正弦稳态电路的功率、 复功率 、最大功率传输分析

有功功率守恒 无功功率守恒
S UI S1 S 2 (U1 U 2 ) I 视在功率不守恒
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3. 功率因数的提高
功率因数：
P cos S
功率因数反映了用电设备的有功功率占供电设备 视在功率的比重。 一般用电设备多为感性负载（可等效为电阻和电 感的串联电路），导致电路的功率因数较低。
Q S 2 P 2 50 2 30 2 40var
L
P 30 R 2 30 I 1 XL
Q 40 XL 2 40 1 I
40 L 0.127H 100
11
解法2
P 30 R 2 2 30Ω I 1
U 50 | Z | 50Ω 又 | Z | R 2 (L)2 I 1 1 1 40 2 2 2 2 L | Z | R 50 30 0.127H 314 314
Z L Z L Z Z L cos Z j Z L sin Z
P Re[ Z L ] I 2 | Z L | cos Z U ( Req | Z L | cos Z ) 2 ( X eq | Z L | sin Z ) 2
I U OC ( Req RL ) 2 ( X eq X L ) 2
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I
Zeq + U OC
I
ZL
U OC ( Req RL ) 2 ( X eq X L ) 2
2 R U L OC P RL I 2 ( Req RL ) 2 ( X eq X L ) 2
解法3
U 50 | Z | 50Ω I 1 P 30 cos 0.6 UI 50 1
R Z cos 50 0.6 30
X L | Z | sin 50 0.8 40Ω
L 0.127H
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§9-5 复功率
1. 复功率 计算功率，引入“复功率”。 和 I 为了用相量 U
异步电机
日光灯
空载 cos =0.2~0.3 满载 cos =0.7~0.85
cos =0.45~0.6
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功率因数低带来的问题：
1)不能充分利用供电设备的容量。
P =S，传送P 的大小取决于 的大小。 2)线路上的电压损失和功率损耗大。 I=P/(U) 当电源向负载传送相同的功率P时，越低，I越大， 因此线路上的电压损失和功率损耗也越大。 解决办法： 1）高压传输
阻消耗的功率。
2
表明电路所吸收的有功功率实际上是电路中的电
4
cos 称为功率因数，记为： 纯电阻负载： =1
纯电抗负载： =0
一般负载：0≤≤1
=u-i 称为功率因数角。
对于无源网络，功率因数角 就等于其阻抗角。
当无源网络不含受控源时，| |≤90°，电路吸收有 功功率；当无源网络含有受控源时，有可能会出现 | | > 90°，此时电路发出有功功率 。
U
10 10 3 ( tg 53 . 13 tg 25 . 84 ) 557 F 2 314 220 P 10 10 3 未并电容时： I I L 75.8A U cos 1 220 0.6 P 10 10 3 并联电容后： I 50.5A U cos 2 220 0.9

UR

电压三角形
I

+ U _
IG G

IB jB

IG

IB

P UI cosφ UIG U Q UI sinφ UI B

I
称 I G 为 I 的有功分量 称 I B 为 I 的无功分量
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电流三角形
|Z|

R
X
|Y|

G
B
U

UR
UX
I

IG
IB

P
S
Q
相似三角形 5. 正弦交流电路功率的测量
p(t ) UI cos φ(1 cos 2t ) UI sin sin 2t p UIcos (1＋cos2 t) 不可逆分量
0
t
UIsin sin2 t 可逆分量
瞬时功率的不可逆分量表明电源提供的能量有一
部分被电路所消耗；可逆分量表明有一部分能量在
电源与二端网络之间来回交换，这是由电路中所含 储能元件的性质决定的。
3
2. 平均功率P
1 T 1 T P p(t ) dt [UI cos UI cos(t )]dt T 0 T 0 UI cos φ
P UI cosφ
2
单位：W（瓦）
P表示电路实际消耗的功率，也称为有功功率。
P UI cos φ I Z cos RI
中的电抗吸收或发出的无功功率。
6
4.视在功率S
S UI

单位：VA(伏安)
S 表示电气设备的最大容量，反映了电气设备在
额定运行情况下最大的负荷能力。
功率 之间
P S cos Q S sin
S P2 Q2
S

P 功率三角形
Q
关系
7
R、L、C元件的有功功率和无功功率： i + u i R PR =UIcos0 =UI=I2R=U2/R QR =UIsin0 =0 感性负载 吸收无功 PL=UIcos90 =0 2 U 0 QL =UIsin90 =UI I 2 X L XL 容性负载 发出无功 PC=UIcos(-90)=0 2 U 0 QC =UIsin (-90)= -UI I 2 X C XC
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若要使功率因数从0.9再提高到0.95 , 试问还应增 加多少并联电容，此时电路的总电流是多大？
cos φ1 0.9 φ1 25.84 o
cos φ2 0.95 φ2 18.19 o
P C ( tgφ1 tgφ2 ) 103μ F 2 U 10 10 3 I 47.8A 220 0.95
2. 功率守恒
U I 1
U _
Z1
复功率守恒 U )I * S S I * (U S U 1 2 1 2
Z2 U 2 _
S P jQ ( P1 P2 ) j(Q1 Q2 )
P P1 P2
Q Q1 Q2
同名端 ﹡ i2
~U
电压 线圈
电流 线圈
i + u W : *
* W Z
~I
﹡ i1
*
*
R
单相功率表
R>>L
P UI cos
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例 三表法测线圈参数。 已知电源 f=50Hz，且测得
I
+

