三角形中线的巧用

三角形中线的巧用

边的知识：

三角形任意两边之和大于第三边

三角形任意两边之差小于第三边

角的知识：

三角形三个内角的和等于180°

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

三角形的任何一个外角大于和它不相邻的一个内角。

三角形线的知识：

三角形的中线、高、角平分线都是线段。

锐角三角形的三条高都在三角形的内部。

直角三角形的三条高,一条在三角形的内部，其他两条是直角边。钝角三角形的三条高，一条在三角形的内部，其他两条在三角形的外部。

垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相

等。

角平分线性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。

三角形全等的知识：

全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等.

全等三角形的判断：SSS、SAS、ASA、AAS这四种。

三角形的中线是与三角形有关线段的重要线段。三角形的中线在解决和三角形面积有关的问题中常常发挥重要作用。

如图1，连接三角形ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫△ABC的边BC上的中线。∴BD=CD=BC . AE⊥BC于E，即AE是△ABC的边BC上的高。同时AE也是△ABD、△ACD的高。

根据三角形的面积公式，三角形ABC的面积为，即.

△ABD、△ACD的面积可表示为：

，

，

所以△ABD、△ACD的面积相等，都等于△ABC面积的一半。

结论一：三角形的一边的中线把这个三角形分成面积相等的两部分。

例1 如图2，AD、BE是△ABC的两条中线。AD、BE交于G，试比较△BGD和△AGE面积的大小。

析解：因为AD、BE是△ABC的两条中线，根据结论一，三角形ADC 的面积等于三角形ABC的面积的一半，三角形BCE的面积也等于三角

形ABC的面积的一半。所以=，所以

，即.所以△BGD和△AGE的面积相等。

引申：连接GC，则GD是三角形GBC的中线，GE是三角形AGC的中线，根据上面结论一，有，，而，

所以，

，所以

结论二：连接三角形的中线的交点和这个三角形任意两个顶点所组成的三角形的面积等于这个三角形面积的.

例2 （2009贺州）如图3-1，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是AB、BC边上的中点，求图中阴影部分的面积。

分析：图中阴影部分是不规则四边形，须作辅助线转化为规则四边形或三角形。更重要的是要考虑中点的运用。

解：如图3-2，连接BD，则三角形BCD的面积= ,根据上述结论二，△ BOD的面积等于△BCD的面积的，

即，

∴阴影部分的面积=.

点评：求不规则图形的面积往往是作辅助线转化为三角形加以分析。图中三角形BDO的面积是和三角形BDC的中线有关的，记住上面的两个结论，能够迅速巧妙的求解此题。