第六章 6.3 分式线性映射

(3) 由原像之间的关系(如夹角等)确定像之间的关系。
14
2z 例 求直线 C { z : Im z 1} 在映射 w 下的像曲线。 zi
P147 例6.6 修改
解 方法一 分解为四种简单映射 w 2 2 e

π i 2
z
zi
平移
z1
1 z1
倒数
z2
e

π i 2 z
1 . zi
4
二、分式线性映射的分解
下面分别对四种映射进行讨论。为了比较映射前后的变化，
将 w 平面与 z 平面放在同一个平面上。
1. 平移映射
w z b , ( b 为复数 )
令 w u iv , z x i y ,
b b1 i b2 ,
则有 u x b1 , v y b2 . 它将点集(点、 曲线 、 区域等)沿着 向量 b 的方向平移一段距离 | b | .
(保方向) 知 Γ 1 顺时针旋转 90度到 Γ 2。

Γ2
Γ1
zi 例 求区域 D {z :| z 1 | 2 , | z 1 | 2 }在映射 w zi
下的像区域。 P148 例6.7 解 方法三 借助特殊曲线 (1) 将虚轴上从 i 到 i 的一段记为C 0 ,
1 2
两个特殊的对称映射
w 1 (1) 关于单位圆周的对称映射 z
i 1 i 令 z | z | e , 则有 w | z | e . | w | 1 , arg w arg z ; 即 |z|
z w
(2) 关于实轴的对称映射 w z
i i ( ) . 令 z | z | e , 则有 w | z | e
如果用这四个数中的一个去除分子和分母，则可以将 分式线性映射中的四个常数化为三个独立的常数。 由此可见，只需要给定三个条件，就能决定一个分式 线性映射。
定理 在 z 平面上任给三个不同的点 z1 , z2 , z3 , 在 w平面上
P151 定理 6.8
也任给三个不同的点 w1 , w2 , w3 , 则存在唯一的分式 线性映射，将 z1 , z2 , z3 分别依次映射为 w1 , w2 , w3 .
1
6 2 i 5 5
2
另 找 三 点
i 2 i
1
3 1 i 2 2
2
( 不是蛮好直接定圆 )
i 1 i 2 i

1 2
2z 例 求直线 C { z : Im z 1} 在映射 w 下的像曲线。 zi
P147 例6.6 修改
解 方法三 借助特殊点和特殊曲线 (结合保圆性和保角性)
约定 将直线看作是半径为无穷大的圆。
定理 在扩充复平面上，分式线性映射能把圆变成圆。
P147 定理6.6
注 (1) 如果给定的圆(或直线)上没有点映射成无穷远点， 则它就映射成半径有限的圆； 非常实用
12
三、分式线性映射的几种特性
1. 保形性 定理 分式线性映射在扩充复平面上是共形映射。
P146 定理6.5
(1) 特殊点 在直线 C 上取两点 i 和 , 由于 i , 故其像曲线 Γ 是经过 1, 2 两点的圆；
1, 2 ,
~ ~ (2) 特殊线 将虚轴记为 C , 则其像曲线 Γ 为实轴； ~ ~ (3) 由于 C 和 C 在 z i 点正交，故 Γ 和 Γ 在 w 1 点正交；
C i
P152 推论 6.1
(2) 如果 z1 , z2 , z3 或 w1 , w2 , w3 中有一个为 , 则只需 将对应点公式中含有 的项换成 1。
24
六、唯一决定分式线性映射的条件
定义 称下式为对应点公式：
P151 式子 ( 6.10)
w w1 w3 w1 z z1 z3 z1 : : . w w2 w3 w2 z z2 z3 z2
w 1 z i 1 e i ( ) . 令 z | z | e , 则有 w |z| 它将单位圆内(或外)的点映射到 单位圆外(或内)，且辐角反号。

