第六章布莱克舒尔斯期权定价模型
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第六章 布莱克-舒尔斯期权定 价模型
第一节 证券价格的变化过程
一、弱式效率市场假说与马尔可夫过程
1965年，法玛（Fama）提出了著名的效 率市场假说。该假说认为，投资者都力 图利用可获得的信息获得更高的报酬； 证券价格对新的市场信息的反应是迅速 而准确的，证券价格能完全反应全部信 息；市场竞争使证券价格从一个均衡水 平过渡到另一个均衡水平，而与新信息 相应的价格变动是相互独立的。
S
(6.10)
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
六、证券价格自然对数变化过程
令 G ln S，由于 代入式（6.10）:
G S
1 S
,
2G S 2
1 S2
, G t
0
dG ( 2 )dt dz
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
四、证券价格的变化过程
证券价格的变化过程可以用漂移率为μS、
方差率为 的伊2S藤2 过程来表示：
dS Sdt Sdz
两边同除以S得：
dS dt dz
（二）普通布朗运动
我们先引入两个概念：漂移率和方差率。
标准布朗运动的漂移率为0，方差率为 1.0。
我们令漂移率的期望值为a,方差率的期
望值为b2，就可得到变量x 的普通布朗
运动：dx adt bdz
（6.4）
其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗
运动。
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
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第二节 布莱克——舒尔斯期权 定价模型
一、布莱克——舒尔斯微分方程
（一）布莱克——舒尔斯微分方程的推 导
S
（6.6）
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
从（6.6）可知，在短时间后，证券价格 比率的变化值为：
S t t
S 可见，S也具有正态分布特征
S
S ~ (t, t ) (6.7)
S
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
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效率市场假说可分为三类：弱式、半强式 和强式。
弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程 （Markov Stochastic Process）来表述。
随机过程是指某变量的值以某种不确定的 方式随时间变化的过程。可分为离散型的 和连续型的。马尔可夫过程是一种特殊类 型的随机过程。
五、伊藤引理
若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函
数G将遵循如下过程：
dG
( G x
a
G t
1 2
2G x2
b2 )dt
G x
bdz（6.8）
由于 dS Sdt Sdz （6.9）
根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循 如下过程：
dG
( G S
S
G t
1 2
2G S 2
2S 2 )dt
G Sdz
量z在时间 内t 的变化，遵循标准布朗运 动的 具z有两种特征：
特征1：和z t的关系满足（6.1）：
z t
（6.1）
其中，代表从标准正态分布（即均值为0、
标准差为1.0的正态分布）中取的一个随
机值。
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
2
（6.11）
证券价格对数G遵循普通布朗运动,且：
ln ST
ln S
~ [(
2 2
)(T
t),
T t]
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
例6.2 设A股票价格的当前值为50元,预期收益 率为每年18%,波动率为每年20%,该股票 价格遵循几何布朗运动,且该股票在6个 月内不付红利，请问该股票6个月后的价 格ST的概率分布。 例6.3 请问在例6.2中，A股票在6个月后股票价 格的期望值和标准差等多少？
例6.1
设一种不付红利股票遵循几何布朗运动， 其波动率为每年18%，预期收益率以连 续复利计为每年20%，其目前的市价为 100元，求一周后该股票价格变化值的概 率分布。
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
如果证券价格遵循马尔可夫过程，则其未 来价格的概率分布只取决于该证券现在的 价格。
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二、布朗运动
（一）标准布朗运动
设 代t 表一个小的时间间隔长度，z代表变
三、伊藤过程
普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若
把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的
函数，我们可以从公式（6.4）得到伊藤过程
（Ito Process）：
Fra Baidu bibliotek
dx a(x,t)dt b(x,t)dz
(6.5）
其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x 和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。
标准布朗运动(2)
特征2：对于任何两个不同时间间隔，t 和 z的值相互独立。
考察变量z在一段较长时间T中的变化情
形，我们可得： N z(T ) z(0) i t （6.2）
