D12数列的极限99760

❖数列极限的精确定义
设{xn }为一数列 如果存在常数 a, 对于任意给定 的正数 ，总存在正整数 N , 使得当 n 时N 总有
xn a 成立 则称常数 a 是数列{xn} 的极限 或者称数列{xn} 收敛于 a，记为
lim
n
xn
a,
或
xn a (n ).
•极限定义的简记形式
lim
n
xn
2，4，8， ，2n， ；
1， 1， 1， 1， ， (-1 ) n 1, ；
注：数列{ xn可} 以看作自变量为正整数 的n函数:
xn f (n), n N .
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❖数列的概念
如果按照某一法则,对每一 n N ，对应着一个 确定的实数 xn，则得到一个序列
a xn a
xn (a ，a )
邻域 (a ,a ) 内部；
3.当 n 时N， xn 一般落在邻域 (a ,a ) 外边。
(
)
a a a
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lim
n
xn
a
0,
N N , 当
❖数列的极限
观察数列
{1
(1)n1 n
} 的变化趋势。
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❖数列的极限
观察数列
{1
(1)n1 n
} 的变化趋势。
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❖数列的极限
观察数列
{1
(1)n1 n
} 的变化趋势。
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❖ 引例
割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
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正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
LLLL
R
正 6 2边n1形的面积 An
A1, A2 , A3 , , An , 无限接近
S（圆的真实面积）
接近于常数 a，则称常数 a 是数列{xn} 的极限 或者称 数列{xn} 收敛于 a，记为
xn a (n )
例如 1 (1)n1 1, n
1 2n
0,
(1)n1 趋势不定
问题: “当n 无限增大时，xn 无限接近于a.”是什么
意思？ 如何用数学语言刻画它？
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只要 n 100 时，有
1
xn
1
; 100
给定
1 1000
,
只要 n 1000
时，有
1 xn 1 1000 ;
给定
1 10000
,
只要
n 10000 时，有
xn
1
1 10000
;
任意给定 0, 由 1 , 只要 n [ 1 ] 1 时，有
n
xn 1 .
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“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”
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❖数列的概念
如果按照某一法则,对每一 n N ，对应着一个 确定的实数 xn，则得到一个序列
x1 , x2 , x3 , xn , 这一序列称为数列, 记为 { xn }，第 n项 xn 叫做数列
的通项（一般项）. 数列举例:
a
0,
N N , 当
n 时N
xn a .
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lim
n
xn
Baidu Nhomakorabea
a
0,
N N , 当
n 时N
xn a .
❖注意：
1. 的任意性： 可以任意性小，用来描述 xn与a
的接近程度。但一旦给了就确定了。
2. N 的相应性：N 随着 变化而变化，可记作 N ( )
x1 , x2 , x3 , xn ,
这一序列称为数列, 记为 { xn }，第 n项 xn 叫做数列
的一般项.
• 数列的几何意义
数列 { xn可}，以看作数轴上的一个动点,它依次
次位于数轴上的点 x1 , x2 , x3 , xn .
x1
xn x4 x3 x5 x2
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当 n 时N（变化到一定时刻），
才能达到上述程度。
3. 极限定义只能验证a是不是数列的极限，但不 能用于计算数列极限。
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lim
n
xn
a
0,
N N , 当
n 时N
xn a .
❖数列极限的几何意义
1.任意给定的 0, 有 a 的 邻域；
2.存在N N ，当 n 时N xn 全都落在
❖数列的极限
观察数列
{1
(1)n1 n
} 的变化趋势。
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❖数列的极限
观察数列
{1
(1)n1 n
} 的变化趋势。
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❖数列的极限
观察数列
{1
(1)n1 n
} 的变化趋势。
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•分析 当 n 无限增大时，xn 无限接近于a. 当 n 无限增大时，| xn a | 无限接近于 0. 当 n 无限增大时，| xn a |能任意小, 要多小就能多小. 只要 n 足够大，| xn a | 能达到任意小, 要多小就能
多小.
任意给定一个正数(无论多么小)， 当 n 足够大时， | xn a | 总能小于事先给定的那个正数.
❖数列的极限
观察数列
{1
(1)n1 n
} 的变化趋势。
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❖数列的极限
观察数列
{1
(1)n1 n
} 的变化趋势。
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❖数列的极限
观察数列
{1
(1)n1 n
} 的变化趋势。
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任意给定一个正数(无论多么小)， 当 n 足够大时， | xn a | 总能小于事先给定的那个正数. 则当 n 无限 增大时，xn 无限接近于a.
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如上例
xn 1
(1)n1
1
1 ,
nn
(1)n1 xn 1 n
给定 1 ,
100
由1 1 ,
n 100
❖数列的极限
观察数列
{1
(1)n1 n
} 的变化趋势。
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❖数列的极限
观察数列
{1
(1)n1 n
} 的变化趋势。
当
n
无限增大时，{1
(
1)n1 n
}无限接近于1.
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❖数列极限的通俗定义
当 n 无限增大时，如果数列{xn}的一般项 xn 无限