人教版高中数学必修一《弧度制》教学课件PPT

一二三
2.角度制与弧度制的换算 (1)角度制与弧度制的换算
课前篇 自主预习
(2)一些特殊角与弧度数的对应关系
度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧 ������ ������ 度 0 180 6
������ 4
������ 3
������ 2
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析 随堂演练
课堂篇 探究学习
弧长公式与面积公式的应用 例4(1)已知扇形的周长为8 cm,圆心角为2,求该扇形的面积; (2)已知扇形的周长为10 cm,面积等于4 cm2,求其圆心角的弧度数. 分析:(1)先求出扇形的半径,再求面积;(2)设出圆心角,建立方程组 求解.
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解:(1)如题图①,330°角的终边与-30°角的终边相同,将-30°
化为弧度,即-π6,而
75°=75×
π 180
=
51π2,所以终边落在阴影部分内(不
包括边界)的角的集合为
������
2������π-
π 6
<
������
<
2������π
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变式训练3以弧度为单位,写出终边落在直线y=-x上的角的集合.
解:在 0 到 2π 范围内,终边落在直线 y=-x 上的角有两个,即34π 和 74π.
所有与3π终边相同的角构成的集合为
4
S1=
������
������
=
3π 4
+
2������π,������∈Z
<
������
<
������π
+
π 2
,������∈Z
.
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反思感悟 用弧度制表示角应注意的问题: (1)用弧度表示区域角,实质是角度表示区域角在弧度制下的应用, 必要时,需进行角度与弧度的换算.注意单位要统一,角度数与弧度 数不能混用. (2)在表示角的集合时,可以先写出一周范围(如-π~π,0~2π)内的角, 再加上2kπ,k∈Z. (3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为{x|x=α+kπ,k∈Z};终 边在相互垂直的两直线上的角的集合可以合并为 ������ ������ = ������ + ������·π2 ,������∈Z ,在进行区间的合并时,一定要做到准确无误.
S=������3π6���0���2
=
1 2
·1������8π0
·R2=12
������
R2.
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2.填空 扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R,弧长为l,α为其圆心角,则
扇形的弧长 扇形的面积
α 为度数
l=1α8���0���R° S=3α6������0R°2
α 为弧度数 l=αR
+
5π 12
,������∈Z
.
(2)如题图②,因为 30°=π6,210°=76π,这两个角的终边所在的直
线相同,
因 又此 终终 边边 在在y 轴直上线的AB角上为的β=角k为π+απ2,=kk∈π+Zπ6, ,k∈Z,
从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为
������
������π
+
π 6
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解:(1)设扇形的半径为 r cm,弧长为 l cm,由圆心角为 2 rad,依据
弧长公式可得 l=2r,从而扇形的周长为 l+2r=4r=8,解得 r=2,则 l=4.
故扇形的面积 S=12rl=12 ×2×4=4(cm2). (2)设圆心角弧度数为 α(0<α<2π),弧长为 l,半径为 r,则有
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2.填空 弧度制的定义
角 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制,规定 1 度的角
度 制
等于周角的 1
360
弧 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,用符 度 号 rad 表示,读作弧度.以弧度作为单位来度量角的单位制叫 制 做弧度制
3.将半径为r的圆的一条半径OA,绕圆心顺时针旋转到OB,若弧 AB长为2r,则∠AOB的大小为多少弧度?
Z),得 k=-1 或 k=0.
∴在-720°~0°范围内,与 β2 有相同终边的角是-60°和-420°.
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用弧度表示角及其范围 例3用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分内(不包括边界) 的角的集合.
分析:先将边界角由角度化为弧度,再根据阴影部分写出角的集 合.
������ + 2������ = 10,
1 2
������������
=
4,
解得
������ = 1, 或 ������ = 8
������ = 4, ������ = 2.
当
������ ������
= =
81,时,α=������������=8>2π,不符合题意,舍去;
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反思感悟 1.不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是
一个与圆的半径的大小无关的定值.
2.用角度制和弧度制度量零角,单位不同,但数量相同(都是0);用
角度制和弧度制度量任一非零角,单位不同,数量也不同.
3.以弧度为单位表示角的大小时,“弧度”或“rad”通常省略不写,但
三角函数
5.1.2 弧度制
-1-
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课标阐释
1.理解 1 弧度角的定义,了解 弧度制的概念. 2.能进行角度与弧度之间的 换算.能熟记一些特殊角的弧 度数. 3.掌握弧度制下弧长与面积 公式,能应用公式解决问题. 4.会利用弧度解决简单的实 际问题,初步体会弧度的应用 价值.
思维脉络
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弧度制的概念 例1(多选题)下列说法中正确的是( ) A.弧度角与实数之间建立了一一对应的关系
B.1
度的角是周角的3610,1
弧度的角是周角的 1
2π
C.根据弧度的定义,180°一定等于π弧度 D.无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径 的大小有关 解析:无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的 半径的大小无关,而是与弧长和半径的比值有关,故D项错误. 答案:ABC
π 180
rad=74π
rad,且 0≤ 74π<2π,
∴-1 485°可以表示为 2×(-5)π+74π.
