三向量的混合积

子要改变乘积符号，即
abc bca cab bac cba acb .
推论
(1.9－2)
a b c a b c
(1.9－3)
例1
设三向量 a， b， c 满足 a b b c c a 0 ，试证三向量 a， b， c 共面.
给定空间三个向量 a, b, c ，如果先作前两个向量
a 与 b 的向量积，再作所得的向量与第三个向量 c 的数量积，最后
得到的这个数叫做三向量 a, b, c 的混合积，记做 a b c 或 a, b, c 或 abc .
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特别地，当 a b 时，即 a a c 0 或 a, a, c 0 .
二、混合积的几何意义
ab
h c

b S=|a b|
a
二、混合积的几何意义
ab
h
c

.
b
a
二、混合积的几何意义
因此，三矢 a, b, c共面 ab
其混合积（abc） = 0
h
c

.
b
a
三、混合积的性质
定理 1.9.2
定理 1.9.3
三向量共面的充要条件是 abc 0 .
轮换混合积的三个因子，并不改变它的值，对调任何两个因
aa a a
2 2
a b c a c b c
a a＝0
a b 0 a 0 或 b 0
a b 0 a 0 或b 0
a b a c b c
a b ac b c
一、混合积的概念
定义 1.9.1




二、混合积的几何意义
定理 1.9.1
三个不共面向量 a, b, c 的混合积的绝对值等于以 a, b, c 为棱的
平行六面体的体积 V ，并且当 a, b, c 构成右手系时混合积是正数；当 a, b, c 构成左手系时，混合积是负数，也就是有
abc V ，
(1.9－1)
当 a, b, c 是右手系时, 1 ；当 a, b, c 是左手系时, 1 .
例 3 设 a， b， c 为三个不共面的向量，求向量 d 对于 a， b， c 的分解式.
•作业
P58 1(3), 2, 5(2)

a b a b a b


a b a b a b


a b c ac bc
aaaa0 或 b 0 ab 0
ab ac b c
2
a b c a c b c
四、混合积的坐标表示
定理 1.9.4 如果 a X1i Y1 j Z1 k ， b X 2 i Y2 j Z2 k ， c X 3 i Y3 j Z3 k ， 那么
X1
2
abc X
Y1 Y2 Y3
Z1 Z2 . Z3
（1.8－9）
X3
例 2 已知四面体 ABCD 的顶点坐标 A 0,0,0 , B 6,0,6 , C 4,3,0 , D 2, 1,3 ， 求它的体积.
《解析几何》 －Chapter 1
§9 三向量的混合积
Contents
一、混合积的概念
二、混合积的几何意义 三、混合积的性质 四、混合积的坐标表示
数的乘法
ab ba
ab a b a b
向量的数量积
a b b a
向量的向量积
ab b a