直线与方程课件

π 5π 所以 β 0， ，π . 6 6
典例分析
题型一直线的倾斜角和斜率
【例2】求直线xcosα + 3y+2=0的倾斜角的取值范围。 求倾斜角范围的步骤是： （1）求出斜率的取值范围； （2）利用正切函数的单调性，结合图象，确定倾 斜角的取值范围。
举一反三
举一反三
3. 设直线l的方程为（a+1）x+y+2-a=0(a∈R). (1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程； （2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. 解析： (1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上
的截距为零，当然相等，∴a=2,方程即为3x+y=0；
当直线不过原点时，∵截距存在且均不为0，
4 4 即3x-4y+8=0或3x+4y-8=0.
写出直线的方程.
题型二
求直线的方程
【例3】求下列直线l的方程. (2)过点A(2,1),它的倾斜角是直线l1：3x+4y+10=0的 倾斜角的一半。
β 解(2)设直线l和l1的倾斜角分别为α 、β ，则有α = 2 3 3 又tanβ =- ,∴tanβ =tan2α = 2tan α =, 2 4 1 - tan α 4
题型一
直线的倾斜角和斜率
【例2】求直线xcosα+ 3y +2=0的倾斜角的取值范围。
分析 解 先求斜率的取值范围，再求倾斜角的取值范围. 因为直线xcosα + 3y +2=0,
所以直线的斜率为k=
cosα 3
.
cosα . 3
设直线的倾斜角为β ,则tan β =
3 3 3 cosα 3 tan β 又因为 ,即 3 3 3 3 3
1 解得tanα =3或tanα = . 3 ∵ π ＜β ＜π ,∴ π＜α = β ＜ π,∴tanα ＞0.
∴tanα = 1 舍去，∴tanα =3.
3
2
4
2
2
由点斜式得y-1=3(x-2),即3x-y-5=0.
题Hale Waihona Puke Baidu二
[例 4]
求直线的方程
过点 A(－5， －4)作一直线 l， 使它与两坐标轴相
[例 1] 求经过 A(m，3)，B(1，2)两点的直线的斜率， 并指出倾斜角 α 的取值范围．
[解] 当 m＝1 时，直线的斜率不存在，此时直线的 倾斜角为 α＝90° . 3－2 1 当 m≠1 时，由斜率公式可得 k＝ ＝ . m－ 1 m－ 1 1 ① 当 m＞1 时，k＝ ＞0，所以直线的倾斜角的 m－ 1 取值范围是 0° ＜α＜90° . 1 ② 当 m＜1 时，k＝ ＜0，所以直线的倾斜角的 m－ 1 取值范围是 90° ＜α＜180° .
基础梳理
1. 直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角 ①定义：直线向上的方向与x轴正方向所成的角,叫
做直线的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，规定 它的倾斜角为00. ②倾斜角的范围为0°≤α<1800 (2)直线的斜率 ①当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜 角α之间满足 k=tanα(α≠900) .
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
方程
不含与x轴垂直的直线x=x1和与 y轴垂直的直线y=y1
x y 1 a b
一般式
不含与坐标轴垂直和过原点的 直线 Ax+By+C=0 平面直角坐标系内的任意一条 (A2+B2≠0) 直线都适用
典例分析
题型一 直线的倾斜角和斜率
交且与两轴所围成的三角形的面积为 5，求直线 l 的方程．
[解]
由题意知，直线l的斜率存在．设直线为y＋4＝
4 k(x＋5)，交x轴于点(k－5，0)，交y轴于点(0，5k－4)， 1 4 S＝2× |k－5|× |5k－4|＝5， 得25k2－30k＋16＝0(无实根)，或25k2－50k＋16＝0， 2 8 解得k＝5，或k＝5， 所以所求直线l的方程为2x－5y－10＝0， 或8x－5y＋20＝0.
举一反三
2．已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，
且过点(6，－2)，求直线l的方程．
解：设直线l在y轴上的截距为b，则其在x轴上的 x y 截距为b＋1，设其方程为 ＋ ＝1. b＋1 b 由于直线l过点(6，－2)， －2 6 所以 ＋ b ＝1，b＝1或b＝2. b＋1 所以直线l的方程为x＋2y－2＝0或2x＋3y－6＝0.
1. 直线xcosθ+y-1=0(θ∈R)的倾斜角的取值范围是 解析: 设倾斜角为α,则k=tanα=-cosθ. .
∵θ∈R,-1≤-cos θ≤1, 即 -1≤tan α≤1,
∴ α∈
π 3 0， π，π 4 4
题型二
求直线的方程
【例3】求下列直线l的方程.
3 (1)过点A(0,2),它的倾斜角的正弦是 ; 5
倾斜角的一半。
(2)过点A(2,1),它的倾斜角是直线l1：3x+4y+10=0的
分析 由已知条件求出直线的斜率，然后用适当形式
3 解 （1）设直线l的倾斜角为α ,则sinα = , 5 3 ∴tanα =± ,∴l的方程为y=± 3 x+2,
(2)直线的斜率
②已知两点P（x1,y1）,Q(x2,y2),如果x1≠x2,那么
直线PQ的斜率为 k y2 y1 (x1 x2 )
x2 x1
③斜率图象：
k

2
o

名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式
适用范围 y-y1=k(x-x1) 不含与x轴垂直的直线（x=x1） y=kx+b 不含垂直于x轴的直线
∴ a 2 =a-2,即a+1=1,
a1
∴a=0,方程即为x+y+2=0.
[点评]
求直线方程的方法及方程形式的选择
(1)待定系数法是求直线方程最基本、最常用的方法．
(2)方程形式的选择； 已知一点通常选择点斜式（要考查斜率不存在的情况）； 已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截 距式或两点式．