圆周对称的概念 定义 设某圆周 C 的半径为 R，
P145 定义 6.3
A, B 两点位于从圆心 O 出发的射线上， OA OB R 2 , 且 则称 A 和 B 是关于圆周 C 对称的。 自然地，规定圆心 O 与无穷远点关于该圆周对称。
2
二、分式线性映射的分解
分析
2z 将分式线性函数 w 分解： zi
i 2i 2 z 2i 2i 2z 2 1 . 2 w 2 2e zi zi zi zi π
其复合过程为：
zi
z
z1
1 z1
z2
e

π i 2 z
2
z3
2z 3
z4
z4 2
w
3
二、分式线性映射的分解
分析 因此，一个一般形式的分式线性映射可以由下面四种 最简单的分式线性映射复合而成。 (1) w z b , ( b 为复数 )； i 0 (2) w e z , ( 0 为实数 )； 复合成(整式)线性映射。 (3) w r z , ( r 为正数 )； 复合成分式线性映射。 (4) w 1 . z
z
即 | w | | z | , arg w arg z .
z
10
二、分式线性映射的分解
4. 反演(或倒数)映射
w 1 z i 1 e i ( ) . 令 z | z | e , 则有 w |z| 它将单位圆内(或外)的点映射到 单位圆外(或内)，且辐角反号。
结论

z4
z4 2
平移
2
旋转
2i
z3
2z 3
相似
w
i
zi
平移
π i 2 z
1 z1
倒数
2i
1
e
2
2z 3
相似
1
z4 2
平移
1 2
旋转
2z 例 求直线 C { z : Im z 1} 在映射 w 下的像曲线。 zi
P147 例6.6 修改
解 方法二 利用保圆性，直接三点定圆
i 找 三 1 i 点
a ( 1 i ) Γ 1 0
0 a ( 1 i ) Γ 2
1
1
C2
i
C1

Γ2
2( 2 1) . 其中 a 2 ( 2 1) 1

Γ1
zi 例 求区域 D {z :| z 1 | 2 , | z 1 | 2 }在映射 w zi
推论 设 w f (z ) 为分式线性映射，且 f ( z1 ) w1 , f ( z2 ) w2 , P152 w w1 z z1 推论 则它可表示为: k , (k 为任意复常数)。 w w2 z z2 6.2
3、保对称点性
定理 设点 z1 , z2 关于圆周 C 对称，则在分式线性映射下，它们
P150 定理 6.7
的象点 w1 , w2 也关于象曲线 C 对称。
Γ
z2
Γ
w2
O C
z1
O C
w1
Γ
Γ
22
四、唯一决定分式线性映射的条件
分析
az b 分式线性映射 w 中含有四个常数 a , b , c , d . cz d
1 2
i
2 1
1
1
C2
i
C1
zi 例 求区域 D {z :| z 1 | 2 , | z 1 | 2 }在映射 w zi
下的像区域。 P148 例6.7 解 方法一 利用保圆性，直接三点定圆
1 2
i
2 1
i C1 2 1 i i C2 1 2 i
8
二、分式线性映射的分解
4. 反演(或倒数)映射
w 1 z i 1 e i ( ) . 令 z | z | e , 则有 w |z| 它将单位圆内(或外)的点映射到 单位圆外(或内)，且辐角反号。
结论

