利用单调性处理不等式问题

利用单调性处理不等式问题

函数的单调性是高考的重点和热点内容之一，特别是单调性质的应用更加突出，通过以下几个例题帮助同学们学会怎样利用单调性解与不等式结合的试题，掌握基本方法，形成应用意识.

一、运用函数的单调性比较大小

例1 如果0＜a ＜1，那么下列不等式中正确的是( )

A.(1－a )31＞(1－a )21

B.log (1－a )(1＋a )＞0

C.(1－a )3＞(1＋a )2

D.(1－a )1＋a ＞1 解析：因函数(1)x y a =-在R 上是单调递减函数，故(1－a)31

＞(1－a)21.选择A.

例2 已知0

解析：由x y a =在R 上为减函数得a b a a >；

由x y b =在R 上为减函数得a b b b >；

由a y x =在R +上为增函数得a a b a >；

由b y x =在R +上为增函数得b b b a >,即最小值为b a ；最大值为a

b 。

注意：我们在比较对数式和指数式的大小时往往利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性来比较。

二、运用函数的单调性定义的逆用脱去“f ”号。

例3 已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,求x 的范围。 解析：由⎩⎨⎧<<-<<⎩⎨⎧<-<-<-<-6

6603333332x x x x 得且x ≠0,故0

又f (x )在(－3，3)上是减函数，

∴x －3>3－x 2,即x 2

+x －6>0,解得x >2或x <－3,

综上得2

注意：借此类问题时，千万不能忽视函数的定义域。

三、运用函数的单调性解决不等式恒成立的问题。 例4 已知函数y =log a (－x 2＋log 2a x )对任意1(0,)2x ∈有意义，则实数a 的取值范围为( )

A 、0

B 、32

11 解析：由题意得：－x 2＋log 2a x >0在x ∈(0，21)恒成立。若2a >1则x ∈(0，2

1)时，log 2a x <0,所以－x 2＋log 2a x <0,不满足题意；故只能0<2a<1，

因函数22()log a f x x x =--在1(0,)2x ∈上单调递减， 所以只需2111()log 0242a f =-

->，整理得211log 24a <-；解得321