19.(0-1)参数分布的区间估计+单侧置信区间+第七章复习课

i 1 n
L( )称为样本的似然函数 .
21
最大似然估计的性质
设 的函数 u u( ) , 具有单值反函 ˆ 是 X 的概率密度函数 数 ( u) , u U , 又设 f ( x; ) ( f 形式已知) 中的参数 的最大似然估 ˆ ) 是 u( )的最大似然估计. ˆ u( 计, 则 u
25
置信区间和置信上限、置信下限
设总体 X 的分布函数 F ( x; ) 含有一个未知参 数 , 对于给定值 (0 1), 若由样本X 1 , X 2 ,, X n 确定的两个统计量
( X 1 , X 2 ,, X n )和 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 满足
13
又根据
( n 1) S 2
( n 1) S 2 2 有 P 1 ( n 1) 1 , 2 2 ( n 1) S 2 即 P 2 1 , 1 ( n 1)

2
~ ( n 1),
S X t ( n 1 ), , n 单侧置信下限
正态总体方差 2 的置信水平为1 的单侧置信区间
( n 1) S 2 0, 2 ( n 1) . 1 单侧置信上限 2
16
第七章
1.重点
参数估计
最大似然估计. 一个正态总体参数的区间估计.
其中：
即为二次方程 的两个根
5
2 a ( z n) , b (2nX z ), c nX 2
2 2
2
得 p 的近似的置信度为 1
( p1 , p2 )
的置信区间为:
例6. 从一大批产品中任取100件产品进行检验，发 现其中有 60 件是一级品。
试求：这批产品的一级品率 p 的置信度为 95% 的置信区间. 解: 由题意可知： 一级品率 p 是(0---1)分布的参数
t ( n 1) t0.05 (4) 2.1318,
s x t ( n 1) 1065. n
的置信水平为0.95 的置信下限
15
本次课复习
正态总体均值 的置信水平为1 的单侧置信区间
S , X t ( n 1 ) , n 单侧置信上限
第 6节
(0--1)分布参数的区间估计
这是一种特殊的离散型分布的区间估计，取自容 量 n > 50 的大样本。取大样本的目的是意在利用 中心极限定理，使其近似服从标准正态分布.
问题: 设总体 X 服从参数为 p 的 (0---1)分布
A发生时 1 当事件 X A不发生时 0 当事件
且 P ( X 1) p, P ( X 0) 1 p q
2 2
nX n p z n p(1 n p)
2
nX n p z n p(1 n p)
2
3
即
p X
wk.baidu.comz
2
p X
z
n
2
n p(1 n p)
由韦达定理：
p1 p2 2 X ,
n
n p(1 n p)
p1 p2 X z
2
2
由此可构造关于 p 的一个二次方程: 2 [np(1 p)] 2 z n2 f ( p) p 2 2 X p ( X 2 2 [ p(1 p)]) p1 , p2 是关于 n 2 p p 2 2 2 2 p 的二次方 p 2 X p X z z 2 n 2 n 程的两个根。
2
于是得 2 的一个置信水平为1 的单侧置信区间 2 ( n 1) S 0, 2 ( n 1) , 1 2 的置信水平为 1 的单侧置信上限 2 ( n 1 ) S 2 2 . 1 ( n 1) 14
三、典型例题
8
第七节
单侧置信区间
一、问题的引入
二、基本概念 三、典型例题
9
一、问题的引入
在以上各节的讨论中 , 对于未知参数 , 我们给 出两个统计量 , , 得到的双侧置信区间( , ).
但在某些实际问题中, 例如, 对于设备、元 件的寿命来说, 平均寿命长是我们希望的, 我们 关心的是平均寿命 的“下限”; 与之相反, 在 考虑产品的废品率 p时, 我们常关心参数 p的 “上限”, 这就引出了单侧置信区间的概念.
23
有效性
ˆ1 和 ˆ2 , 如果 比较参数 的两个无偏估计量 ˆ1 的观察值在真值 在样本容量 n 相同的情况下, ˆ2 更密集 , 则认为 ˆ1 较 ˆ2 有效 . 的附近较
由于方差是随机变量取值与其数学期 望的偏离程度, 所以无偏估计以方差小者为好. ˆ1 ˆ1 ( X 1 , X 2 , , X n ) 与 ˆ2 ˆ2 ( X 1 , X 2 , , X n ) 设
(
2 z
2
n
1) p 2 (2 X
2 z
2
n
)p X2
4

