D8_5隐函数求导高等数学
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Fx Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G x Gv x J ( x, v ) Gu Gv Fy Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G y Gv y J ( y, v ) Gu Gv 1 v 1 ( F , G ) Fu Fv x J ( u, x ) Gu Gv 定理证明略. v 1 1 ( F , G ) 仅推导偏导 y J ( u , y ) Fu Fv 数公式如下： Gu Gv
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二、方程组所确定的隐函数组及其导数
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即
u u ( x, y ) F ( x, y , u , v ) 0 v v ( x, y ) G ( x, y, u, v) 0 由 F、G 的偏导数组成的行列式
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解法2 利用公式 设 F ( x, y , z ) x 2 y 2 z 2 4 z 则 Fx 2x , Fz 2z 4
x x Fx z z2 2 z x Fz
两边对 x 求偏导
2z x ( ) 2 x 2 z x
(2 z ) 2 x 2 (2 z )3
Fy z y Fz
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
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则
F ( x, y , f ( x , y ) ) 0
两边对 x 求偏导
z Fx Fz 0 x
Fx z x Fz
同样可得
Fy z y Fz
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Fx dy dx Fy
(隐函数求导公式)
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
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则
两边对 x 求导
在
的某邻域内 Fy 0
Fx dy dx Fy
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若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 则还有
二阶导数 :
Fx Fy
d y Fx Fx d y ( ) ( ) 2 x Fy y Fy d x dx
v 1 x y J u
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注意 J 0, 从方程组②解得
x 1 v u 1 1y , x J 0 y J v v
x 1 1y v 1 u J u x J y 0 u
同理, ①式两边对 y 求导, 可得
u 1x , y J v
Fu Fv Gu Gv 0 , 故得
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u 1 ( F , G ) x J ( x, v )
v 1 ( F , G ) x J ( u , x )
同样可得
u 1 ( F , G ) y J ( y , v ) v 1 ( F , G ) y J ( u , y )
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例3. 设F( x , y)具有连续偏导数, 已知方程
解法1 利用偏导数公式.
确定的隐函数, 则
z F1 z y x) x F1 y F2 x F1 ( 2 F2 ( 2 )
z
z
F1 1 z
z y ( x2 ) F2 ( y2 ) F1
③J
( F , G) P (u, v)
0
P
则方程组 F ( x, y, u, v) 0 , G ( x, y, u, v) 0 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 u0 u( x0 , y0 ) ,
v0 v( x0 , y0 ) 的单值连续函数 u u( x, y) , v v( x, y), 且有偏导数公式 :
及求导方法问题 .
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一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数 在点 的某一邻域内满足 ① 具有连续的偏导数; ② F ( x0 , y0 ) 0 ; ③ Fy ( x0 , y0 ) 0
则方程 导数
的某邻域内可唯一确定一个 并有连续
单值连续函数 y = f (x) , 满足条件
( F , G ) Fu J Gu (u, v)
Fv Gv
称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.
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定理3. 设函数 ① 在点
导数；
满足:
的某一邻域内具有连续偏
② F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 , G( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ;
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②
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注意 J 0, 从方程组②解得 x 1 v u 1 1 y v 1 , x J 0 y J v x J v
同理, ①式两边对 y 求导, 可得
x 1 1y u y J u 0 u
u 1x , y J v
解: 令 F ( x, y ) sin y e x y 1, 则
x
① Fx e x y, Fy cos y x 连续 ,
② F (0,0) 0 , ③ Fy (0,0) 1 0 由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可 导的隐函数 且
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Fx dy ex y cos y x x 0, y 0 d x x 0 Fy x 0
d y dx 2 x 0
2
d ex y ( ) d x cos y x
( e x y)(cos y x) (e x y )( sin y y 1)
v 1 x y J u
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例5的应用: 计算极坐标变换 x r cos , y r sin
的反变换的导数 .
由于 所以
r
r u 1 y x J v v 1y r x J u
x r 1 y 1 r cos cos 2 x J r x y2
G( x, y, u, v) y y (u, v) 0
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则有
( F , G ) ( x, y ) J 0, ( u, v ) ( u, v )
由定理 3 可知结论 1) 成立.
2) 求反函数的偏导数.
