高三第一次联考理数卷(正式考试版)

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第一次全国大联考【新课标卷III 】

理科数学

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的）

1．已知集合12

{|}3A x x

=∈∈+Z N ，2{|450}B x x x =--≤，则A B =（ ） A ．{1,0,1,3}-

B ．{1,0,1,2}-

C ．{1,0,1}-

D ．{0,1,2,3}

2．已知i 是虚数单位，复数i z a =+()a ∈R ，且满足13i

1

z z -=+，则||z =（ ） A ．2

B ．3

C ．5

D ．3

3．若()()2,3,,6m ==a b ，且()+⋅=+a b a a b a ，则m =（ ）

A ．1

2

B ．2

C ．4

D ．9

4．函数3()e e

x

x

f x x -=--的大致图象是（ ）

A B C D

5．如图，在半径为4的大圆中有三个小半圆123,,O O O ，其半径分别为1，2，1，若在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ） A ．

14

B ．

38

C ．

58

D ．

716

6．已知锐角ABC △的外接圆半径为

3

3

BC ，且3AB =，4AC =，则BC =（ ） A ．37

B ．6

C ．5

D ．13

7．执行如下图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（ ）

A ．4

B ．12

C ．84

D ．168

8．把函数()2sin(2)4f x x π=

-的图象上每个点的横坐标扩大到原来的4倍，再向左平移3

π

，得到函数

()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递增区间为（ ）

A ．175[,]66ππ

-- B ．57[,]66

ππ

-

C ．24[,]33ππ-

D ．719[,]66

ππ 9．在12

2017

2016(2)x x

+

-

的展开式中，5x 项的系数为（ ） A ．252 B ．264 C ．512

D ．532

10．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱

柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图中如图所示，已知

该几何体的体积为5

36

，则图中x =（ ） A ．1

B ．3

C ．2

D ．23

11．过抛物线C ：2

4y x =上一点(4,4)P 作两条直线分别与抛物线相交于点,A B 两点，连接AB ，若直

线AB 的斜率为1，且直线,PA PB 与坐标轴都不垂直，则直线,PA PB 的斜率倒数之和为（ ） A ．

12

B ．1

C ．2

D ．3

12．已知函数2

()f x x m =+与函数1()ln

3g x x x =--1

([,2])2

x ∈的图象上至少存在一对关于x 轴对称的是

否

开始

2017?R <

2,2P Q ==

22R P Q =＋

结束

输出Q P R =

2

R

Q =

点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．5[ln 2,2]4

+

B ．5

[2ln 2,

ln 2]4

-+

C ．5[ln 2,2ln 2]4

+-

D ．[2ln 2,2]-

第II 卷

本试卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题,考生根据要求作答．

二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）

13．已知一个正六棱锥的底面边长为2，高为2，则该正六棱锥的外接球的表面积为___________．

14．已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，则双曲线的离心

率为___________．

15．已知x ，y 满足约束条件1

35250430

x x y x y ≤-⎧⎪

-+≥⎨⎪+-≥⎩

，

记z mx y =+（0m >）的最大值为()m Ω，若7()5m Ω≤，则实数m 的最小值为___________． 16．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，3

B π

∠=

，AEMF 是以A 为圆心，1为半径的扇形，点M 为圆弧EF 上任意一点，MN

AB ．

设MAF θ∠=，则当EM MN +取得最小值时，θ=___________．

三、解答题（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）已知n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，515S =，且248a a a 、、成等

比数列．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若1

61

6

n n n n a n b n a a +≤⎧⎪

=⎨>⎪⎩，求数列{}n a 的前n 项和n T ．

18．（本小题12分）现如今网上购物已经习以为常，变成人们日常生活的一部分，冲击着人们的传统消费

习惯、思维和生活方式，以其特殊的优势而逐渐深入人心．某市场调研机构对在“双十一”购物的n 名年龄在[20,70]岁的消费者进行了年龄段和性别分布的调查，其部分结果统计如下表：

年龄（岁）

[20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70]

女

70 50 40 30 20 男

30

m

20

15

10

（1m （2）在（1）的条件下，用分层抽样的方法在[30,40)岁的消费者中抽取一个容量为8的样本，将该样本看成一个总体，从中任取3人，记X 表示抽得女性消费者的人数，求随机变量X 的分布列和数学

期望．

19．（本小题12分）已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为正三角形，,E F 分别

是11A C ，11B C 上的点，且满足11A E EC =，113B F FC =． （1）求证：平面AEF ⊥平面11BB C C ；

（2）设直三棱柱111ABC A B C -的棱均相等，求二面角1C AE B --的余弦值．

20．（本小题满分12分）已知12F F ，是椭圆Ω：

22

21(0)4x y b b

+=>的左，右焦点．

（1）当1b =时，若P 是椭圆Ω上在第一象限内的一点，且125

4

PF PF ⋅=-，求点P 的坐标； （2）当椭圆

Ω的焦点在x 轴上且焦距为2时，若直线l ：y kx m =+与椭圆Ω相交于

两点，且1212340x x y y +=，求证：AOB △的面积为定值．

21．（本小题满分12分）已知函数2

2

()ln (,,0)f x a x b x a b b =-∈≥R ，函数1

()ln 2

g x a x x =-

在点(1,(1))g 处的切线与直线210x y --=平行．

（1）讨论函数()f x 的单调性；

（2）当1x >时，不等式2

2

()(21)()f x b x b b x <+-+恒成立，求实数b 的值．

请考生在第22,23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做,则按所做的第一个题目计分． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线l 过定点(1,1)P ，且倾斜角为4

π

，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极值的坐标系中，曲线C 的极坐标方程为3

2cos ρθρ

=+

．

（1）求曲线C 的的直角坐标方程与直线l 的参数方程；

（2）若直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B ，求||AB 及||||PA PB ⋅的值．

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数()21,f x x x =-∈R ． （1）解不等式()5(1)f x f x ≤--；

（2）已知不等式()(1)||f x f x x a ≤+--的解集为M ，若1

(,1)2

M ⊆，求实数a 的取值范围．

1122(,),(,)A x y B x y