6-3分式线性映射

w w1 k z z1 w w2 z z2
k为复常数
特别地，当w1 0, w2 时有
w k z z1 z z2
例 5 求将区域D z : z 1, Im z 0映射为
33
四、分式线性映射的确定
分式线性映射w az b (ad bc 0) cz d
含有三个独立的常数,
只需给定三个条件就能决定一个分式线性映射. 定理4 在 z 平面上任意给定三个相异的点z1, z2 , z3 , 在 w 平面上也任意给定三个相异的点w1, w2 , w3 , 那末就存在唯一的分式线性映射, 将 zk (k 1,2,3) 依次映射成wk (k 1,2,3).
即：分式线性映射具有保对称性
32
证明：设Γ 是过w1与w2的任意一个圆，则其原像 C是过z1与z2的圆，由z1与z2关于C对称，有C与C 正交，由保角性Γ与Γ 正交，即过w1与w2任意圆
与Γ正交，因此对称.
例4 求一分式线性映射w az b 将单位圆内部 cz d
变为上半平面.
z

在讨论函数f ( z)在z 点附近的性态时,可以先
通过反演映射将f ( z)化为( ),再讨论( )在原
点附近的性态.
16
三、分式线性映射的性质
主要包括分式线性映射的保形性、保圆性、 保对称点性.
1 保形性
(1) 考察 w 1 z
z

0, z

, w

1 z
解析 ，并且dw dz
D(u2 v2 ) Bu Cv A 0.
24
(2) 如果给定的圆周或直线上没有点映射无穷 远点, 那末它就映射成半径为有限的圆周;若有 一个点映射成无穷远点, 那末它就映射成直线.
(3)由于三点确定一个圆，因此在求线性映射下 某圆域的像时，只要在圆周上取三点，分别确 定出对应的像点，即可得到相应的圆和圆域.

re i
,
则有
w1

1 z

1 ei r
,
从而 w1 z 1. 故可知:
w

w1

1 ei r
,
z与w1是关于单位园周 z 1的对称点
z 关于单位圆对称
w1 关于实轴对称
w
.z w1.
o w.
14
为了后面讨论方便，作如下的规定和说明：
(1) 映射 w 1将z 映射成 w 0, z


1 z2
17
当z ,令 1 ,则w ( ) , '(0) 1 0,
z
所以映射在除去z 0,映射是共形的.
w 1 在z 0点 的 保 形 性 可 以 由z 1 在w
z
w
点的保形性得到.
综上所述知: 映射 w 1 在扩充复平面上是共形映射.
z
18
(2) 考察 w f (z) az b (a 0)
因为 f (z) a 0, 所以当z 时,映射是共形的.
当z ,令 1 ,u 1 ,则有u ( )
zw
b a
( )在 0解 析 ,并 且 ' (0) 1 0,因 此 映
z
7
二、几种简单的分式线性映射
(为方便起见, 令w平面与z平面重合) 1. w z b 平移映射 在此映射下, z沿向量b(即复数b所表示的向量)
的方向平移一段距离b后, 就得到w.
(z) (w)
w b
z o
8
2. w zei0 旋转映射
设 z rei , 那末 w rei( 0 ) ,
证 设 w az b (ad bc 0) 将相异点 cz d
zk (k

1,2,3)
依次映射成
wk

azk czk
b d
(k

1,2,3)
所以
w

wk

(z zk )(ad bc) , (cz d )(czk d )
(k 1,2)
w3

wk

(z3 zk )(ad bc) , (cz3 d )(czk d )
(k 1,2)
由此得 w w1 : w3 w1 z z1 : z3 z1 . w w2 w3 w2 z z2 z3 z2
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w w1 : w3 w1 z z1 : z3 z1 . （*） w w2 w3 w2 z z2 z3 z2 对 上 式 整 理 后 便 可 以 得到 形 如w az b 的 分
第六章 共形映射
第三节 分式线性映射
一、分式线性映射的概念 二、几种简单的分式线性映射 三、分式线性映射的性质 四、分式线性映射的确定 五、两个典型区域间的分式线性映射
一、分式线性映射的概念
w az b (ad bc 0, a,b,c,d均为常数.) cz d
称为分式线性映射.
故z1与z2在z0的同侧,并且z0z3为的切线,根据切割 线定理得到
z1 z0 z2 z0 z3 z0 2 R2
因此z1与z2关于圆周C对称
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定理3 (保对称点性) 设点 z1, z2 是关于圆周C的一对对称点, 那么
在分式线性映射下它, 们的像点 w1,w2是关于
C的像曲线的一对对称点.
令 z x iy, w 1 u iv,
z
有 1 u iv x iy
即
x
u u2 v2 ,
y

