整式概念 第1讲

整式及其加减

【学习目标】

1．掌握单项式系数及次数的概念；

2. 理解多项式的次数及多项式的项、常数项及次数的概念； 3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式； 4. 能准确而熟练地列式子表示一些数量关系．

一单项式

1．单项式：像a -2，r π2

，x y 2

1-3

，x yz 237等，都是数与字母的乘积，这样的代数式

叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式． 要点解释：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．

（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：2st 可以写成1

2

st 。但若分母中含有字母，如

5

m

就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积． 2．单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数．

要点解释（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；

（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：211

4x y 写成25

4

x y ． 3.单项式的次数：单项式中所有字母的指数和．

要点解释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算．单独一个非零数的次数是0．

二、多项式

1．多项式：几个单项式的和叫做多项式．（“几个”是指两个或两个以上．） 2．多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项.（（1）多项式的每一项包括它前面的符号． （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：2

627x x --是一个三项式．）

3．多项式的次数：一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 4．多项式的命名：关于某字母的几次几项式． 【注】①多项式中的各项包括它前面的符号；

②书写多项式时，通常把各项按照某个字母降幂排列． 三、整式

1．整式：单项式和多项式统称为整式．

【例】a ，x y 23，x x 2-3+1，x 2+1是整式．

2．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．

要点解释：(1)判断是否同类项的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，

同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可． (2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．

(3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项．

类型一、整式概念辨析

例1（1）在x -+1，ab 24，π+3，9>2，x y x y -+，S ab 1

=2

中，是代数式的有_____个．

（2）在代数式x 1-2，π

1，2xy ，x 1，y 1-2，x 2-1

3中，是单项式的有________个．

（4）系数为3，只含字母x 、y ，且次数是3的单项式共有（ ）种． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

练习：

1．指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？

22x y +，x -，

3a b +，10，61xy +，1x ，217

m n ，225x x --，22x x +，7

a

2下列代数式：32233211

1;;;;2;-232a x y ab x x y x y y x

+--++π①②③④⑤⑥，其中是

单项式的是_______________，是多项式的是_______________.

3指出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数

234a b -，a -，442x ，a mn ，223a y π，a-3，5-3

，82-310tm ⨯，2x y

4单项式1-x 2y 3

的系数是 ． 5下列结论正确的是( )．

A ．没有加减运算的代数式叫做单项式．

B ．单项式2

37

xy 的系数是3，次数是2．

C ．单项式m 既没有系数，也没有次数．

D ．单项式2

xy z -的系数是-1，次数是4．

6关于单项式322

2x y z -，下列结论正确的是( )． A ．系数是-2，次数是4 B ．系数是-2，次数是5

C ．系数是-2，次数是8

D ．系数是-23

，次数是5

类型二、多项式

例1（1）代数式x 2-4+2，mn 1-3，π，y z x

+，1

324中，是多项式的有_____个．

（2）..xy x y x y x y 3

3422--001-01+3

是_______次_______项式，把它按字母x 的降幂排列成

_____________________，排列后的第二项系数是__________，系数最小的项是_________．

（3）若多项式()m m x y y 2

-124+2-是五次二项式，则m =__________．

（4）多项式24242

153

x y x y x -

+-+，这个多项式的最高次项是什么？一次项的系数是什么？常数项是什么？这是几次几项式?

（5）已知多项式3

2

31

2

246753

m x xy x

y y x y ---+--．

(1)求多项式各项的系数和次数．

(2)如果多项式是七次五项式，求m 的值．

练习：多项式()3

4b

a x x x

b --+-是关于x 的二次三项式，求a 与b 的差的相反数．