5.1.2垂线课件PPT

已知直线垂直．
问题：
直线上的一点
（Biblioteka Baidu）“过一点”包括几种情况？
直线外的一点
有： 存在性
（2）“有且只有”是什么意思？
只有：唯一性
课堂练习
1.过点 P向线段 AB所在直线引垂线，正确的是（ C ）.
A
B
C
D
2. 过点P作线段或射线所在直线的垂线
.P
.P
.
.
A
B
O.
.A
(1)
(2)
注意:过一点画已知线段(或射线)的垂线,
b
bb
当α =90°时,a与b垂直.
α ）α
当α ≠90°时,a与b不垂
a
直，叫斜交.
斜交 两条直线相交
垂直 垂直是相交的特殊情况
一、垂直的定义
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，
有一个角是直角(90°)时，这两条直线互相垂
直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们
的交点叫垂足。
a
例如、如图，a、b互相垂 直,O叫垂足.a叫b的垂线， b也叫a的垂线。
CB
如果AB⊥CD，那么所得的四个角中，必有一个
是直角. 这个推理过程可以写成:
∵AB⊥CD（已知），
∴∠AOC＝90°（垂直的定义）．
日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常 见,说出图5.1-6中的一些互相垂直的线条.
你能再举出其他例子吗?
方格本的横线和竖线
铅垂线和水平线
例题：
1、下面四种判定两条直线垂直的方法，正确的有
5.1.2 垂线（1）
问题1：如右图， （1）∠AOC的对顶角是哪个角？
这两个角的关系怎样？
（2）∠AOC的邻补角有几个？ 是哪几个角？
问题2：如下图，当∠AOC＝90°时，∠BOD、 ∠AOD、∠BOC等于多少度？为什么？
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
当b的位置变化时,a、b所 b 成的角α也会发生变化. b
就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.
（P5页第2题）
E E
E
注意:画线段(或射线)的 垂线时,有时要将线段 延长(或将射线反向延 长)后再画垂线.
1.如图，分别过A、B、C 作BC、AC、AB的垂线。
解：如图、AD⊥BC于D、 A BE⊥AC于E、CF⊥AB于F
2.如图，过P分别作OA、
OB的垂线。
O
解：如图、PM⊥OA于M、 PN⊥OB于N
FB
CE D MA
P
NB
1．填空题
课堂小测
(1)过一点____________与已知直线垂直.
(2)当____时，称这两条直线互相垂直，其中一条直线 叫做另一条直线的______，它们的交点叫做_____.
2、如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线， 若∠1＝35°，∠2＝55°，则OE与AB的位
A
B
m
则所画直线AB是 过点A的直线m的垂线.
思考:
(1)画已知直线m的垂线能画几条? (2)过直线m上的一点A画m的垂线,这样的
垂线能画几条? (3)过直线m外的一点A画m的垂线,这样的
垂线能画几条?
结论：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂线的性质 垂线的性质1：过一点有且只有一条直线与
1
On
2.若直线AB、CD相交于点O，
且AB⊥CD，那么∠BOD＝_9_0_°_。
3.如图，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA的度数之比为1:5，
那么∠COA＝__7_2_°_, ∠BOC的补角为__1_6_2__度。
BC
O
A
4. 如图，直线AB、CD相交于点O，
OE⊥AB， ∠1=125°, 求∠COE的度数.
b O
从垂直的定义可知， 判断两条直线互相垂直的关键：
只要找到两条直线相交时四个交角中 有一个角是直角。
2.垂直的表示：
用“⊥”和直线字母表示垂直 例如、如图，a、b互相垂 直, 垂足为O，则记为：
a⊥b或b⊥a,
a
αb O
若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O. 或a⊥b于O.
M
F
O E
N
E
A
O
B
记作： MN⊥EF , 垂足为O. 记作： AB⊥OE垂足为O.
或者MN⊥EF于o
或者AB⊥OE于O
3.垂直的书写形式：
如果直线AB、CD 相交于点O，∠AOC=90°
（或其它三个角中的一个角等于90°），那么 AB⊥CD.
这个推理过程可以写成：
A
D
∵∠AOC=90°（已知），
O
∴AB⊥CD（垂直的定义）．
问题：
A
这样画m的
垂线可以
画几条？
O
1靠、
m 2画线
无数条
1.垂线的画法： 如图，已知直线m和m上的一点A ,作m的垂线.
B
则所画直线AB
是过点A的直线m
的垂线.
A
m
1靠:把三角板的一直角边靠在直线上; 2移:移动三角板到已知点; 3画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
1.垂线的画法： 如图，已知直线 m 和m外的一点A ,作m的垂线.
（ A ）个
（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，
则这两条直线互相垂直
（2）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这
两条直线互相垂直
（3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直
线互相垂直
（4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条
直线互相垂直
a
（A） 4 （B） 3
b
（C） 2 （D） 1
例2: 如图AB⊥CD垂足为O,∠COF=56°，
求∠AOE？
C
解：∵AB⊥CD（已知）
∴∠COB=90°（垂直的定义）
A
∴∠BOF= ∠COB－∠COF ?
F
56°
B O
=90°－56°=34° E
D
∴ ∠AOE=∠BOF=34°（对顶角相等）
答：∠AOE=34°.
例3：如图：直线AB和 CD相交于点O,OE AＢ,
CE ?
解：∵OE⊥AB（已知）
A 1O B
∴∠BOE=90°（垂直的定义） 125°
∵ ∠BOC=∠1=125°（对顶角相等） D
∴∠COE= ∠BOC－∠BOE
=125°－90°
=35°
答：∠COE=35°.
二、垂线的画法
问题： 怎么样画垂线？
1.垂线的画法：
工具：三角板（或量角器）
如图，已知直线 m,作m的垂线。
OF ＣＤ,∠ＢOF=40º,求∠ＤOE和∠AOC的度数
E
C
F
1
?
40º
A
O
B
D
例4：如图，已知ＡＯＢ为一直线，∠ＡＯＤ：
∠ＢＯＤ＝３：１，ＯＤ平分∠ＣＯＢ，（１） 求∠ＡＯＣ的度数；（２）判断ＡＢ与ＯＣ的位 置关系．
Ｃ Ｄ
45º
90º 45º
ＡＯ
Ｂ
看谁做得快
1.若直线m、n相交于点O，
m
∠1＝90°，则___m__⊥__n___。
置关系是 垂直
C
1 O 解：∵∠1＝35°，∠2＝55°（已知）
A
B ∴ ∠AOE＝180°－∠1－∠2
2
D
E
＝ 180°－35°－55° ＝90°