v u2 v2
代入z平面圆方程得其像曲线方程:
D(u2 v2 ) Bu Cv A 0.
所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.
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3) 分式线性映射 w f (z) az b (ad bc 0) cz d
分式线性映射的逆映射, 也是分式线性映射.
3) w ( 0) z ( 0) z
w az b ((ad bc ( )( ) 0))
上将圆映射为圆的性质. 特殊地，直线可看作是半径为无穷大的圆周. 1) 映射 w az b (a 0) 特点: 将 z平面内一点z0经平移旋转伸缩而得到
像点 w0. 所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.
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2) 映射 w 1 z
若z平面上圆方程为:A( x2 y2 ) Bx Cy D 0
因为映射由w 1 , w az b (a 0) 复合而成. z
定理2 分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射 成扩充w平面上的圆周, 即具有保圆性.
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说明
(1)从下面的式子可以看出由 , 于当D 0时,所给 的圆通过原点,经过反演映射后,原点被映射到 无穷远点，圆周变成直线.
A( x2 y2 ) Bx Cy D 0
(1) w z b , (2) w z ei , (3) w rz , (4) w 1 .
z
6
(1) w z b , (2) w z ei , (3) w rz , (4) w 1 .
z
由于前三种函数可以构成整式线性映射, 因此分式线性映射可以分解为整式线性映射 与w 1 的复合.
规定: 无穷远点的对称点是圆心O.
12
作图: 设P在C外, 从P作C的切线PT, 由T作OP的垂
线 TP与 OP交于 P, 那么 P与 P即互为对称点.
.T
C
r o.
.P
OPT ~ OTP
. P OP : OT OT : OP
OP OP OT 2 r2
13
设
z
cz d
式 线 性 映 射 .(*)称为对应点公式. 利用z 0,z 可使上述公式得到简化.
推论1 如果zk或wk中有一个为，则只需将对 应点公式中含的项换为1 .
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推论 2 设w f (z)是一个分式线性映射,并且有 w1 f (z1)以及w2 f (z2 )，则它可以表示为
cz d
两分式线性映射复合仍为分式线性映射
4
4) 分式线性映射的分解
w az b a bc ad cz d c c(cz d )
令
1

cz

d,
2

1
1
,
则w A 2 B( A, B为常数)
一个一般形式的分式线性映射是由下列四种
特殊的简单映射复合而成: (1) w z b , (2) w z ei , (3) w rz , (4) w 1 .
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必要性：若z1与z2关于C对称，则L过z0点，故L与 C正交，又由定义可知
z1 z0 z2 z0 R2 z3 z0 2
根据切割线定理，也与C正交，因此过z1, z2的任 意圆都与C正交.
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充分性：若过z1与z2所有圆都与C正交，故L与C正 交，故L过z0点,即z0 , z1, z2三点共线,又与C正交，
z
对 w az b 的研究可化为对以上映射的研究. cz d
5
例1 将分式线性映射w 2z 分解为四种形式 zi
的复合.
解： w
2z

2
2i

i
2 2e 2 (
1
)
zi
zi
zi
1
i
z zi z1 z1 z2 z2e2 z3 2z3 z4 z42 w
a
射u ( )在 0是 保 形 的并 , 且 0时，
u 0.
19
而 w 1 在u 0处保形, u
即: w az b在z 处保形. 综上所述:
映射 w az b在扩充复平面上是处处共形的.
定理 1 分式线性映射ห้องสมุดไป่ตู้扩充复平面上是 共形映射。
20
2 保圆性 所谓保圆性指分式线性映射在扩充复平面
说明:
1) ad bc 0的限制，保证了映射的保角性.
否则,
dw 由于 dz

ad bc (cz d )2

0,有w

常数.
那末整个z平面映射成 w平面上的一点.
2) 由 w az b (ad bc 0) cz d
z dw b (ad bc 0) cw a
25
例 2 求实轴在映射w 2i 下的像曲线. zi
在实轴上取三点 z , 0, 1 对应像点分别为 w 0, 2, 1 i 像曲线为 w 1 1
26
w
2i
2(
1

i
)e 2
zi zi
分解映射
z1 z i,
z2

1 z1
,
z3 2z2 ,
i
w z3e 2
即当z 时, w 0.
如果把 w 1 改写成 z 1 ,
z
w
可知当 w 时, z 0.
结论:分式线性映射在扩充复平面上一一对应.
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(2)规定函数f (z)在z 点及其邻域的性态可由
函数( )在 0点及其邻域的性态来确定,其中
1 ,( ) f ( 1 ) f ( z).
因此, 把z转一个角度 0 就得到 w.
(z) (w)
w
0 z
o
9
3. w rz 相似映射 设 z ei 那末 w rei ,
因此，将 z 伸长(缩短)到
z的r倍后, 就得到w.
(z) (w)
w
z o
10
4. w 1 反演映射 z
此映射可进一步分解为
w1

1 z
,
w w1
欲由点z作出点w, 可考虑如下作图次序:
z z w1 w 关于横轴对称
关键: 在几何上如何由 z w1 ?
11
对称点的定义: 设C为以原点为中心, r为半径的圆周. 在以
圆心为起点的一条半直线上, 如果有两点 P与 P
满足关系式
OP OP r 2 ,
那末就称这两点为关于这圆周的对称点.
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例 3 求区域D z : z 1 2, z 1 2 在映
射w z i 下 的 像. zi
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3 保对称点性 引理 z1, z2 是关于圆周C : z z0 R的一对对称点的 充要条件是: 经过 z1, z2的任何圆周Γ与 C正交. 证明：下面两种情况是显然成立的 (1)C为 直 线(;2)C为 半 径 有 限 的圆 ， 且 z1与 z2中 有一个为无穷远点. 因此，只需要证明C为半径有限,且z1与z2均有限 点时即可.