2.2.1等差数列

2.2.1等差数列

（1）理解并掌握等差数列的概念；

（2）能用定义判断一个数列是否为等差数列；

（3）了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，并能在解题中灵活应用；

一、课前准备

1.从函数观点看,数列可看作是定义域为__________对应的一列函数值，从而数列的通项公式也就是相应函数的______ 。

是数列的第n项

2.数列的一般形式是，简记作，其中a

n

二、新课导学

※探索新知

探究1：

1.在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：

（1）1682，1758，1834，1910，1986，（）

你能预测出下一次的大致时间吗？

构成数列：

2.通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的温度。

温度构成数列：

再观察下面两个数列

( 3 ) 1，4，7，10，13，16，…

( 4 ) 2，0，-2，-4，-6，-8,…

问题：以上四个数列有什么共同的特征？

共同特征：

新知1：等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从起，每一项与它的前一项的差等于同一个，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母d表示。

试一试：下列数列是否为等差数列？

1，2，4，6，8，10，12，…；

0，1，2，3，4，5，6，…；

3，3，3，3，3，3，3，…；

2，4，7，11，16，…；

－8，－6，－4，0，2，4，…；

3，0，－3，－6，－9，…．

探究2：

1.你会求它们的通项公式吗？

2.若一个无穷等差数列｛n a ｝，首项是1a ，公差为d ，怎样得到等差数列的通项公式？

推导过程：（提示：根据等差数列的定义进行归纳）

新知2：等差数列的通项公式：

=n a 。

观察通项公式回答问题：

1.要求等差数列的通项公式只需要求谁？

2.通项公式中有几个未知量？

3.要求其中的一个，需要知道其余的几个？

4.等差数列与一次函数有什么关系？单调性如何？

等差数列的单调性：

等差数列的公差 时，数列为递增数列； 时，数列为递减数列； 时，数列为常数列；等差数列不可能是 。

试一试：等差数列｛n a ｝中，

⑴已知：21=a 3=d 求n a

⑵已知：31=a =n a 2=d 求n

⑶已知：81=a 276=a 求d ⑷已知：3

1=d 87=a 求1a 例1、求等差数列8、5、2… …的第20项

例2、401-是不是等差数列5-、9-、13-… …的项？如果是，是第几项？

探究3：在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：

（1）2 ，( ) ， 4

（2）-12，( ) ，0

（3）a, ( )，b

新知3：等差中项：

若三个数b A a ,,组成等差数列，那么A 叫做a 与b 的 ，

即=A 2 或=A 。

例3 在3与7之间插入一个数A ，使3，A ，7成等差数列，求A ．

一个结论：在等差数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…中，

a 2 = a 1 + a 32 ，a 3 = a 2 + a 42 ，…… a n = a n －1 + a n +12

，…… 这就是说，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项．

思考：如何证明一个数列是等差数列？

新知4：由课本例3和练习BT2总结等差数列的常见性质：

若数列{}n a 为等差数列，且公差为d ，则此数列具有以下性质：

①()d m n a a m n -+=； ②m n a a n a a d m

n

n --=--=11；

③若q p n m +=+（*,,,N q p n m ∈），则q p n m a a a a +=+；特别的，当m+n=2p 时，a m +a n =2a p

④m n m n n a a a +-+=2。

等差数列的其它性质：

①{}n a 为有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，

即 =+==+=+=+-+--i n i n n n a a a a a a a a 123121。

②下标成等差数列且公差为m 的项()*2,,,,N m k a a a m k m k k ∈++ 组成公差为md 的等差数列。

③若数列{}n a 和{}n b 均为等差数列，则{}{}b ka b a n n n +±,（b k ,为非零常数）也为等差数列。

④m 个等差数列，它们的各对应项之和构成一个新的等差数列，且公差为原来m 个等差数列的公差之和。

例4、已知{}n a 是等差数列，若45076543=++++a a a a a ,求82a a +。

【变式】在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于 （ ）

A. 40

B. 42

C. 43

D. 45

※ 当堂检测：

1.等差数列的前4项依次是a-1,a+1,2a+3,2b-3,则a 、b 的值为( )

A.1,2

B.-1,4

C.0,4

D.2,-2

2．已知m 和2n 的等差中项是4,2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是( )

A ．2

B ．3

C ．6

D ．9

3.已知数列{a n }的通项公式为a n =2(n+1)+3,则此数列( )

A.是公差为2的等差数列

B.是公差为3的等差数列

C.是公差为5的等差数列

D.不是等差数列