概率21离散型随机变量及其分布.ppt

PX
i
a
2 3
i
,
i
1,2,3
（2） P X
k
b
2 k 3
,
k =1,2, …,
试确定常数a、b .
概率论
例3 已知
X 1 0 2
P
1 4
21 3 12
求下列事件的概率：P{X <-1}， P{X ≤-1}，P{0≤X <0.5}
概率论
三、几种常见的离散型分布
含义（适用的随机试验）、取值、分布律、记号
（I）0-1分布（也称两点分布） 1.含义：随机变量X为一重伯努利试验结果。 2.取值： X =0，1
3.分布律：若
概率论
X 0 1 0 p 1 q 1 p
P qp
则称r.v. X服从参数为p的0-1分布。
4.记号： X~B（1，p）
概率论
（II）二项分布
1.含义：随机变量X为n重伯努利试验中事 件A发生（成功）的次数。
事件及 事件概率
随机变量及其 取值规律
概率论
随机变量的分类
我们将研究两类随机变量：
离散型随机变量:
随 随机变量的取值为有限个或可数无限多个。
机 变 量
如“取到次品的个数”，“收到的呼 叫数”等.
连续型随机变量：
随机变量的取值为若干个有限或无限区间。
如“电视机的寿命”，实际生活中 常遇到的“测量误差”等.
第二章
概率论
随机变量及其分布
•描述方法：分布函数
离散型：概率分布 连续型：概率密度
函数的分布
概率论
第二章 随机变量及其分布
第一节 离散型随机变量及其分布 第二节 随机变量的分布函数 第三节 连续型随机变量及其概率密度 第四节 随机变量函数的分布 习题课
概率论
第一节 离散型随机变量及其分布
随机变量 离散型随机变量的概率分布 几种常见的离散型分布
称这种定义在样本空间Ω上的实值单值函数X= X(e) 为
简记为 r.v.
概率论
定义：设随机试验的样本空 间为Ω，如果对每个样本点 ω，有一个实数X与之相对 应，则有一个定义在Ω上的 单值实函数X=X(ω)，称之 为随机变量。
概率论
随机变量通常用大写字母 X,Y,Z,W,N 等表示
而表示随机变量所取的值时, 一般采用小写字母 x, y, z, w, n 等.
概率论
一、随机变量（random variable，简记为r.v.）
在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来 表示，由此就产生了随机变量的概念.
概率论
1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一 个数）.
例如，掷一颗骰子出现的点数； 每天进入一号楼的人数；
昆虫的产卵数； 九月份大连的最高温度；
概率论
概率论
随 离散型随机变量 机 变 量
连续型随机变量
这两种类型的随机变量因为都是随机变量， 自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不 同，又有其各自的特点.
学习时请注意它们各自的特点和描述方法.
概率论
二、离散型随机变量的概率分布
看一个例子 从中任取3 个球
取到的白球数X是一个随机变量 .
(1) X 可能取的值是0,1,2 ; (2) 取每个值的概率为:
概率论
离散型随机变量表示方法
（1）公式法
P { X xk } pk , k 1, 2,
（2）列表法
X x1 x2
xk
pk p1 p2
pk
概率论
例1 袋中有标号为1、2、3、4的球若 干，从中任取一个，取到各球的概率 与球上的号码成反比，求取到的球的 标号X的概率分布。
概率论
例2 设随机变量X的分布律为（1）
概率论
这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值 单值函数.
e.
X(e)
R
这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函 数不一样！
概率论
（1）它随试验结果的不同而取不同的值（变异 性），因而在试验之前只知道它可能取值的范围， 而不能预先肯定它将取哪个值（随机性）.
（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于 是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值 也有一定的概率.
P{X
0}
C
3 3
C
3 5
1 10
概率论
P{ X
1}
C32C21 C53
6 10
P{X
2}
C
31C
2 2
C
3 5
3 10
定义1、随机变量X的所有可能取值是有限多个或 可列无限多个, 这种随机变量称为离散型随机变量 （discrete random variable，简记为d.r.v.） .
概率论
概率论
引入随机变量的意义
有了随机变量, 随机试验中的各种事件，就可 以通过随机变量的关系式表达出来.
如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数 用X表示，它是一个随机变量.
事件{收到不少于1次呼叫} { X 1}
{没有收到呼叫} {X= 0}
概率论
随机变量概念的产生是概率论发展史上的重 大事件. 引入随机变量后，对随机现象统计规律 的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对 随机变量及其取值规律的研究.
2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但 我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就 是说，把试验结果数值化.
正如裁判员在运 动场上不叫运动 员的名字而叫号 码一样，二者建 立了一种对应关 系.
概率论
（1）抽取产品检验是否合格
（2）投篮直到投中为止，观察投篮次数
（3）公交车站每10分钟过一辆车，观察候 车时间
定义2、设 xk (k=1,2, …) 是离散型随机变量 X 所取
的所有可能取值，称 P { X xk } pk , k 1, 2,
为离散型随机变量 X 的分布律.
其中 pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk≥0
k=1,2, …
（2） pk 1
k
用这两条性质 判断一个函数 是否是分布律
2.取值： X =0，1，…， n
3.分布律：若
PX
k
C
k n
pk (1
p)nk ,
k 0,1, , n,0 p 1
则称r.v. X服从参数为n ，p的二项分布。
4.记Βιβλιοθήκη Baidu： X~B（ n ，p）
概率论
例1.概率期末考试中有5道单选题，某同学全不会，
只能猜测答案。问他能猜对3道或3道以上的概率？
解: 设X为猜对的题数 . 则 X ~ B (5, 0.25)，
P{X
k
}
C
k 5
(
0
.
2
5
)
k
(
0
.
7
5
)
5
k
,
k
0 ,1, 2 , 3 , 4 , 5
P{X=0}= C50(0.25) 0 (0.75) 5=0.23730 P{X=1}= C51 (0.25) 1 (0.75) 4=0.39551 P{X=2}= C52 (0.25) 2 (0.75) 3=0.26367 P{X=3}= C53 (0.25) 3 (0.75) 2=0.08789 P{X=4}= C54 (0.25) 4 (0.75) 1=0.01465 P{X=5}= C55 (0.25) 5 (0.75) 0=0.00098