投资学 第六讲 因素模型与套利定价理论

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APT与充分分散的投资组合
rP = E (rP) + PF + eP F=共同因素的预期值与实际值之间的差额,也称惊喜因素; E (rP)=表示组合P的预期收益; P=组合P对该因素的敏感度; eP=P特定的扰动,所有的非系统收益eP之间是相互独立的,并 与F相独立.共同因素F和特定因素eP的期望值为0.该模型与 CAPM模型相同. 举例:假定F为GDP的意外的百分比变化,预期今年增长4%,某 股票或组合的为1.2.如果GDP只增长了3%,则F为-1%,根 据给定的值可将其转化一项表示比先前预测低1.2%的收 益.这项意外加上特定的扰动P,便可得出该股票的收益对 2019/1/21 25 其原始预期值的全部偏离程度.

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双因素、三因素与五因素模型


双因素模型： 假设经济周期[GDP]和利率[IR]是两个最重要的宏观经济 风险来源. Fama and French的三因素模型： 除市场收益外,他们考察了公司规模大小[SIZE]、托宾Q值 比[HML]这两个因素. 五因素模型： 陈、罗尔和罗斯把宏观经济因素分解为：行业生产变动百 分比[IP] 、预期通胀变动百分比[EI]、非预期通胀变动百 分比[UI] 、长期公司债券对长期政府债券的超额收益[CG]、 长期政府债券对短期国库券的超额收益[GB]. 每一模型都进行多元回归分析,以回归残值方差估计公司 特有风险.

美林[Merrill Lynch]的行业版本
运用总收益而不是超额收益进行回归，用S&P500作为 市场组合的替代； a 有不同的解释： a实际上是a = a + rf (1-)的一个估 计,不等于指数模型的a.


Β预测

从过去的数据估算出贝塔值不可能是未来贝塔值的最佳 结果,运用回归模型建立对贝塔值的估计.收集不同时期的β 值,用模型：现在的β=a+b(过去的β),估计出a、b的值,进 而预测未来的β值. 多元回归模型预测β的值,即现在的β= a+b1· (过去的 β)+b2(公司的大小)+ b3(负债率)+b4(成长率),利用a、b1、 b2、b3、 b4的估计值,预测未来的β值.
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无风险收益的超额收益
Let: Ri = (ri - rf)
Rm = (rm - rf)
Risk premium format
就有：Ri
= ai + ß i(Rm) + ei
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证券特征线 [Security Characteristic Line]
Excess Returns (i)
. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . Excess returns . . . . . . . on market index . . . . . . . . . . . . . . . .. Ri = a i + ß iRm + ei
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套利机会

套利机会-arises if an investor can construct a zero investment portfolio with a sure profit.

如果市场是有效的,套利机会将立即消失.因为任何投资者, 不考虑风险厌恶与财富状况,均愿意尽可能多地拥Байду номын сангаас套利 组合的头寸,大量头寸的存在将导致价格上涨或下跌直至 套利机会完全消除.
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非均衡举例
E(r)%
10 7 6 Risk Free 4 .5 1.0
D
C
A
Beta for F
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非均衡举例的解释
相同的证券应该拥有相同的预期收益,否则,就存在套利机会. 现在讨论的是不同值的组合情况. 如图所示, rf=4%,将无风险资产与A点(预期收益为10%, =1) 连接成一条直线,一充分分散化的组合D(预期收益为7%, =0.5)就落在该直线上.假如存在另一充分分散化的组合 C(预期收益为6%, =0.5)就落在D的下方.于是,套利机会就 出现了,即卖出C而买入D就可以获得1%的无风险收益. 该例表明:为了排除套利机会,所有充分分散化的投资组合的 预期收益必须落在通过无风险资产的直线上.这条直线给出 了所有充分分散化投资组合的预期收益值.




马克维茨模型的缺陷： -计算量过大.假定分析n种股票,需要计算n个预期值、n 个方差以及(n2 –n)/2个协方差. -相关系数确定或者估计中的误差会导致无效结果. 指数模型的优势： 大大降低了马克维茨模型的计算量,它把精力放在了对 证券的专门分析中. 指数模型以一种简单的方式来计算协方差,证券间的协 方差由单个一般因素的影响生成,为市场指数收益所代表, 从而为系统风险与公司特有的性质提供了重要的新视角.
斜率1.1357 截距-2.59%
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SCL
SAL举例
GM的超额收益 市场超额收益
Jan. Feb. . . Dec 中值 标准差
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5.41 -3.44 . . 2.43 -.60 4.97
7.24 .93 . . 3.90 1.75 3.32
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回归结果 rGM - rf = a + ß (rm - rf)

rP = E (rP) + PF
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充分分散投资组合与单个证券的比较
E(r)% E(r)%
F
F
Individual Security
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Portfolio
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解释



