2.2.1等差数列

2.2.1等差数列
（1）理解并掌握等差数列的概念；
（2）能用定义判断一个数列是否为等差数列；
（3）了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，并能在解题中灵活应用；
一、课前准备
1.从函数观点看,数列可看作是定义域为__________对应的一列函数值，从而数列的通项公式也就是相应函数的______ 。

是数列的第n项
2.数列的一般形式是，简记作，其中a
n
二、新课导学
※探索新知
探究1：
1.在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：
（1）1682，1758，1834，1910，1986，（）
你能预测出下一次的大致时间吗？
构成数列：
2.通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的温度。

温度构成数列：
再观察下面两个数列
( 3 ) 1，4，7，10，13，16，…
( 4 ) 2，0，-2，-4，-6，-8,…
问题：以上四个数列有什么共同的特征？
共同特征：
新知1：等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从起，每一项与它的前一项的差等于同一个，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母d表示。

试一试：下列数列是否为等差数列？
1，2，4，6，8，10，12，…；
0，1，2，3，4，5，6，…；
3，3，3，3，3，3，3，…；
2，4，7，11，16，…；
－8，－6，－4，0，2，4，…；
3，0，－3，－6，－9，…．
探究2：
1.你会求它们的通项公式吗？
2.若一个无穷等差数列｛n a ｝，首项是1a ，公差为d ，怎样得到等差数列的通项公式？
推导过程：（提示：根据等差数列的定义进行归纳）
新知2：等差数列的通项公式：
=n a 。

观察通项公式回答问题：
1.要求等差数列的通项公式只需要求谁？
2.通项公式中有几个未知量？
3.要求其中的一个，需要知道其余的几个？
4.等差数列与一次函数有什么关系？单调性如何？
等差数列的单调性：
等差数列的公差 时，数列为递增数列； 时，数列为递减数列； 时，数列为常数列；等差数列不可能是 。

试一试：等差数列｛n a ｝中，
⑴已知：21=a 3=d 求n a
⑵已知：31=a =n a 2=d 求n
⑶已知：81=a 276=a 求d ⑷已知：3
1=d 87=a 求1a 例1、求等差数列8、5、2… …的第20项
例2、401-是不是等差数列5-、9-、13-… …的项？如果是，是第几项？
探究3：在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：
（1）2 ，( ) ， 4
（2）-12，( ) ，0
（3）a, ( )，b
新知3：等差中项：
若三个数b A a ,,组成等差数列，那么A 叫做a 与b 的 ，
即=A 2 或=A 。

例3 在3与7之间插入一个数A ，使3，A ，7成等差数列，求A ．
一个结论：在等差数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…中，
a 2 = a 1 + a 32 ，a 3 = a 2 + a 42 ，…… a n = a n －1 + a n +12
，…… 这就是说，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项．
思考：如何证明一个数列是等差数列？
新知4：由课本例3和练习BT2总结等差数列的常见性质：
若数列{}n a 为等差数列，且公差为d ，则此数列具有以下性质：
①()d m n a a m n -+=； ②m n a a n a a d m
n
n --=--=11；
③若q p n m +=+（*,,,N q p n m ∈），则q p n m a a a a +=+；特别的，当m+n=2p 时，a m +a n =2a p
④m n m n n a a a +-+=2。

等差数列的其它性质：
①{}n a 为有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，
即 =+==+=+=+-+--i n i n n n a a a a a a a a 123121。

②下标成等差数列且公差为m 的项()*2,,,,N m k a a a m k m k k ∈++ 组成公差为md 的等差数列。

③若数列{}n a 和{}n b 均为等差数列，则{}{}b ka b a n n n +±,（b k ,为非零常数）也为等差数列。

④m 个等差数列，它们的各对应项之和构成一个新的等差数列，且公差为原来m 个等差数列的公差之和。

例4、已知{}n a 是等差数列，若45076543=++++a a a a a ,求82a a +。

【变式】在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于 （ ）
A. 40
B. 42
C. 43
D. 45
※ 当堂检测：
1.等差数列的前4项依次是a-1,a+1,2a+3,2b-3,则a 、b 的值为( )
A.1,2
B.-1,4
C.0,4
D.2,-2
2．已知m 和2n 的等差中项是4,2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．9
3.已知数列{a n }的通项公式为a n =2(n+1)+3,则此数列( )
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为3的等差数列
C.是公差为5的等差数列
D.不是等差数列
4.等差数列{}n a 中，已知1251,4,33,3
n a a a a n =+==则为（ ） A. 48 B. 49 C. 50 D. 51
5.已知等差数列{}n a 中，1,16497==+a a a ，则12a 的值为 （ ）
A ．15
B ．30
C ．31
D ．64
6.若数列的通项公式为a n =6n+7，请判断这个数列____________（填“是”或“否”）等差数列.
7．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝__________.
1.已知等差数列{a n }的前三项依次为a-1，a+1，2a+3，则此数列的通项公式为( )
A.a n =2n-5
B.a n =2n-3
C.a n =2n-1
D.a n =2n+1
2.在等差数列{a n }中,已知a 1=2,a 2+a 3=13,则a 4+a 5+a 6等于( )
A.40
B.42
C.43
D.45
3.一个等差数列的首项为23，公差为整数，且前6项均为正数，第7项起为负数，则公差为( )
A.-2
B.-3
C.-4
D.-5
4.在数列{a n }中，a 1＝－2,2a n ＋1＝2a n ＋3，则a 11等于( )
A.272
B ．10
C ．13
D ．19 5.已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于( )
A ．－1
B ．1
C ．3
D ．7
6.等差数列{a n }单调递增且a 3＋a 6＋a 9＝12，a 3·a 6·a 9＝28，则此数列的通项公式a n ＝__________.
7.已知方程(x 2－2x ＋m)(x 2－2x ＋n)＝0的四个根组成一个首项为14
的等差数列，则|m －n|等于________． 8.一种游戏软件的租金，第一天6元，第二天12元，以后每天比前一天多3元，那么第n(n≥2)天的租金（单位:元）a n =___________.
课后作业参考答案
1答案：B 2答案:B 3答案：C 4答案：C 5答案：B
6解析：∵a 3＋a 9＝2a 6，a 6＝4，
∴a 3＋a 9＝8，a 3·a 9＝7.
∴a 3、a 9是一元二次方程x 2－8x ＋7＝0的两个根．
又∵{a n }单调递增，
∴a 3＝1，a 9＝7，d ＝1.
从而a n ＝a 3＋(n －3)d ＝1＋(n －3)＝n －2.
答案：n －2
7解析：设a 1＝14，a 2＝14＋d ，a 3＝14＋2d ，a 4＝14
＋3d ，而方程x 2－2x ＋m ＝0中的两根之和为2，方程x 2－2x ＋n ＝0中的两根之和也为2，
∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋6d ＝4.∴d ＝12. 因此a 1＝14，a 4＝74是一个方程的两根，a 2＝34，a 3＝54
是另一个方程的两个根． ∴m ，n 分别为716，1516. ∴|m －n |＝12
. 答案：12
8解析：a 1=6,a 2=12,a 3=15,a 4=18，…，从第二项起，{a n }才构成等差数列且公差为3，在这个等差数列中第一项是12，而第n 天的租金，是第n-1项，故a n =12+(n-2)×3=3n+6(n≥2).
答案：3n+6(n≥2)。