第四章 图形变换

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变换矩阵
设一个几何图形的齐次坐标矩阵为A，另有一个 矩阵T，则由矩阵乘法运算可得一新矩阵B：
B ＝A • T
矩阵B是矩阵A经变换后的图形矩阵 用来对原图形施行坐标变换矩阵T 称为变换矩阵 根据矩阵运算原理，二维图形变换矩阵T为3×3阶矩 阵，三维图形的变换矩阵T为4×4阶矩阵 通过矩阵的乘法可以对图形进行诸如比例、对称、 旋转、平移、投影等各种变换
几何关系
x' x l y' y m
矩阵形式
1 0 0 ＝ 0 1 0 x y 1＝ x y 1 l m 1
x l
y m 1
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比例变换
图形中的每一个点以坐标 原点为中心，按相同的比例 进行放大或缩小所得到的变 换称为比例变换 图形在x，y两个坐标方向 放大或缩小比例分别为 a 和e，则坐标点的比例变换：
图形变换的主要工作就是求解变 换矩阵T
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二维图形的基本几何变换
二维图形几何变换主要有:
• 平移变换
• 比例变换
• 对称变换
• 旋转变换
• 错切变换
• 归纳
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平移变换
图形的每一个点在给定的方向上移动相同距离所得的变 换称为平移变换
图形在x轴方向的平移量为l， 在y轴方向的平移量为m， 则坐标点的平移变换：
对Y0Z平面的对称变换
变换矩阵
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 ＝x y z 1 0 1
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旋转变换
三维旋转变换是将空间立体绕坐标轴旋转一个角度， 且角的正负按右手定则确定：右手大拇指指向旋转轴 的正向，其余四个手指的指向即为角的正向 二维变换中，图形绕原点旋转的 z 变换实际上是X0Y平面图形绕Z轴 旋转的变换 y 1）绕X轴旋转的变换矩阵
组合变换中，多个变换矩阵之积称为组合变换矩阵
先旋转后平移
先平移后旋转
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复合变换例1：
求三角形以点（4, 6）为中心逆时针旋转30°的组合变换 矩阵 基本步骤： （1）平移 （2）旋转 （3）平移
相对于 (e, f ) 点 作旋转变换，由以 下三个矩阵相乘来 实现：
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一个用于输出所要显示的图形和文字的矩形区域
若将窗口中的 图形显示在屏 幕视区范围内， 则视区决定了 窗口内的图形 在屏幕上显示 的位置和大小
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窗口－视区变换
窗口和视区是在不同的坐标系中定义的， 窗口中的图形信息送到视区输出前，需进行坐 标变换，即把用户坐标系的坐标值转化为设备 (屏幕)坐标系的坐标值，此变换即窗口—视区 变换
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(1)a = e = 1时，为恒等比例变换， (2)a = e ＞1时，图形沿两个坐标轴 方向等比放大 (3)a = e ＜1时，图形沿两个坐标轴 方向等比缩小 (4)a≠e时，图形沿两个坐标轴方向 进行非等比变换，称为畸变
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对称变换
对称变换也称反射变换， 指变换前后的点对称于x 轴、y轴、某一直线或点 (1)以x轴为对称线的对称变换 变换后，图形点集的x坐标值 不变，坐标值不变，符号相反
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第四章 计算机图形处理技术
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本章
学习目标
• 掌握二维图形处理技术基础知识
• 了解三维图形变换方法
• 理解图形消隐技术和光照处理技术原理 • 学习二维裁剪技术 重点：二维图形几何变换
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学习内容
1.概述 2.图形变换
3.图形消隐技术
4.图形的光照处理技术
人为规定的假想设备坐标系，与设备无关 规格化设备坐标系坐标轴方向及原点与设备坐标 系相同，但其最大工作范围的坐标值规范化为1 既定图形输出设备的规格化设备坐标系与设备坐 标系相差一个固定倍数，即相差该设备的分辨率 图形软件与图形设备隔离开，增加了图形软件的可 移植性
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窗口－视区变换
