矩阵可交换的条件及其性质

中文摘要

特殊矩阵在矩阵分析和矩阵计算中占有十分重要的地位，它们在计算数学、应用数学、经济学、物理学等方面都有着广泛的应用，对特殊矩阵的研究取得的实质性的进展，都将会对计算数学的发展起着重要的推动作用.随着矩阵应用程度的不断加深，矩阵的可交换性越来越被学者和技术人员所重视.矩阵的可交换性不仅在矩阵计算中起着重要作用，而且在卫星通讯等等许多领域也有着直接的应用.

关键词：矩阵交换矩阵可交换特殊矩阵上三角矩阵数量矩阵

ABSTRACT

Special matrices play an important role in matrix analysis and matrix computation and have wide applications in computational mathematics, economics,physics,biology,applied mathematics and etc.Great progress obtained in the researchers on special matrices will give improvements in computational mathematics.With the applications of matrices are more and more abroad,the commutativity of matrix is more and more recognition by scholar and technology worker.The commutativity of matrix not only plays an important part in the matrix computation,but also in the secondary planet, communication and other fields.

Keywords:the commutant of matrix,mathematics,exchangeable,special matrices,upper triangle matrices,scalar matrices

矩阵的可交换性在各类矩阵的运算中应用十分重要，特别是在现在这种信息时代，在卫星通讯、网络安全方面、解码器以及电路系统镇定性问题、路由交换处理器等等都有着不可替代的作用.

本文主要介绍了矩阵的可交换性质和可交换条件的研究以及矩阵交换的相关概念和基本定义.对矩阵可交换的基本定理和一些优美性质进行了叙述和总结，以及对一些特殊的矩阵例如数量矩阵、上三角矩阵等等，满足可交换条件的矩阵进行了探究.

在高等代数及线性代数的教学中，矩阵是一个重要的教学内容。由矩阵的理论可知，矩阵的乘法不同于数的乘法，矩阵的乘法不满足交换律，即当矩阵AB 有意义时，矩阵BA 未必有意义；即使矩阵AB 、BA 都有意义时它们也未必相等。由于矩阵的乘法不满足满足交换律，所以对于研究AB 与BA 的关系有重要意义。我们知道，若对n 阶实方阵A 、B ，如果满足BA AB =，则称A 、B 可交换。可交换矩阵有许多良好的性质，研究矩阵可交换的条件及可交换矩阵的一些性质对矩阵理论的研究具有重要的意义（文中的矩阵均指n 阶实方阵）。

一． 基本定义和相关概念

以下定义1.1.1到定义1.1.8均来自参考文献[6].

定义1.1.1 若同阶矩阵A 、B 有BA AB =，则称A 与B 为可交换矩阵. 定义1.1.2 n 阶方阵()n n ij a A ⨯=中若元素n j i j i a ij ,...,2,1,,,0=≠=，称A 为

n 阶对角矩阵，记

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛=nn a a a A

22

11

. 定义1.1.3 主对角线上的元素都是1，其余元素全是0的n n ⨯矩阵

⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛100010001

称为n 阶单位矩阵，记为n E ，或者在不致引起含混的时候简写为E .显然有 sn n sn A E A =，

sn sn s A A E =.

定义1.1.4 在n 阶对角阵A 中，若R a a a nn ∈====λλ,...2211，称此时的

A 为数量阵.记,E A λ=其中E 为n 阶单位阵.

定义1.1.5 若n 阶方阵A 满足,A A T =其中T A 为A 的转置阵，则称A 为对

称阵.

定义

1.1.6 若n 阶方阵()n n ij a A ⨯=满足A A T =-，即

()n j i a a ji ij ,...,2,1,=-=，其中T A 为A 的转置阵，则称A 为反对称阵.

定义1.1.7 若同阶方阵B A ,满足E BA AB ==,其中E 为同阶单位阵，则

称A 与B 互为逆方阵，记逆矩阵B A =-1或者A B =-1.

定义1.1.8 若n 阶方阵A 满足E AA A A T T ==，其中E 为同阶单位阵，则

称A 为正交矩阵.

定义1.1.9 若n 阶方阵()n n ij C a A ⨯∈=，满足ij a ()n j i ,...,2,1,,0=>,则称A

为正矩阵.

定义1.1.10 若对于矩阵A 、矩阵B 存在可逆矩阵C ，使得,1B AC C =-则

称矩阵A 和矩阵B 相似.这里对于置换矩阵C 有AC C B AC C T

==-1.

二．矩阵可交换的充分条件

定理2.1.1 设A 、B 至少有一个为零矩阵，则A 、B 可交换； 定理2.1.2 设A 、B 至少有一个为单位矩阵，则A 、B 可交换； 定理2.1.3 设A 、B 至少有一个为数量矩阵，则A 、B 可交换； 定理2.1.4 设A 、B 均为对角矩阵，则A 、B 可交换； 定理2.1.5 设A 、B 均为准对角矩阵，则A 、B 可交换； 定理2.1.6 设*A 是A 的伴随矩阵，则A 与*A 可交换； 定理2.1.7 设A 是可逆矩阵，则A 与1-A 可交换; 推论2.1.8 设E AB =，则A 、B 可交换.

证明： 2.1.1对任意矩阵A ，均有：A A 00=，0表示零矩阵；

2.1.2对任意矩阵A ，均有：EA AE =，E 表示单位矩阵； 2.1.3对任意矩阵A ，均有：A kE kE A )()(=，k 为任意实数；