第五章连续系统的离散化仿真2015
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m m m 1 m 1
将其分子、分母同乘以 z 1n 并整理可得：
[ ( z 1) z ] a0 n m T G s ( z 1) 2 b0 [ ( z 1) q ]
i 1 n i i 1 m
2
T
i
可见，G（z）的分子分母阶次相同，且稳态增益均为am/bn。
双线性变换的映射关系
计算的稳定性与T无关，允许采用较大的步距。
2、G（z）的分子分母阶次相同，其稳态增益与G（s）相同 设
a0 ( s s ) a0 s m a1s m 1 am 1s am G s b0 ( s p ) b0 s n b1s n 1 bn 1s bn
，所以G（z）是稳定的。
• G（s）的分子为1阶，分母为2阶；而G（z）的分子分母 阶次相同，均为2阶，有一个z=-1处的零点。G（s）的稳 态增益为0，G（z）的稳态增益也为0。 • 为了进一步考查仿真模型的精度，下面来比较一下G（s） 和G（z）的频率特性。 将 s j 和 z e j T 分别代入G（s）和式(4)，可得
对微分方程
应用Euler法，有：
dx / dt f (t )
k xk 1 xk Tf k xk Tx
整理可得： 又因为： 故有：
z 1x Tx
x 1 s x
s z 1 T
即：
x T z 1 x
（1）
关系式（1）即为简单替换法的变换公式。
（4）确定Kz 根据终值定理，在单位阶跃函数作用下 G（s）的终值为 G（z）的终值为
1 1 1 lim sG( s ) lim s 1 s 0 s s 0 T1s 1 s
lim
z 1 z z 1 Kz z z Kz G( z ) lim T / T z 1 z z 1 z1 z z e z 1 1 eT / T
（2）
表明：Z平面上的单位圆按该替换式映射到S平面上，将是一 个以（－1/T，0）为圆心，以1/T为半径的圆。
简单替换法S域到Z域的映射关系
一个原来稳定的系统G(s)，通过简单替换得到的仿真模型 G(z)却可能是不稳定的。 所以，简单替换法很少采用，较常用的是双线性变换法。
• 二、双线性变换法
由
z e
百度文库sT
可得
s
1 T
ln z
展成级数可得：
1 z 1 1 ( z 1)3 s 2 [ 3 ... 3 T z 1 ( z 1)
2 n 1 ( z 1 ) 1 ...] 2 n 1 2 n 1 ( z 1)
取第一项，即：
s
2 z 1 T z 1
• 例
G（s）=1/（T1s+1），用根匹配法确定离散化模型。
（1）连续模型有一个极点：-1/T1 （2）把S 平面上的零极点映射到Z平面上：
G( z) K z 1 z e T / T1
（3）在z=0处增加一个附加零点。
G( z) K z z z e T / T1
root_match.m
qi' e qiT
初步构造一个具有上述零极点的G（z）。
G z
' ' ' K z z q1 z q2 z qm ' ' ' z p1 z p2 z pn
root_match.m
3、确定Z 平面上的附加零点 因为 m≤n ，故在 S 平面上有 n － m 个零点在负无穷远处， 对应地，在Z平面上有n－m个零点在e－∞T=0处，即Z平面的 原点。
s 12
s
故，p1=p2=-1，q1=0，n=2，m=1 映射得：
Gz
（2） 按 z e sT
z e
K z z 1
• 二、根匹配法的精度和稳定性
1、只要原系统是稳定的，则不论T 取多大，都能保证仿真 模型也是稳定的。 Re（s）<0时，|esT|<1 2、除了良好的稳定性之外，根匹配法还具有一定的精度。 精度由G（s）与G（z）频率特性的接近程度决定。
例
（1）
Gs
s G s 2 s 2s 1
简单替换法公式简单，但是稳定性差，并不实用。下面 分析其稳定性。 设
s j
z
2
根据式（1）可得： z=Ts+1， 则有下面的关系成立：
1 T 2 2T 2
