影响线

第14章 影响线

14.1 影响线的概念

桥梁上行驶的火车、汽车，活动的人群，吊车梁上行驶的吊车等等，这类作用位置经常变动的荷载称为移动荷载。常见的移动荷载有：间距保持不变的几个集中力（称为行列荷载）和均布荷载。为了简化问题，我们往往先从单个移动荷载的分析入手，再根据叠加原理来分析多个荷载以及均布荷载作用的情形。

对于工程计算中的各种物理量和几何量，我们统称为量值，记作Z 。

由于移动荷载的作用位置是变化的，使得结构的支座反力、截面内力、应力、变形等等也是变化的。因此，在移动荷载作用下，我们不仅要了解结构不同部位处量值的变化规律，还要了解结构同一点处的量值随荷载位置变化而变化的规律，以便找出可能发生的最大内力是多少，发生的位置在哪里，此时荷载位置又怎样，从而保证结构的安全设计和施工。在竖向单位移动荷载作用下，结构内力、反力或变形的量值随竖向单位荷载位置移动而变化的规律图像称为影响线。由于在竖向单位移动荷载作用下结构中的量值与荷载呈线性关系，因此根据叠加原理来分析结构在各种移动荷载组合下的支座反力、截面内力、应力、变形等量值。

绘制影响线时，用水平轴表示荷载的作用位置，纵轴表示结构某一指定位置某一量值的大小，正量值画在水平轴的上方，负量值画在水平轴的下方。

14.2 用静力法作单跨静定梁的影响线

利用静力平衡条件建立量值关于荷载作用位置的函数关系，进而绘制该量值影响线的方法称为静力法。

图14.1（a ）所示的简支梁，作用有单位移动荷载10=F 。取A 点为坐标原点，以x 表示荷载作用点的横坐标，下面分析A 支座反力F Ay 随移动荷载作用点坐标x 的变化而变化的规律，亦即根据静力平衡条件建立A 支座的反力F Ay 关于移动荷载作用点坐标x 的函数式，假设支座反力向上为正。

当 0 ≤ x ≤ l 时，

根据平衡条件ΣM B = 0，得：

解得：

上式表示F Ay 关于荷载位置坐标x 的变化

规律，是一个直线函数关系，由此可以作

出F AX 的影响线，如图14.1（b ）所示。

从中可以看出，荷载作用在A 点时，

即：（x = 0）时， 1=Ay F 。

荷载作用在B 点时，

)(0=-⋅+⋅-x l F l F Ay l x l F Ay -=

即：（l x =）时， 0=Ay F 。

显然，当（0=x ）时，F Ay 达到最大，所以，A 点是F Ay 的荷载最不利位置。在荷载移动过程中，F Ay 的值在0和1之间变动。

B 支座的反力F By 的影响线也可由静力平衡条件得到。

当 0 ≤ x ≤ l 时，根据平衡条件ΣM A = 0，得：

解得：

上式表示F By 关于荷载位置坐标x 的变化规律，也是一个直线函数关系，由此可以作出F By 的影响线，如图14.1（c ）所示。从中可以看出：

荷载作用在A 点时，即：（x = 0）时，

0=By F 。 荷载作用在B 点时，即：（l x =）时， 1=By F 。

显然，当（l x =）时，F By 达到最大值，所以，B 点是F By 的荷载最不利位置。在荷载移动过程中，F By 的值在0和1之间变动。

下面讨论简支梁在移动荷载作用下，C 截面内力的影响线。在研究内力影响线时，剪力正负号规定和弯矩正负号规定仍然和以前相同。

如图14.2（a ）所示梁，前已求得

两支座反力的影响线为：

先讨论C 截面的弯矩影响线。当单位

力F 在梁上移动时，C 截面弯矩也随之变

化，根据截面法可以得知，

当F 在AC 段上移动时，即当a x ≤≤0时，

当F 在CB 段上移动时，即当l x a ≤≤时，

c M 的影响线在AC 段和CB 段上都为斜直线，

00=⋅-⋅x F l F By l

x F By =l x l F Ay -=l x F By =l bx b F M By c =⋅=l x l a a F M Ay c -=⋅

=

其图像如图14.2（b ）所示。

下面讨论C 截面的剪力影响线。当单位力F 在梁上移动时，C 截面弯矩也随之变化，根据截面法可以得知，

当F 在AC 段上移动时，即当a x ≤≤0时，

当FCB 段上移动时，即当l x a ≤≤时，

Qc F 的影响线在AC 段和CB 段上都为斜直线，其图像如图14.2（c ）所示。

例14.1 作图14.3（a ）所示外伸梁支座反力的影响线。

解：设A 点为坐标原点。

讨论A 支座反力的影响线。

且注意到单位力F 在AB 段

移动时对B 点之矩的转向与

其在BD 段移动时对B 点之

矩的转向是不同的，因此应

分段讨论。

当 0≤ X ≤ l 时

由ΣM B = 0 ，得：

当 l ≤ X ≤ l + C 时

由ΣM B = 0 ，整理后得：

显然，两段影响线是同一条直线，作图如图14.3(b)所示。

讨论B 支座反力的影响线。

由ΣM A = 0 ，整理后得：

B 支座的反力影响线如图14.3(c)所示。

l x F F By Qc -=-=l

x

l F F Ay Qc -==l

x l F Ay -=c l x F By +=l

x l F Ay -

=

例14.2 作图14.4（a ）所示外伸梁C 截面弯矩、剪力的影响线。

解：由例14.1知，

当F 位于C 左侧时，

当F 位于C 右侧时，

C 截面弯矩、剪力的影响线

如图14.4(b)、(c)所示。

例14.3 作图14.5（a ）所示悬臂梁竖向支反力及根部截面的弯矩、剪力的影响线。

解：以A 点为坐标原点，设移动单位荷载作用在X 截面处。

讨论竖向支反力的影响线，取梁整体为研究对象，

由Σy = 0 ，得：

F By = 1

作F By 的影响线如图14.5(b)所示。

讨论B 截面的弯矩影响线，在B 截面处截开，

由ΣM = 0 ，得：

作M B 的影响线如图14.5(c)所示。

讨论B 截面的剪力影响线，在B 截面处截开，

由Σy = 0 ，得：

F QB = -1

作F QB 的影响线如图14.5(d)所示。

c

l x F By +=l x l F Ay -=b F M By c ⋅=By Qc F F -=a F M Ay c ⋅=Ay Qc F F

=图14.5 x l M B -=