窗口：用户坐标系（世界坐标系）中定义的
确定显示内容的一个矩形区域
工程设计中，需要突出图形的某一部分而用一个局 部视图单独画出来。改变窗口的大小、位置和比例， 用户可以方便地观察局部图形，控制图形的大小
（XW2，YW2）
（XW1，YW1）
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窗口－视区变换
视区：设备坐标系（通常是图形显示器）中定义的
矩阵形式
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（2）以Y轴为对称线的对称变换
变换后，图形 点集的y坐标值 不变， x坐标值不变， 符号相反
矩阵形式
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（3） 以原点为对称的对称变换
变换后，图形点集的x和y坐标值不变，符号均相反
矩阵形式
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(4)以直线y=x为对称线的对称变换
变换后，图形点集的x和y坐标对调
o
y轴指向纸外
z
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错切变换
错切变换是指空间立体沿x、y、z三个方向都产生错变 形。错切变形是画轴测图的基础，其变换矩阵为： 1 b c 0 d 1 f 0 Tsh＝ h i 1 0 0 0 0 1 变换后点坐标： 1 b c 0
d 1 f 0 x y z 1＝x y z 1 h i 1 0 0 0 0 1
空间立体绕x轴旋转各顶点的 x坐标不变，只是 y和 z坐标 发生变化
o z’ z y’
x
o
x轴指向纸外
y
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x z
2）绕Y轴旋转的变换矩阵 空间立体绕y轴旋转各顶点的y坐标 不变，只是 x和 z坐标发生变化
x’
o x z’
y
3）绕Z轴旋转的变换矩阵 空间立体绕z轴旋转各顶点的y坐标不变， 只是 x和 y坐标发生变化
• 三维图形的几何变换
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坐标系统
从定义一个零件的几何外形到图形设备上生成相应 图形，需要建立相应的坐标系统来描述，并通过坐标 变换来实现图形的表达 实物物体所处空间中（二 世界坐标系（WC） 维或三维空间）用以协助 用户定义图形所表达物体 几何尺寸的坐标系，也称 用户坐标系，多用右手直 角坐标系
Y
Z
X O Y X O
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坐标系统 设备坐标系（DC）
与图形输出设备相关联，用以定义图形几 何尺寸及位置的坐标系，也称物理坐标系 设备坐标系是一个二维平面坐标系，通常 使用左手直角坐标系 度量单位：象素(显示器)或步长(绘图仪)
O
X
Y
（显示器）
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坐标系统
规格化设备坐标系（NDC）
复合变换例2：
图形对于任一条线 y=ax+b 对称的组合变换矩阵 基本步骤：
（1）平移 （2）旋转 （3）对称 （4）旋转 （5）平移
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三维图形几何变换
三维图形的几何变换是二维图形几何变换的简单扩展 与二维图形一样，用适当的变换矩阵也可以对三维图形 进行各种几何变换 三维图形的基本几何变换主要有:
四边形用齐次坐标可表示：
x1 x 2 x 3 x 4
y1 y2 y3 y4
1 1 1 1
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采用齐次坐标表示的主要优点： （1）为几何图形的二维、三维甚至高维空间的坐标 变换提供统一的矩阵运算方法，并可以方便地将 它们组合在一起进行组合变换 平移、比例和旋转等变换的组合变换处理形 式不统一，将很难把它们级联在一起 （2）无穷远点的处理比较方便。 如，对二维的齐次坐标 [A B H]，当H→0 时，表示直线上 Ax+By=0 的连续点（x，y） 逐渐趋近于无穷点 三维情况下，利用齐次坐标表示视点在世界 坐标系原点时的投影变换
二维平面内，一个点通常用坐标 (x , y) 来表示，矩 阵形式为：
或
三角形的三个顶点坐标 a( x1, y1 ), b( x2, y2 ), c( x3, y3 )， 用矩阵表示：
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点和图形的齐次坐标表示
齐次坐标是将一个n维空间的点用n＋1维，即附 加一个坐标表示
二维点[x y]的齐次坐标通常用三维坐标[Hx Hy H]表示 三维点[x y z]的齐次坐标通常用四维坐标[ Hx Hy Hz H ] 齐次坐标系中，附加的坐标H称为比例因子 Hx＝H×x、Hy＝H×y、Hz＝H×z H的取值是任意的，任何一个点可用许多组齐次坐标来表示， 如：二维点 [3 2]可表示为[3 2 1] ， [6 4 2] … 当取H＝1时，称为齐次坐标的规格化形式