i 1
当0时，我们就可以得到极限的标准布
朗运动： dz dt
（6.3）
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第一节 证券价格的变化过程
一、弱式效率市场假说与马尔可夫过程
1965年，法玛（Fama）提出了著名的效 率市场假说。该假说认为，投资者都力 图利用可获得的信息获得更高的报酬； 证券价格对新的市场信息的反应是迅速 而准确的，证券价格能完全反应全部信 息；市场竞争使证券价格从一个均衡水 平过渡到另一个均衡水平，而与新信息 相应的价格变动是相互独立的。
S
(6.10)
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六、证券价格自然对数变化过程
令 G ln S，由于 代入式（6.10）:
G S
1 S
,
2G S 2
1 S2
, G t
0
dG ( 2 )dt dz
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四、证券价格的变化过程
证券价格的变化过程可以用漂移率为μS、
方差率为 的伊2S藤2 过程来表示：
dS Sdt Sdz
两边同除以S得：
dS dt dz
（二）普通布朗运动
我们先引入两个概念：漂移率和方差率。
标准布朗运动的漂移率为0，方差率为 1.0。
我们令漂移率的期望值为a,方差率的期
望值为b2，就可得到变量x 的普通布朗
运动：dx adt bdz
（6.4）
其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗
运动。
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第二节 布莱克——舒尔斯期权 定价模型
一、布莱克——舒尔斯微分方程
（一）布莱克——舒尔斯微分方程的推 导
S
（6.6）
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
从（6.6）可知，在短时间后，证券价格 比率的变化值为：
S t t
S 可见，S也具有正态分布特征
S
S ~ (t, t ) (6.7)
S
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效率市场假说可分为三类：弱式、半强式 和强式。
弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程 （Markov Stochastic Process）来表述。
随机过程是指某变量的值以某种不确定的 方式随时间变化的过程。可分为离散型的 和连续型的。马尔可夫过程是一种特殊类 型的随机过程。
五、伊藤引理
若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函
数G将遵循如下过程：
dG
( G x
a
G t
1 2
2G x2
b2 )dt
G x
bdz（6.8）
由于 dS Sdt Sdz （6.9）
根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循 如下过程：
dG
( G S
S
G t
1 2
2G S 2
2S 2 )dt
G Sdz
量z在时间 内t 的变化，遵循标准布朗运 动的 具z有两种特征：
特征1：和z t的关系满足（6.1）：
z t
（6.1）
其中，代表从标准正态分布（即均值为0、
标准差为1.0的正态分布）中取的一个随
机值。
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
2
（6.11）
证券价格对数G遵循普通布朗运动,且：
ln ST
ln S
~ [(
2 2
)(T
t),
T t]
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例6.2 设A股票价格的当前值为50元,预期收益 率为每年18%,波动率为每年20%,该股票 价格遵循几何布朗运动,且该股票在6个 月内不付红利，请问该股票6个月后的价 格ST的概率分布。 例6.3 请问在例6.2中，A股票在6个月后股票价 格的期望值和标准差等多少？
例6.1
设一种不付红利股票遵循几何布朗运动， 其波动率为每年18%，预期收益率以连 续复利计为每年20%，其目前的市价为 100元，求一周后该股票价格变化值的概 率分布。
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
如果证券价格遵循马尔可夫过程，则其未 来价格的概率分布只取决于该证券现在的 价格。
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
二、布朗运动
（一）标准布朗运动
设 代t 表一个小的时间间隔长度，z代表变
三、伊藤过程
普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若
把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的
函数，我们可以从公式（6.4）得到伊藤过程
（Ito Process）：
Fra Baidu bibliotek
dx a(x,t)dt b(x,t)dz
(6.5）
其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x 和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。
标准布朗运动(2)
特征2：对于任何两个不同时间间隔，t 和 z的值相互独立。
考察变量z在一段较长时间T中的变化情
形，我们可得： N z(T ) z(0) i t （6.2）
i 1
当0时，我们就可以得到极限的标准布
朗运动： dz dt
（6.3）
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*