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反思感悟 角度制与弧度制互化的关键与方法: (1)关键:抓住互化公式π rad=180°是关键;
(2)方法:度数× 1π80=弧度数;弧度数×
S=1lR=1 ������ R2
22
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3.做一做
已知扇形的半径r=30,圆心角α=���6��� ,则该扇形的弧长等
于
,面积等于
,周长等于
.
解析:弧长 l=rα=30× π6=5π,面积 S=12lr=12 ×5π×30=75π,周长为 2r+l=60+5π.
答案:5π 75π 60+5π.
以度为单位表示角的大小时,“度”或“°”不能省去.
4.以弧度为单位度量角时,常把弧度数写成nπ(n∈R)的形式.若无
特别要求,不必把π写成小数,如45°=
������ 4
rad,不必写成45°≈0.785
rad.
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变式训练1下列说法正确的是( ) A.1弧度是长度等于半径的弧 B.1弧度是1°的圆心角所对的弧 C.1弧度是长度等于半径的圆弧所对的圆心角 D.1弧度等于1° 解析:1弧度角的定义:长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角.由上可知,只有C正确. 答案:C
,
所有与7π终边相同的角构成的集合为
4
S2=
������
������
=
7π 4
+
2������π,������∈Z
=
������
������
=
3π 4
+
(2������
+
1)π,������∈Z
,
所以终边落在直线 y=-x 上的角的集合为 S=S1∪S2=
������
������
=
3π 4
+
������π,������∈Z .
一、弧度制 1.(1)在平面几何中,1°的角是怎样定义的? 提示:将圆周分成360等份,每一段圆弧所对的圆心角就是1°的 角. (2)在我们度量长度时,有时用“米”作单位,有时用“尺”作单位,有 不同的单位制,度量质量时,可以使用“千克”、“磅”等不同的单位制, 角的度量除了角度制外,是否也有不同的单位制呢? 提示:有不同的单位制,即弧度制.
180 π
°=度数;
(3)角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度;
(4)角度化为弧度时,其结果写成π的形式,没特殊要求,切不可进行
近似计算,也不必将π化为小数;
(5)注意角度制和弧度制不能混用,如
α=2kπ+45°,k∈Z,β=k·360°+
������ 3
,k∈Z都是不正确的写法.
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解:(1)α1=-570°=-517800π=-196π,α2=750°=715800π =
25π 6
.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∵α1=-196π=-2×2π+56π,α2=256π=2×2π+π6,
∴α1 是第二象限角,α2 是第一象限角.
(2)β1=35π
=
3 5
×180°=108°,设
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解:(1)∵1°=1π80 rad,
∴112°30'=112.5°=112.5×
π 180
rad=58π
rad.
(2)∵1 rad=
180 π
°,
∴
2π 3
rad=23π ×
180 π
°=120°.
(3)∵-1 485°=-5×360°+315°,
315°=315×
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变式训练 2 已知 α1=-570°,α2=750°,β1=35π,β2=-π3.
(1)将α1,α2用弧度表示出来,并指出它们是第几象限角; (2)将β1,β2用角度表示出来,并在-720°~0°范围内,找出与它们有 相同终边的所有角.
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2������ 3
3������ 4
5������ π 6
3������ 2π 2
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3.做一做 下列换算结果错误的是( ) A.60°化成弧度是π3 B.-130 π化成度是-600° CD..-11π25化0°成化度成是弧1度 5°是-76 π 解析:-150°化成弧度是-56 π,故 C 项错误. 答案:C
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三、弧度制下扇形的弧长与面积公式
1.在弧度制下,弧长公式和扇形面积公式可以写成什么形式?你能
推导吗?
提示:弧长公式:由公式|α|=������������及 0<α<2π 可得 l=α·R;扇形面积公
式:S=12lR,因为 α=1������8π0,l=���1���π80������,其中 n 表示圆心角的度数,所以
θ=k·360°+108°(k∈Z),则由
-720°≤θ<0°,得-720°≤k·360°+108°<0°(k∈Z),解得 k=-2 或
k=-1.
∴在-720°~0°范围内,与 β1 有相同终边的角是-612°和
-252°.
β2=-π3=-13 ×180°=-60°, 设 γ=k·360°-60°(k∈Z),则由-720°≤k·360°-60°<0°(k∈
8π 12
=
23π.
答案:23π
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二、角度与弧度的换算
1.由360°=2π rad,180°=π rad,你能进行角的角度数与弧度数的
转换吗?即1°的角等于多少弧度?1 rad的角等于多少度?
提示:1°=1π80 rad≈0.017 45 rad;
1 rad=
180 π
°≈57.30°.
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弧度与角度的换算 例2(1)把112°30'化为弧度;
(2)把23π rad 化成度;
(3)将-1 485°表示成2kπ+α(k∈Z)的形式,且0≤α<2π.
分析:(1)角度数乘以1π80即为弧度数;(2)弧度数乘以
180 π
°即为角
度数;(3)先把任意角表示为终边与其终边相同的角,再化成弧度制.
提示:-2弧度.
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4.填空 弧度数的计算
角
弧度数
正角
正数
负角
负数
零角
0
计算公式 |α|=l(其中 l 为 α 所对的弧长,r 为圆的半径)
r
5.做一做
已知半径为12 cm,弧长为8π cm的弧,其所对的圆心角为α,则α的
弧度数的绝对值是
.
解析:|α|=������������
=