U=50V，I=1A，P=30W。
A
* * W
R
解法1
Z
V U _
S UI 50 1 50VA
第二种分解方法
1
第一种分解法： p(t ) UI[cos φ cos( 2t φ)] p
UIcos 恒定分量
0
UIcos(2t－ ) 正弦分量
t
p 有时为正, 有时为负： p > 0，电路吸收功率
p < 0，电路发出功率
表明电源和二端网络之间存在能量交换的现象。
2
第二种分解法：
不变，而电路的功率因数提高了。
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补偿电容大小的确定：
I C I L sin 1 I sin 2
P P , IL U cos 2 U cos 1 I C P ( tan1 tan 2 ) CU U I
1 2
I
I L
IC
U
C P 2 ( tan1 tan 2 ) U
§9-4 正弦稳态电路的功率
I
+
U
-
无源 线性 网络
u (t ) 2U cos t i (t ) 2 I cos(t φ)
φ u i
1. 瞬时功率p(t)
p(t ) u (t )i(t ) 2U cos t 2 I cos(t φ)
UI[cos φ cos( 2t φ)] 第一种分解方法 UI cos φ(1 cos 2t ) UI sin sin 2t
+ u i
+ u -
L
C
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电压、电流的有功分量与无功分量： 以感性负载为例
_ I + U R
+

U


P UI cos U R I
称 U R 为U 的有功分量 称 U X 为U 的无功分量

U _

R + jX U X _

I

U X Q UI sin U X I
5
3.无功功率Q
Q UI sin φ

单位：var (乏)
Q 反映了电源与电路之间能量交换的最大速率，
其大小决定了电源与电路之间能量交换的规模。
Q > 0，吸收无功；Q < 0，发出无功
Q UI sin φ I 2 Z sin XI 2
表明电路所吸收或发出的无功功率实际上是电路
5.68 36.87o A I D
2200o jC j2.08A I C
I I 4.54 j1.33 4.73 16.33o A I D C
cosφ cos[0 o (16.33o )] 0.96
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例2 已知：f=50Hz, U=220V, P=10kW, cos1=0.6， 要使功率因数提高到0.9, 求并联电容C，并联前后 C 电路的总电流各为多大？ I I 解 cos φ1 0.6 φ1 53.13o + R o cos φ2 0.9 φ2 25.84 C U L P L C ( tanφ1 tanφ2 ) I _ 2
讨论：ZL=RL+jXL获得最大功率的条件？ 1）讨论 ZL=RL+jXL可任意改变的情况 ① 先假设RL不变，XL可变。 当XL = -Xeq时，Z＝Req+RL，P达到最大。
2 RLU OC Pmax ( Req RL ) 2
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② 再讨论RL也改变时，P 的最大值。
当XL = -Xeq时，Z＝Req+RL
2）改进自身设备
3）并联电容，提高功率因数。
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分析
+
I
I C
R L
I L
C
1 2
I
I L
IC
U
U _
特点 并联电容后，负载的电压和电流不变，吸收的有
功功率和无功功率也不变，即负载工作状态不变。
但电源向负载输送的无功减少了，减少的这部分无
功由电容“产生”来补偿，使感性负载吸收的无功
+
I
U
_
负 载
* S UI
def
单位：V· A
S UI u i UIφ Sφ
UIcosφ jUIsin φ P jQ
复功率是一个复数，它的模是视在功率，辐角是 功率因数角，实部是有功功率，虚部是无功功率。
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复功率的计算：
* 2 Z I I ZI S UI * I * U (YU )* U U *Y * Y *U 2 S U
欠：<1 无功 全: =1(电容设备投资增加,经济效果不明显) 补偿 过: <1(又由高变低，但电路性质不同)
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例1 已知电动机的额定功率PD=1000W，电源电压 U=220，f =50Hz，C =30F，cosD=0.8，求负载电路 的功率因数。 解 PD 1000 5.68A I D + UcosφD 220 0.8 IC I D o U C cosφD 0.8 φD 36.87 _ D I 2200o V，则 设U
2 RLU OC P 2 ( Req RL )
当RL= Req 时，
Pmax
2 U OC 4 Req
ZL获得最大功率的条件：
RL= Req XL = -Xeq
ZL= Zeq*
—— 共轭匹配
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2）讨论阻抗模|ZL|可变，阻抗角 不变的情况。
I
Zeq + U OC
Baidu Nhomakorabea
I
ZL
U OC ( Req RL ) 2 ( X eq X L ) 2
cos 提高后，线路上总电流减少，但继续提 高cos 所需电容很大，增加成本，总电流减小却 不明显。因此一般将cos 提高到0.9左右即可。
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§9-6 最大功率传输
有 源 网 络
I
负 载
等效电路 Zeq + U OC
ZL
Zeq= Req + jXeq， ZL= RL + jXL Z=Zeq+ZL= (Req+RL) + j(Xeq+XL) 问：Zeq给定，ZL取何值时获得最大功率？