=-（a-3）2 C．1+4m-4m2=（1-2m）2D．x2+xy+y2=（x+y）2 4．把x4-2x2y2+y4分解因式，结果是（） A．（x-y）4B．（x2-y2）4 C．[（x+y）（x-y）]2D．（x+y）2（x-y）2 二、填空题 5．已知9x2-6xy+k是完全平方式，则k的值是________．6．9a2+（________）+25b2=（3a-5b）2 7．-4x2+4xy+（_______）=-（_______）． 8．已知a2+14a+49=25，则a的值是_________． 三、解答题 9．把下列各式分解因式： (1)a2+10a+25 (2)m2-12mn+36n2
(3)xy3-2x2y2+x3y (4)（x2+4y2）2-16x2y2 （5）a4-6a2+9 （6）4a2+12ab+9b2 10．已知x=-19，y=12，求代数式4x2+12xy+9y2的值．11．已知│x-y+1│与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值．
四、探究题 12．你知道数学中的整体思想吗解题中，?若把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体变形，?从不同的方面确定解题策略，能使问题迅速获解． 你能用整体的思想方法把下列式子分解因式吗 ①（x+2y）2-2（x+2y）+1 ②（a+b）2-4（a+b-1） 13、已知a2+10ab+25b2与｜b-2｜互为相反数，求a+b的值
完全平方公式第一课时教案(新北师大版)
1.6.1完全平方公式 教材分析 本节内容主要研究的是完全平方公式的推导和公式在整式乘法中的应用。完全平方公式是初中代数的一个重要组成部分，是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，而且公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过对公式的学习来简化某些整式的运算，且在以后学习因式分解、解一元二次方程、配方法、勾股定理、二次函数求最大值（最小值）及图形面积计算都有举足轻重的作用。 一、知识与技能 1、理解完全平方公式的意义，熟记完全平方公式结构特征； 2、能运用完全平方公式进行简单的计算。 3、经历探索完全平方公式的过程，并从完全平方公式的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展逻辑推理能力和有条理的表达能力。 二、过程与方法 1、经历探索过程，学会归纳推导出某种特定类型乘法并用简单的数学式子表达出，即给出公式。 2、在探索过程的教学中，培养学生观察、归纳的能力，发展学生的符号感和语言描述能力。 三、情感与态度 以探索、归纳公式和简单运用公式这一数学学习的成功体验，增加学习数学和使用数学的信心，爱数学的兴趣。 教学重点： 理解完全平方公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，正确运用公式。 教学难点： 公式的推导及对公式含义的理解。 教学方法： 学生探索归纳与教师讲授结合（建议小组合作学习） 课前准备： 投影仪、幻灯片 四、教学过程设计 （一）复习回顾，引出课题
1、回顾平方差公式的结构特征； 学生口述平方差公式及其结构特征。 2、下面算式能否运用平方差公式计算?请计算出结果。 （1）(m+3)2 = (m+3) (m+3) = ____; （2）(2-x)2=(2-x)(2-x) = ; 教师巡视，检查学生完成情况，关注学困生的完成情况，及时辅导、表扬和鼓励。 【设计意图】通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算，既复习了旧知，又为下面学习完全平方公式作了铺垫，让学生感受从一般到特殊的认识规律，引出乘法公式----完全平方公式． （二）合作探究，获得新知 1.探索新知，尝试发现 问题：你能从式子中发现什么规律？回答下列问题： ①式子的左边具有什么共同特征？②它们的结果有什么特征？③能不能用字母表示你的发现？ 师生活动：让学生观察算式及结果，通过自主探究、与小组进行合作交流，发现规律。教师提问，教师鼓励大胆表达意见,积极与小组同伴合作,讨论,交流,然后统一看法，得出式子左边是两个数的和或这两个数的差的平方，右边是三项式，其中两项是左边二项式中两项的平方和，另一项是左边二项式中两项乘积的两倍。 【设计意图】让学生积极参与数学再创造活动，化特殊为一般，培养数学建模思想，化归思想。使抽象、枯燥的公式变得生动、趣味，突破难点。让学生体验成功的快乐，自己是数学的主人。 2.总结归纳，发现新知 师生共同总结： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a－b)2=a2－2ab+b2 这两个公式叫做完全平方公式。 问题：①这两个公式有何相同点与不同点？②你能用自己的语言叙述这两个公式
初中数学 完全平方公式因式分解 专题复习练习题 含答案
用完全平方公式因式分解 专题复习练习题1．下列各式是完全平方式的是( ) A．x2＋2x－1 B．9＋x2－3x C．x2＋xy＋y2 D．x2－x＋1 4 2．已知x2＋4mx＋16是完全平方式，则m的值为( ) A．2 B．±2 C．6 D．±6 3. 因式分解4－4a＋a2，正确的结果是( ) A．4(1－a)＋a2 B．(2－a)2 C．(2－a)(2＋a) D．(2＋a)2 4. 把2xy－x2－y2因式分解，结果正确的是( ) A．(x－y)2 B．(－x－y)2 C．－(x－y)2 D．－(x＋y)2 5. 分解因式(x－1)2－2(x－1)＋1的结果是( ) A．(x－1)(x－2) B．x2 C．(x＋1)2 D．(x－2)2 6. 若a＋b＝3，则2a2＋4ab＋2b2－6的值为( ) A．12 B．6 C．3 D．0 7. 计算1002－2×100×99＋992的结果为( ) A．1 B．－1 C．2 D．－2 8. 已知a＝2 014x＋2 015，b＝2 014x＋2 016，c＝2 014x＋2 017，则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 9. 不论x，y为任何实数，x2＋y2－4x－2y＋8的值总是( ) A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数 10. 在多项式4x2＋1中，添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单
项式是__________________．(写出一个即可) 11．若x 2－14x ＋m 2是完全平方式，则m ＝__________． 12. 在括号内填上适当的因式： 25x 2＋10x ＋1＝( )2 13. 如图，利用1个a×a 的正方形，1个b×b 的正方形和2个a×b 的长方形可拼成一个正方形，从而可得到因式分解 的公式为_______________________________ ． 14. 因式分解： －4a 2＋4a －1 15. 把下列各式分解因式： (1)(x ＋y)2－4xy ； (2)a 4－b 4. 16. 因式分解： a 2 b －4ab ＋4b 17. 若ab ＝，a ＋b ＝，求多项式a 3b ＋2a 2b 2＋ab 3的值．3854