从充分分散投资组合与单个证券的比较中可以看出,非分 散化的股票受非系统风险的影响,并呈现为分布在直线两 侧的散点. 而充分分散化的投资组合的收益则完全由系统风险决定, 其收益率均在直线上. 假如存在两个充分分散化的投资组合A和B.A的收益率为 10%, B的收益率为8%,两者的值均为1.于是就出现了套 利机会,即可以卖空B而买入A.这是因为:相同的证券应该 拥有相同的预期收益,否则,就存在套利机会.
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套利行为与收益:图示
E. Ret. * P * D St.Dev.
Short 3 shares of D and buy 1 of A, B & C to form P. You earn a higher rate on the investment than you pay on the short sale.
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套利举例
Stock A B C D 现价$ 10 10 10 10 预期收益% 25.0 20.0 32.5 22.5 标准差% 29.58 33.91 48.15 8.58
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套利组合
中值
Portfolio A,B,C D 25.83 22.25
标准差
6.40 8.58
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指数模型与分散化
RP a P P eP
P 1N P i 1 a P 1 N a P i 1
eP 1 e N
i 1 N P N
N

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p
2 2 P M 2 (e P )
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分散化以降低风险
St. Deviation Unique Risk 2(eP)=2(e) / n P2M2 Market Risk Number of Securities
估计系数 估计的标准差
a
-2.590 (1.547)
ß
1.1357 (0.309)
特有事件[残差项]的方差 = 12.60% 残差项的标准差 = 3.55% R-SQR = 0.575 证券特征线 [Security Characteristic Line]
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风险构成

市场风险或系统性风险

公司特有风险或非系统风险
总风险由以上两者构成

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风险构成的计算
i2 = i2 m2 + 2(ei) 式中： i2 =总方差 i2 m2 =系统风险 2(ei) =公司特有风险 ijm2=两证券的协方差 可见,证券i的方差由两部分构成： 一是由宏观因素的不确定性导致的系统风险; 二是由随机项带来的非系统风险.
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单因素模型
ri = E(Ri) + ß iF + e
ß i = 证券i对因素F的敏感度指数 F = 宏观事件,非预期的宏观事件,能影响证券的收益 e =非预期的公司特有事件的影响
假设：主要证券指数收益率（如S&P500的收益率）是一般宏观 因素的有效代表
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单指数模型
投资学第六讲 因素模型与套利定价理论
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教材与参考资料


教材第六章。 博迪等《投资学》第10-11章。 夏普等《投资学》（上）第11-12章。
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主要内容


本讲分为两大部分，即： 因素模型或指数模型 套利定价理论
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指数模型的优势

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套利定价理论 Arbitrage Pricing Theory，APT





斯蒂芬· 罗斯[Stephen Ross，1976]从无风险套利原理的角 度考察了套利与均衡，推导出均衡市场中的资本资产定价 关系，建立了套利定价理论。 套利就是利用证券定价之间的不一致进行资金转移从中赚 取无风险利润的行为。套利三要点： -零净投入,不增加资金； -无因素风险,套利组合对任何因素的敏感度为0； -正收益. 以上所称套利为纯套利，还有风险套利(risk arbitrage),后 者是指在特定领域寻找定价有偏差的证券的专业行为.
相关性
0.94
可以看出,由A,B,C三种证券(等权重)构成的组合在所有环境 下都比D的表现好.所以,任何投资者,无论是否厌恶风险,只 需对D做空头,然后再购买等权重的组合,就可以从中获得 好处. 假如卖空D300万美元,然后用于购买A,B,C各10万股,结果如 下: 2019/1/21 22
套利行为与收益:计算
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多因素模型 Multifactor Models

在单指数模型中,把影响收益的因素分解为系统风险和公 司特有风险,这种分析方法不仅过于简单,而且把系统风险 限制在单一因素内是不对的.实际上,用市场收益来概括的 系统风险受多种因素影响,如经济周期、利率和通货膨胀 率等.显然,多因素模型可以给出影响收益的更好描述. 运用每个因素在每一时期的超额收益对股票的超额收益进 行多元回归,估计股票收益对每一因素的beta值(即敏感度 系数).
Stock 美元投资(万元) 收益(万元) A 100 25.0 B 100 20.0 C 100 32.5 D -300 -67.5 ___________________________________ 资产组合 0 10
结果是:D价格下跌的同时A,B,C的价格上涨,或者只有D的价格 下跌或只有A,B,C的价格上涨,这样套利机会就被消除了.
充分分散的投资组合



如果一个投资组合是充分分散的，那么,它的非系统风险 将可以被分散掉，剩下的就只有系统风险。 组合的方差由系统的与非系统的两方面构成,见下式, P2 = P2 F2 + 2(eP) 2(eP)=∑Wi22(ei) 如果组合是等权重的, 则Wi=1/n,当n→∞时, 2(eP)=0. 也就是说,充分分散的投资组合应当满足: 按比例Wi分散于足够大数量的证券中,而每种成分又足以 小到使非系统方差2(eP)可以被忽略.于是,就有:
(ri - rf) =
Risk Prem
a i + ßi(rm - rf) + ei
a
i
Market Risk Prem or Index Risk Prem 市场超额收益(rm - rf) = 0时的股票预期收益率
ß i(rm - rf) =随整个市场运动的收益成分 ei =不受市场影响的公司特有事件
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说明



单因素模型假设误差项之间是不相关的,因而,得出了分散 化可以消除特有风险的结论. 但实际上,如果组合中的证券数量不够多,误差项之间存在 相关性,误差项的方差就不为零. 因此,单因素模型不是一个很精确的模型.
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指数模型的行业版本与Beta预测