w 1 是单位圆周对称映射与实轴对称映射的复合。 z
9
二、分式线性映射的分解
注意 该定理不仅从理论上确保了分式线性映射是共形映射， 而且其中的保角性在分式线性映射的构造中非常实用。 2. 保圆性
约定 将直线看作是半径为无穷大的圆。
定理 在扩充复平面上，分式线性映射能把圆变成圆。
P147 定理6.6
注 (2) 如果给定的圆(或直线)上有一点映射成无穷远点， 则它就映射成直线.
5
二、分式线性映射的分解
2. 旋转映射
we
i 0
z , ( 0 为实数 )
i ( 0 )
i 令 z | z |e ,
则有 w | z | e
.
它将点集(点、 曲线 、 区域等)
旋转一个角度 0 . 当 0 0 时，沿逆时针旋转； 当 0 0 时，沿顺时针旋转。
§6.3 分式线性映射
一、分式线性映射的一般形式
二、分式线性映射的分解
三、分式线性映射的特性 四、唯一决定分式线性映射的条件 五、两个典型区域间的映射
1
一、分式线性映射的一般形式
定义 由分式线性函数
a b az b w ( a , b , c , d 为复数且 ) c d cz d
构成的映射，称为分式线性映射； 特别地，若 c 0 , 则称为(整式)线性映射。 注 (1) 两个分式线性映射的复合，仍是一个分式线性映射； (2) 分式线性映射的逆映射也是一个分式线性映射： dw b z . cw a
6
二、分式线性映射的分解
3. 相似映射
w r z , ( r 为正数 )
i i 令 z | z | e , 则有 w r | z | e .
其特点是保持点的辐角不变， 但模扩大(或缩小)r 倍。 它将曲线或者区域相似地扩大(或缩小)r 倍。
7
二、分式线性映射的分解
4. 反演(或倒数)映射
i
2 1
i 则 C0 0 i
0 1 Γ0
1
C2
C0
i
1
C1
Γ2
(2) 由 C1 , C 2 与 C 0 的交角及位置关系， 知 Γ 1 , Γ 2 与 Γ 0 的交角及位置关系， 从而很容易地确定出 Γ 1 和 Γ 2 。
Γ0
三、分式线性映射的几种特性
23
ห้องสมุดไป่ตู้
六、唯一决定分式线性映射的条件
定义 称下式为对应点公式：
P151 式子 ( 6.10)
w w1 w3 w1 z z1 z3 z1 : : . w w2 w3 w2 z z2 z3 z2
注 (1) 由于分式线性映射具有保圆性，因此对应点公式通常 直接应用于： 把过 z1 , z2 , z3 三点的圆映射 为过 w1 , w2 , w3 三点的圆。
w 1 是单位圆周对称映射与实轴对称映射的复合。 z 1 w1 z z
w1
w
11
三、分式线性映射的几种特性
1. 保形性 定理 分式线性映射在扩充复平面上是共形映射。
P146 定理6.5
注意 该定理不仅从理论上确保了分式线性映射是共形映射， 而且其中的保角性在分式线性映射的构造中非常实用。 2. 保圆性

~ Γ
Γ
1
2
~ C
zi 例 求区域 D {z :| z 1 | 2 , | z 1 | 2 }在映射 w zi
下的像区域。 P148 例6.7 解 首先作一个简单的定性分析 (1) 区域 D 的边界 C1 和 C 2 是圆弧段， 且 C1 和 C 2 的交角为 90 度； (2) 由于所给的映射为分式线性映射， 因此具有保圆性与保角性； (3) 由于 i 被映射为 , i 被映射为 0，因此圆弧 C1 和 C 2 被映射为从原点出发且相互垂直的两条射线。
下的像区域。 P148 例6.7 解 方法二 利用保圆性，保角性
1 2
i
2 1
i (1) C1 2 1 i
a ( 1 i ) Γ 1 0
1
1
C2
i
C1
(2) 由 C1 和 C 2 在 z i 点正交， 知 Γ 1 和 Γ 2 在 w 0 点正交； (保大小) (3) 由 C1 顺时针旋转 90度到 C 2，
非常实用
13
三、分式线性映射的几种特性
在分式线性映射下，求圆(或圆弧段)的像曲线的方法 方法一 求像曲线满足的方程（见上节方法）。 方法二 分解为四种简单映射的复合。 方法三 利用保圆性，选三点定圆。 对于圆弧段(或直线段)，两个端点必须选定。 方法四 综合利用保圆性与保角性。 (1) 找出原像曲线中的一些 “特殊点” 所对应的像点， 从而能够大致地确定出像曲线的位置。 (2) 找出一些 “特殊曲线” (如坐标轴等)所对应的像。