理论力学--10动力学

32
画受力图. YO 应用质心运动定理
XO = maCx
MO
aCn
XO
YO - mg = maCy
XO
4mR 3
2 cos sin
aC
C

mg
YO
mg 4mR 3
2 sin cos
33
例11-1 电动机外壳固定在水平基础上,定子和外壳
36
e 例 11-6 地面水平,光滑,已知 m1, m2 , ,初始静止,
常量.
求:电机外壳的运动.
(系统的质心的 x坐标守衡.)
37
解:设
xC1 a
xC2

m1(a s) m2 (a e sin
m1 m2
s)
x 由 C1 xC2 ,
得 s m2 esin
Bx
x = xD - xD0 = 0.1l - 0.05l = 0.05l
30
例题5.图示质量为m半径为R的均质半圆形板,受力偶 M作用,在铅垂面内绕 O轴转动,转动的角速度为,角 加速度为. C点为半圆板的质心,当OC与水平线成任 意角时,求此瞬时轴O的约束反力.(OC=4R/3)
MO C
vx
t
mdvx a cost dt mvx=a sint
0
0
vx

a
m
sin t
y
F
o
x
7
dx/dt= masint
x
t
mdx a sin t dt
0
0
x

a
m
2
1
cost

同理可以积得:
vy

b
m
1 cost
y

b
m
2
t

sin
t

8
例题5. 水平面上放一质量为M 的三棱柱A 其上放一 质量为 m 的物块 B , 设各接触面都是光滑的.当三棱 柱A具有图示的加速度ae时,讨论滑块下滑的加速度及 与斜面间的相互作用力.
ae
A

9
N 解: 取物块B为研究对象.
ae
m(ar+aecos) = mgsin (1)
ar maesin = N-mgcos (2)
的质心C总是重合在一起,而AB作 vD 平面运动.瞬心为I. IC = OC = l
OA杆作定轴转动D为质心.
O
C
D t
B
vD

1 2
l
vC l
P POC PAB PA PB
1 POC 2 m1l
PAB PA PB (2m1 m2 m2 )l = 2(m1+m2)l
解：取汽车为研究对象，进行
mg
运动、受力分析如图。
Fn=man, mg - N = mv2/ R
N=mg
-
mv
2
/
R=N
'
an=V2/ R=g时， N'=0
an=V2 / R>g时， 飞车。
an N n
Fra Baidu bibliotek
18
例1：圆轮质量为m,半径为R，以角速度沿地面作纯滚动。
求：圆轮的动量。
解：O点为瞬心。
质心的速度为 Vc=R
21
例题2. 图示椭圆规尺AB的 质量为 2m1 ,曲柄OC的质量 为m1 ,而滑块A和B的质量均 为m2.已知OC=AC=CB=l ,曲 柄和尺的质心分别在其中点 上,曲柄绕O轴转动的角速度 为常量.求图示瞬时系统的 动量.
A
C

O t
B
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解:系统由四个物体组成.
A
I
滑块A和B的质心与椭圆规尺AB vC
mg F
x = 2rcos
= t
B
ax = - 2r2cos
N
max = - Fcos
F = 2 mr2
2
例题2. 滑轮系统如图所示.已 知m1 = 4kg , m2 = 1kg和 m3 = 2kg.滑轮和绳的质量及摩擦均 不计.求三个物体的加速度.( g = 10m/s2 )
O
有质量为m的重物。求重物对地板的压力。 解：取重物为研究对象
进行受力分析与运动分析。
Fy= m ay
N - mg=m a
mg
N=mg+ma=N'
（静反力；附加动反力）
a
讨论：若加速度方向向下 N
则N=mg - ma=N'
(1)a=g时，N'=0； (2)a>g时，重物离底。
17
例题：汽车质量为m,以匀速V驶过拱桥，桥顶点的曲率 半径为R。求车对桥顶的压力。
求:转速n.
15
已知:匀速转动。 0 时小球掉下。
求:转速n.
解：研究铁球
其中 v n R
30
v2 m
R