① ①式两边对 x 求导, 得 x u x v 1 u x v x y u y v 0 u x v x
z z
z F2 1
z F2 x F1 y F2
故
Fx z z z z (F1d x F2d y) dz dx d y x F1 y F2 x x y Fz
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解法2 微分法. 对方程两边求微分:
2
x y x
2 Fy
Fx x Fy Fy x Fx
2 Fy
Fx y Fy Fy y Fx
Fx ( ) Fy
Fx x Fy 2 2 Fx y Fx Fy Fy y Fx 2 Fy3
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例1. 验证方程
可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域
并求
dy d2 y , dx x 0 dx 2 x 0
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例5.设函数
邻域内有连续的偏导数,且
在点(u,v) 的某一
1) 证明函数组
在与点 (u, v) 对应的点
( x, y) 的某一邻域内唯一确定一组单值、连续且具有 连续偏导数的反函数 2) 求 对 x , y 的偏导数. 解: 1) 令 F ( x, y, u, v) x x (u, v) 0
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(P34-P35)
Fu Fx Gu G x Fu Fy Gu G y
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F ( x, y , u , v ) 0 有隐函数组 设方程组 G ( x, y, u , v) 0
则
两边对 x 求导得
u 这是关于 , x
系数行列式 J
u v Fx Fu Fv 0 x x Gx Gu u Gv v 0 x x v 的线性方程组 , 在点P 的某邻域内 x
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u u v v , , , . 例4. 设 x u y v 0 , y u x v 1, 求 x y x y 解: 方程组两边对 x 求导，并移项得 u v x y u u v x x , 练习: 求 u v y y y x v 答案: x x u y u xv x y 2 2 2 由题设 J x y 0 y x y2 y x v xu yv u 1 u y xu yv 2 2 y x y2 2 x J v x x y 故有 xv yu v 1 2 2 x y x J
2z 2 2 2 例2. 设 x y z 4 z 0 , 求 2 . x 解法1 利用隐函数求导 z x z z 2x 2z 4 0 x 2 z x x
再对 x 求导
2
z 2 1 ( ) x
z 4 2 0 x
2
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第五节 隐函数的求导方法
一、一个方程所确定的隐函数 及其导数
二、方程组所确定的隐函数组 及其导数
第八章
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本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数;
2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性
x y F1 d( ) F2 d( ) 0 z z z d x xd z zd y y d z F1 ( ) F2 ( )0 2 2 z z F1d x F2 d y xF1 y F2 dz z z2 z dz (F1d x F2 d y) x F1 y F2
y 1y 1 sin 2 J r x r x y2 r y x 2 同样有 2 2 y y x y2 x y
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内容小结
1. 隐函数( 组) 存在定理
sin y ( y) 2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
d2 y 3 2 x0 dx
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定理2 . 若函数 F ( x, y, z ) 满足:
① 在点 ② F ( x0 , y0 , z0 ) 0 ③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 则方程 在点 某一邻域内可唯一确 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足 并有连续偏导数 Fx z , x Fz 的某邻域内具有连续偏导数 ,
( cos y x )
2
3
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x0 y0 y 1
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导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y e x x y 1 0, y y( x)
两边对 x 求导
y
x0
ex y cos y x (0,0)
两边再对 x 求导
结束
Fx Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G x Gv x J ( x, v ) Gu Gv Fy Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G y Gv y J ( y, v ) Gu Gv 1 v 1 ( F , G ) Fu Fv x J ( u, x ) Gu Gv 定理证明略. v 1 1 ( F , G ) 仅推导偏导 y J ( u , y ) Fu Fv 数公式如下： Gu Gv
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二、方程组所确定的隐函数组及其导数
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即
u u ( x, y ) F ( x, y , u , v ) 0 v v ( x, y ) G ( x, y, u, v) 0 由 F、G 的偏导数组成的行列式
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解法2 利用公式 设 F ( x, y , z ) x 2 y 2 z 2 4 z 则 Fx 2x , Fz 2z 4
x x Fx z z2 2 z x Fz
两边对 x 求偏导
2z x ( ) 2 x 2 z x
(2 z ) 2 x 2 (2 z )3
Fy z y Fz
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
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则
F ( x, y , f ( x , y ) ) 0
两边对 x 求偏导
z Fx Fz 0 x
Fx z x Fz
同样可得
Fy z y Fz
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Fx dy dx Fy
(隐函数求导公式)
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
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则
两边对 x 求导
在
的某邻域内 Fy 0
Fx dy dx Fy
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若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 则还有
二阶导数 :
Fx Fy
d y Fx Fx d y ( ) ( ) 2 x Fy y Fy d x dx
v 1 x y J u
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注意 J 0, 从方程组②解得
x 1 v u 1 1y , x J 0 y J v v
x 1 1y v 1 u J u x J y 0 u
同理, ①式两边对 y 求导, 可得
u 1x , y J v
Fu Fv Gu Gv 0 , 故得
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u 1 ( F , G ) x J ( x, v )
v 1 ( F , G ) x J ( u , x )
同样可得
u 1 ( F , G ) y J ( y , v ) v 1 ( F , G ) y J ( u , y )
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例3. 设F( x , y)具有连续偏导数, 已知方程
解法1 利用偏导数公式.
确定的隐函数, 则
z F1 z y x) x F1 y F2 x F1 ( 2 F2 ( 2 )
z
z
F1 1 z
z y ( x2 ) F2 ( y2 ) F1
③J
( F , G) P (u, v)
0
P
则方程组 F ( x, y, u, v) 0 , G ( x, y, u, v) 0 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 u0 u( x0 , y0 ) ,
v0 v( x0 , y0 ) 的单值连续函数 u u( x, y) , v v( x, y), 且有偏导数公式 :
及求导方法问题 .