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Y
（Xw2, Yw2）
Y
（XV2, YV2）
窗口
（XW, YW）
视区
（XV, YV）
（XV1, YV1） （Xw1, Yw1） o x o x
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几何变换基础
图形由图形的顶点坐标、顶点之间的拓扑 关系以及组成图形的面和线的表达模型所决定
任何一个图形都可以认为是点之间的连线构成 对一个图形作几何变换，实际上就是对一系列点进行变换 点和图形的表示
平移变换 比例变换 对称变换 旋转变换 错切变换 归纳
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平移变换
平移变换是使立体在三维空间移动一个位置，而 形状保持不变
变换矩阵
其中L、M、N分别为 X、Y、Z方向的平移量
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比例变换
空间立体顶点坐标按规定比例放大或缩小称三维比例变换
比例变换两种变换形式： 对于整体图形进行缩放 沿各坐标轴分别调节每 个坐标方向上的大小
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错切变换
错切变换是图形的每一 个点在某一方向上坐标保 持不变，而另一坐标方向 上坐标进行线性变换，或 都进行线性变换 有x和y方向的错切变换 1. 图形沿x方向的错切矩 阵表示为：
图形的 y 坐标不变，x 坐标随坐标（x y）和系数 b 作线 性变化，b≠0 b>0，图形沿+x方向错切； b<0，图形沿-x方向错切
l
m
s
实现图 形平移 变换
实现图形比例变换： s>1，图形等比例缩小 0<s<1，图形等比例放大 s＝1，图形大小不变
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二维图形的复合变换
CAD/CAM中的图形变换比较复杂，往往仅用一种基本变 换不能实现，需经由两种或多种基本变换的组合才能得所 需的最终图形。这种由两个以上基本变换构成的变换称为 复合变换（组合变换）或基本变换的级联 设各次变换的矩阵分别为T1 ，T2 ，…… ，Tn，则 复合变换的矩阵是各次变换矩阵的乘积，即： T＝T1 •T2 …… • Tn
沿每个坐标轴方向分别调节各坐标大小的比例变换齐次矩阵：
变换方程：
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对称变换
标准三维空间对称变换是相对于坐标平面进行 对X0Z平面的对称变换
变换矩阵
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对称变换
标准的三维空间对称变换是相对于坐标平面进行 对X0Y平面的对称变换
变换矩阵
变换后点的坐标：
x
y z 1 ＝ x y z 1
矩阵形式
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(5)以直线y=－x为对称线的对称变换 变换后，图形点集的x和y坐标对调，符号相反 矩阵形式
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旋转变换
旋转变换是将图形绕 固定点顺时针或逆时 针方向进行旋转 图形绕原点沿 逆时针方向旋转 θ角，变换后的 点（x* , y*） 的数学表达式:
规定： 逆时针方向为正， 顺时针方向为负
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二维图形基本变换小结：
从二维图形的基本几何变换可见，各种图形变换完全取 决于变换矩阵中各元素的取值 按照变换矩阵中各元素的功能，可将二维变换矩阵的一 般表达式按如下虚线分为4个子矩阵： 实现图形 实现图形比例、 a b p 透视变换 对称、错切、 T ＝ c d q 旋转变换
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பைடு நூலகம்
2. 图形变换
图形变换指对图形的几何信息经过几何变换后产生 新的图形，提出的构造或修改图形的方法 除图形的位置变动外，可以将图形放大或缩小， 或者对图形作不同方向的拉伸来使其扭曲变形… • 坐标系统
• 窗口－视区变换
• 几何变换基础 • 二维图形基本几何变换
• 二维图形的复合变换
5.图形裁减技术
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1. 概述
计算机图形处理是利用计算机高速运算能力和 实时显示功能处理各类图形信息的技术 包括图形 的存储、生成、显示、输出、以及图形变换、组 合、分解和运算，控制绘图仪等图形输出设备完 成绘图…
构成图形的要素有两个： 几何要素 如：几何方程 非几何要素
X 2 Y 2 R2