FN
mg cos
当 0时, FN 0, 解得
n 9.549
g R
cos
0
当 n 9.49 g时,球不脱离筒壁。 R
16
例题：电梯以加速度a上升，在电梯地板上，放
m1
C
m2 m3
3
解:建立图示坐标.
x1 + xC = c1
(x2 - xC ) + (x3 - xC ) = c2
x1 xC 0 x2 x3 2xC 0 m1g T1 m1x1 m2 g T2 m2 x2 m3 g T3 m3x3 T2 T3 T1 T2 T3
m1 m2
24
解:取小车,沙箱和重物组成的系统为研究对象
R(e)x = 0
W3
Px = Px0
设重物落入后小车
最后具有的速度为v
W1
W2 g
W3
v

W1
W2 g
vo
N1
W
N2
v0 = 3.5 km/h 解得: v = 3km/h
25
取小车为研究对象.
P2x - P1x = I(e)x
W1 g
v
mg cos 600
19.6N
v rFT sin 600 2.1m s m
14
例10-4 粉碎机滚筒半径为Ｒ，绕通过中心的水
平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。
为了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在 0
时才掉下来。求滚筒每分钟的转数n 。
已知:匀速转动 0 时小球掉下。
解：取小球为研究对象，进行运动 受力分析，如图。
F= m a, - mgsin= mdv/dt
dv/dt=l"
sin=• ml" +mg=0
2
令K = g/l,
"+k 2 =0 此方程的通解为:
=Acos(kt +) t=0时=o，V=Vo=(l ' )o=o
o=Acos ' = - Aksin =0 联立求解得：A=o, =0 微小摆动的运动方程为：= ocos(kt)
12
600
n
r
b l
FT
v
τ
z
mg
m
dv dt

F
t
0
m
v2 r

F
n
FT sin 600
0 F b mg FT cos 600
13
600
b
l
FT
n
r
v
τ
z
mg
m
dv dt

F
t
0
m
v2 r

F
n
FT sin 600
0 F b mg FT cos 600
FT

例题1. 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度转 动,OA = AB = r.滑块B的运动方 程为x=2rcos如滑块B
的质量为m，摩擦及连杆AB的质量不计.求当=t=0时
连杆AB所受的力.
A

O
B
1
解:取滑块B为研究对象，进行运动分析和 受力分析。
（由于杆的质量不计,AB为二力杆且受平 衡力系作用.）
y
C1和C2分别为AD杆和BD杆
D
的质心.C为系统的质心.
C1 C
C2
xD0
A
O
60 B
C1C2 = 0.5l
4m 0.5l
C1C 6m 4m = 0.2l
x
取过质心C的铅垂轴为 y 轴建立坐标如图.
xD0 = 0.25l - 0.2l = 0.05l
28
y
D
C1 C
C2
6mg 4mg
mg
联立(1)(2)式解得:
ar = gsin - aecos
N= m(gcos+aesin)
讨论: (1)当ae=gtg时ar = 0; N= mg/cos
(2)当aegtg时ar 0.
(3)当ae=-gctg时ar = g/sin, N=0; am = g
此时m即将与斜面脱离而成为自由体.
Fy (m1 m2 )g m2e 2 cost
35
电机不转时, Fx 0,Fy (m1 m2 )g 称静约束力;
电机转动时的约束力称动约束力,上面给出的是动约束
力.
动约束力 - 静约束力 = 附加动约束力 本题的附加动约束力为
x 方向: m2e 2 sin t y 方向: m2e 2 cos t
动量 P=mR (
)

c Vc
o
19
二、质点的动量定理:
微分形式:
dP/dt = mdv/dt=ma=F即：dP/dt=F
上式向坐标轴投影：dPx/dt=Fx
t2
积分形式: P2 P1 Fdt I
t1
*、守恒定理:
若 F= 0 则 P= c (恒矢量)
若 Fx= 0 则 Px = c (恒量)
A
O
60 B
N1
N2
画系统受力图.
由于R(e)x = 0则vcx = c
x
已知vc0 = 0则vcx = 0
系统的质心沿y轴作直线运动.当 D点落地 时C点应与O点重合.
29
y
A
D
C1
O
C2
(C)
画系统完全落地时的位置图.
C1C