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一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数 在点 的某一邻域内满足 ① 具有连续的偏导数; ② F ( x0 , y0 ) 0 ; ③ Fy ( x0 , y0 ) 0
则方程 导数
的某邻域内可唯一确定一个 并有连续
单值连续函数 y = f (x) , 满足条件
( F , G ) Fu J Gu (u, v)
Fv Gv
称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.
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定理3. 设函数 ① 在点
导数；
满足:
的某一邻域内具有连续偏
② F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 , G( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ;
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②
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注意 J 0, 从方程组②解得 x 1 v u 1 1 y v 1 , x J 0 y J v x J v
同理, ①式两边对 y 求导, 可得
x 1 1y u y J u 0 u
u 1x , y J v
解: 令 F ( x, y ) sin y e x y 1, 则
x
① Fx e x y, Fy cos y x 连续 ,
② F (0,0) 0 , ③ Fy (0,0) 1 0 由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可 导的隐函数 且
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Fx dy ex y cos y x x 0, y 0 d x x 0 Fy x 0
d y dx 2 x 0
2
d ex y ( ) d x cos y x
( e x y)(cos y x) (e x y )( sin y y 1)
v 1 x y J u
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例5的应用: 计算极坐标变换 x r cos , y r sin
的反变换的导数 .
由于 所以
r
r u 1 y x J v v 1y r x J u
x r 1 y 1 r cos cos 2 x J r x y2
G( x, y, u, v) y y (u, v) 0
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则有
( F , G ) ( x, y ) J 0, ( u, v ) ( u, v )
由定理 3 可知结论 1) 成立.
2) 求反函数的偏导数.
① ①式两边对 x 求导, 得 x u x v 1 u x v x y u y v 0 u x v x
z z
z F2 1
z F2 x F1 y F2
故
Fx z z z z (F1d x F2d y) dz dx d y x F1 y F2 x x y Fz
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解法2 微分法. 对方程两边求微分:
2
x y x
2 Fy
Fx x Fy Fy x Fx
2 Fy
Fx y Fy Fy y Fx
Fx ( ) Fy
Fx x Fy 2 2 Fx y Fx Fy Fy y Fx 2 Fy3
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例1. 验证方程
可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域
并求
dy d2 y , dx x 0 dx 2 x 0
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例5.设函数
邻域内有连续的偏导数,且
在点(u,v) 的某一
1) 证明函数组
在与点 (u, v) 对应的点
( x, y) 的某一邻域内唯一确定一组单值、连续且具有 连续偏导数的反函数 2) 求 对 x , y 的偏导数. 解: 1) 令 F ( x, y, u, v) x x (u, v) 0
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Fu Fx Gu G x Fu Fy Gu G y
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F ( x, y , u , v ) 0 有隐函数组 设方程组 G ( x, y, u , v) 0
则
两边对 x 求导得
u 这是关于 , x
系数行列式 J
u v Fx Fu Fv 0 x x Gx Gu u Gv v 0 x x v 的线性方程组 , 在点P 的某邻域内 x
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u u v v , , , . 例4. 设 x u y v 0 , y u x v 1, 求 x y x y 解: 方程组两边对 x 求导，并移项得 u v x y u u v x x , 练习: 求 u v y y y x v 答案: x x u y u xv x y 2 2 2 由题设 J x y 0 y x y2 y x v xu yv u 1 u y xu yv 2 2 y x y2 2 x J v x x y 故有 xv yu v 1 2 2 x y x J
2z 2 2 2 例2. 设 x y z 4 z 0 , 求 2 . x 解法1 利用隐函数求导 z x z z 2x 2z 4 0 x 2 z x x
再对 x 求导
2
z 2 1 ( ) x
z 4 2 0 x
2
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一、一个方程所确定的隐函数 及其导数
二、方程组所确定的隐函数组 及其导数
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本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数;
2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性
x y F1 d( ) F2 d( ) 0 z z z d x xd z zd y y d z F1 ( ) F2 ( )0 2 2 z z F1d x F2 d y xF1 y F2 dz z z2 z dz (F1d x F2 d y) x F1 y F2
y 1y 1 sin 2 J r x r x y2 r y x 2 同样有 2 2 y y x y2 x y
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内容小结
1. 隐函数( 组) 存在定理
sin y ( y) 2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
d2 y 3 2 x0 dx
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定理2 . 若函数 F ( x, y, z ) 满足:
① 在点 ② F ( x0 , y0 , z0 ) 0 ③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 则方程 在点 某一邻域内可唯一确 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足 并有连续偏导数 Fx z , x Fz 的某邻域内具有连续偏导数 ,
( cos y x )
2
3
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导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y e x x y 1 0, y y( x)
两边对 x 求导
y
x0
ex y cos y x (0,0)
两边再对 x 求导