11.7 节 斯托克斯公式

y
dydz dzdx dxdy
1
dydz dzdx dxdy
Dyz
Dzx
Dxy
3 dxdy 3
Dxy
2
Dxy o
x 1
6
例 2 计算 ( y2 z2 )dx (z2 x2 )dy ( x2 y2 )dz
其中， 是平面 x y z 3 截立方体: 0 x 1, 2
其中
的单位法向量为
n
cos
i
cos
j
cos
k,
的单位切向量为
t cos i cos j cos k
12
★ 斯托克斯公式的向量形式
rotA ndS A t ds
或
(rotA)n dS Atds
其中
(rotA)n rotA n
(R Q)cos (P R)cos (Q P )cos
R Q
P R
Q P
(
y
z
)dydz ( z
)dzdx ( x
x
y
)dxdy
Pdx Qdy Rdz
2
便于记忆形式
dydz dzdx dxdy
x
y
z
Pdx Qdy Rdz
PQ R
另一种形式
cos cos cos
x
y
z
dS Pdx Qdy Rdz
PQR
其中，n {cos,cos ,cos}为有向曲面的单位法向量.
i jk
向量
称为为向量场 A的旋度 (rotA).
x y z
PQR
i jk
旋度 rotA
x y z
PQR
(R
Q
)i
(P
R)
j
(Q
P
)k .
y z
z x
x y 11
斯托克斯公式的又一种形式
[(
R y
Q ) cos
z
(P z
R)cos x
(Q x
P y
)cos
]dS
(P cos Q cos Rcos )ds
第七节 斯托克斯(Stokes)公式
一、Stokes公式 二、简单应用
1
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边 界的分片光滑的有向曲面, 的正向与的侧符合右手 规则, 函数P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z)在包含曲面
在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有
x2 y2
x y3
Dxy
2
x y1 2
4
3
(
x
y
z)ds
(在上x y z 3) 2
43
3
2
dS
2
3
Dxy
3dxdy
9. 2
8
三、环流量与旋度
1. 环流量的定义:
设向量场 A(x, y, z) P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k
则沿场 A中某一封闭的有向曲线C 上的曲线积分
CA ds C Pdx Qdy Rdz
称为向量场A沿曲线C 按所取方向的环流量.
9
利用stokes公式, 有
i jk
环流量
CA ds
x
y
dS z
PQR
10
2. 旋度的定义:
设向量场 A(x, y, z) P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k
0 y 1,0 z 1的表面所得的截痕,若从 x 轴的正向
看去,取逆时针方向.
解 取Σ为平面 x y z 3 2
的上侧被 所围成的部分.
z
n
则
n
1 {1,1,1}
3
o
x
y
7
即 cos cos cos 1 ,
3
1
1
1
3
I
x
y2 z2
3
y z2 x2
3 dS z
的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.
解：由斯托克斯公式可得：
zdx xdy ydz
dydz dzdx dxdy
x
y
z
zxy
dydz dzdx dxdy
z
1
n
0 Dxy 1 x
y 1
5
由于有向曲面 的法向量的三个方向余 弦都为正，
因此，有向曲面 可分别视为：
取前侧、取右侧和取上侧.
y z
z x
x y
At
A
n
P cos
Qcos
பைடு நூலகம்
R cos
13
环流量
rotA
ds
Atds
Stokes公式的物理解释:
向量场 A沿有向闭曲线 的环流量等于向量 场 A的旋度场通过 所张的曲面的通 量.( 的正向与 的侧符合右手法则)
14
3
斯托克斯(Stokes)公式的实质:
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线 积分之间的关系.
(当Σ是 xoy面的平面闭区域时)
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
4
二、简单的应用
例 1 计 算 zdx xdy ydz , 其 中 , 是 平 面
x y z 1被三坐标面所截成的三角形的整个边界, 它