4ml 6m 4m
= 0.4l
xD = 0.5l - 0.4l = 0.1l

vo


F
t
F = 0.14 kN
N F
N1
W1
N2
26
例题4.均质杆AD 和 BD长为l 质量分别为6m和4m , 铰接如图.开始时维持在铅垂面内静止.设地面光滑, 两杆被释放后将分开倒向地面.求D点落地时偏移 多少.
D
(系统的质心的
x坐标守衡.沿y
方向运动)
A
60 B
27
解:取AD和BD组成的系统为研究对象.
10
例题：质量为 1kg 的重物 M ，系于长度为 l = 0.3m 的线上，线的 另一端固定于天花板上的O点，重物在水平面内作匀速圆周运动而 使悬线成圆锥面的母线，且悬线与铅垂线间的夹角恒为600。试求 重物运动的速度和线上张力
600
l
r
z
11
600
n
r
b l
FT
v
τ
z
mg
解：选 重物M 为研究对象 M上的力有重力 mg及悬线的拉力 FT ，同在悬线OM与轴Oz 所构成的平面内。
20
四.质心运动定理
dp/dt=d(miVi)/dt=d(MVc )/dt=midVi/dt
=MdVc /dt=miai= Mac =R (e)
M xc Rxe
(1)运动定理: M ac = R(e)
M yc Rye
(2)守恒定理:
M zc Rze
若 R(e) = 0 则 vc = c (恒矢量), vco = o, rc=恒矢量 若 R(e)x = 0 则 vcx = c (恒量), vcxo= 0, xc = 恒量
P = (2.5m1 + 2m2)l 23
例题3. 小车重W1= 2kN, 车上有一装沙的箱重 W2=1kN,以3.5km/h的速度在光滑直线轨道上匀速 行驶.今有一重W3= 0.5kN的物体铅垂落入沙箱中, 如图.求此后小车的速度. 又设重物落人沙箱后,沙 箱在小车上滑动 0.2 s 后,始与车面相对静止, 求车 面与箱底间相互作用的摩擦力.

31
解:取半圆板为研究对象.
MO aCn
C aC
acn

4R 3
2
i cos
j sin
ac


4R 3

i sin
j cos
acx
4R 3
2 cos sin
acy
4R 3
2 sin cos
O T1
m1
C T2
T3
m1g m2
m3
m2g
x m3 g
4
解上述方程组得:
x1 2 m / s2 x2 6 m / s2 x3 2 m / s2
Fo
o
T1'
Tc'
T2'
Tc c
T3'
5
例题3：细绳长为l,上端固定在O点，下端系一质量为m的小 球,在铅垂面内作微幅摆动。初时，绳的偏角为o,小球无初 速释放。求：绳微小摆动时的运动规律。
的质量为m1 ,转子质量为m2 .定子和机壳质心O1 ,转子质
O2心O1O,2 e
,角速度 为常量.求基础的水平及铅直
约束力.
34
解: p m2e
px m2e cost
py m2 esin t
由
dpx dt

Fx
dpy dt

Fy
m1g m2g
得 Fx m2e 2 sin t
o
n

o FF
l

V
mg
6
例题4.质量为m的质点在力F = acost i+bsint j作用
下运动,其中a,b与均为常数,在初瞬时质点位于原
点且初速度为零.求在瞬时t ,(1)质点的位置;(2)质点
的速度.
解: Fx = acost
Fy = bsint
mdvx /dt =(acost) mdvx=(acost)dt