z
2 2
n
(
1 0
2

二次方程图形开口向上
2 z 2
2 z
n
2 2
1) p 2 (2 X
2
n
)p X2 0
2 2 2
( z n) p (2nX z ) p nX 0
1 记： p1 ( b b 2 4ac ) 2a 1 p2 ( b b 2 4ac ) 2a
7
1 p1 (b b 2 4ac ) 0. 5020 2a
1 2 p2 (b b 4ac ) 0.6906 2a
得一级品率 p 的置信度为 95% 的置信区间:
( 0. 5020, 0.6906 )
即用 X 0.6 作为一级品率 p 的估计值的可靠程度 达到 95% 的区间为 ( 0. 5020, 0.6906 )
10
二、基本概念
1. 单侧置信区间的定义
对于给定值 ( 0 1 ) , 若由样本 X 1 , X 2 ,, X n 确定的统计量 ( X 1 , X 2 ,, X n ) , 对于任意
满足
P { } 1 ,
则称随机区间 ( , ) 是 的置信水平为 1 的单 侧置信区间, 称为 的置信水平为 1 的单侧置 信下限 .
2.难点
显著性水平 与置信区间.
17
3.主要内容 矩估计量
最大似然估 计量 似 然 函 数
估 计 量 的 评 选
无偏性 有效性 相合性
正态总 体均值 方差的 置信区 间与上 下限
最大似然估计的性质
求置信区间的 步骤 置信区间和上下限
18
3.主要内容 矩估计量
用样本矩来估计总体矩,用样本矩的连续 函数来估计总体矩的连续函数,这种估计法称 为矩估计法. 矩估计法的具体做法: 令 l Al , l 1, 2,, k ,

ˆ ( X 1 , X 2 ,, X n ) 参数 的最大似然估计量 .
20
似然函数
1. 设总体 X 属离散型
L( ) L( x1 , x2 , , xn ; ) p( xi ; ),
i 1
n
L( )称为样本似然函数 .
2. 设总体 X属连续型
L( ) L( x1 , x2 ,, xn ; ) f ( xi ; ),
设正态总体 X 的均值是 , 方差是 2 (均为未知) , X ~ t ( n 1), X1 , X 2 ,, X n 是一个样本, 由 S/ n X 有 P t ( n 1) 1 , S / n S 即 P X t ( n 1) 1 , n 于是得 的一个置信水平为1 的单侧置信区间 S t ( n 1), , X n S X t ( n 1). n
11
又如果统计量 (X 1 , X 2 ,, X n ), 对于任 意 满足 P{ } 1 ,
则称随机区间 ( , ) 是 的置信水平为 1 的 单侧置信区间, 称为 的置信水平为 1 的单侧 置信上限.
12
2. 正态总体均值与方差的单侧置信区间
ˆ 作为未知参数 的估计值, 取得最大值的 ˆ ) max L( x1 , x2 , , xn ; ). 即 L( x1 , x2 , , xn ;
( 其中 是 可能的取值范围)
ˆ 与样本值 x1 , x2 ,, xn有关, 记为 这样得到的 ˆ ( x1 , x2 ,, xn ), 参数 的最大似然估计值 ,
ˆ1 ) D( ˆ2 ), 都是 的无偏估计量 , 若有 D( ˆ1较 ˆ2有效. 则称
24
相合性
ˆ ˆ ( X 1 , X 2 ,, X n ) 为参数 的估计量, 若 ˆ ( X 1 , X 2 , , X n ) 若对于任意 , 当 n 时 , ˆ 为 的相合估计量. 依概率收敛于 , 则称
P{ ( X 1 , X 2 ,, X n ) ( X 1 , X 2 ,, X n )} 1 ,
所以由中心极限定理得:
X
i 1
n
i
np
nX n p n p (1 p)
n p (1 p)
~ N (0,1)
2
P ( z
由不等式:
2
nX np z ) 1 2 np(1 p)
nX n p n p(1 p)
2
z
z
2
z n p(1 p) nX n p z n p(1 n p)
例1 设从一批灯泡中, 随机地取5只作寿命试验, 测得寿命(以小时计)为 1050, 1100, 1120, 1250, 1280, 设灯泡寿命服从正态分布, 求灯泡寿命平均 值的置信水平为 0.95 的单侧置信下限. 解 1 0.95, n 5, x 1160, s 2 9950,
6
1 95%
查表得：
2
0.05
z z0.025 1.96
60 0.6 又 n 100（大样本）， X 100 经计算得：
a n z 100 (1.96) 103.84
2 2 2
b (2nX z )
2 2
(2 100 0.6 (1.96)2 ) 123.84
即 X 的分布律为:
1
P( X x) f ( x; p) p (1 p)
x
1 x
x 0, 1
其中 p 为未知参数 求: p 的置信水平为 1 的置信区间. 解: 由已知， E( X ) p,
D( X ) p (1 p) pq
2
X1 , X 2 X n 是一个大样本,
22
无偏性
若 X1 , X 2 ,, X n 为总体 X 的一个样本，
是包含在总体X 的分布中的待估参数 , (是 的取值范围)
ˆ ( X 1 , X 2 ,, X n )的数学期望 若估计量 ˆ )存在, 且对于任意 有 E ( ˆ ) , 则称 E ( ˆ 是 的无偏估计量.
这是一个包含k 个未知参数1 , 2 ,, k 的方程组,
解出其中1 , 2 ,, k . ˆ1 , ˆ2 ,, ˆk 分别作为 1 , 2 ,, k 的 用方程组的解
估计量 , 这个估计量称为矩估计 量.
19
最大似然估计量
得到样本值 x1 , x2 ,, xn 时 , 选取使似然函数L( )