z
2
对于Z平面上的单位圆，有
1
故上式变为：
即：
1 T 2 2T 2 1
1 2 1 2 2 ( ) ( ) T T
1
1
T / T K 1 e z 令两终值相等可得：
1
于是离散化模型：
G( z )
(1e T / T1 ) z z e T / T1
根据G（z）可进一步求出差分方程用于仿真。
yk e T / T yk 1 (1 e T / T ) f k
1 1
root_match.m
• 离散化仿真的基本思想：
用比较简单的方法直接从 G（s）求出
G（z），从而得到用于仿真的差分方程。 离散化仿真方法要求有较好的稳定性， 允许采用较大的计算步距，满足实时仿真 的需要。
5.1替换法
一、简单替换法
已知s域和z域间存在变换关系：
ze
sT
—— 超越函数。 为简化计算，试图将指数函数形式转化为更简单的形式。
（4）
可写出差分方程：
2T 2T 2T 2 y k 2 ( uk uk 2 ) yk 1 yk 2 (2 T )2 2T 2T
式中的uk、uk-2分别为k时刻和k-2时刻的输入值。
• 由式(4)可知，因为
2T 1 2T
' ' ' K z z q1 z q2 z qm Gz ' ' ' z p1 z p2 z pn
z nm
4、在典型输入下，根据终值定理求出连续系统的终值及离 散系统G（z）的终值，根据终值相等的原则确定 Kz。
root_match.m
G( s )
s s 2 2s 1
将变换公式代入传递函数，可得脉冲传递函数：
2 z 1 T z 1 G( z ) 2 z 1 2 z 1 2 1 T z 1 T z 1
2
整理得
2T ( z 1) ( z 1) 2T ( z 1)( z 1) (2 T )2 G( z) 2T 2 [(T 2) z (T 2)] 2 z 2T
(n≥m)
“根匹配法”：由
z e sT
在[Z]平面上一一对应地确定出零、极点的位置，然后根据其 它特点(比如，终值点)来确定Kz
' ' K z z q1' z q 2 z qm G z ' ' z p1' z p 2 z pn
（3）
式（3）即为双线性变换法的公式。
或通过梯形积分公式：
xk 1 xk T k x k 1 x 2
经Z变换可得：
z 1x T z 1x 2
也可得到双线性变换公式。
• 三、双线性变换的特点
1、不改变模型的稳定性 即：将稳定的G（s）变换为稳定的G（z）。 证明：仍设 由
3、具有串联性
若G（s）=G1（s）G2（S），
且G1（s）-->G1（z）， G1（s）-->G1（z），
G（s）-->G（z），
则G（z）=G1（z）G2（z）
4、频率特性接近
G（s）与G（z）的频率特性接近，
特别是在低频段。
所以双线性变换能够满足一定的精度
要求，并常用于有限带宽的系统。
例 已知连续系统的传递函数为 用双线性变换求其差分方程。
fre q u e n c y re s p o n s e 0 .5 G (s ) 0 .4 0 .3 G (z )
m ag
0 .2 0 .1 0 10
-1
10
0
10
1
fre q u e n c y (ra d /s ) 100 G (s ) 50 G (z )
p h a s e (d e g .
i 1 n i i 1 i m
将双线性变换公式带入：
2 z 1 2 z 1 2 z 1 a0 am 1 a1 am T z 1 T z 1 T z 1 G z n n n 1 n 1 2 z 1 2 z 1 2 z 1 b0 b1 bn 1 bn T z 1 T z 1 T z 1
第五章 连续系统的离散化仿真
• • • • • • • 引言 5.1替换法 5.2根匹配法 5.3离散相似法 5.4状态方程的离散化 5.5增广矩阵法 5.6面向结构图的数字仿真
引言
在第 2 章里介绍了连续系统数值积分法仿真的原理和方
法，而本章将要从连续系统离散化的角度来探讨控制系统数 字仿真方法。
j 2 2 j ( 3 ) G( j ) ( j )2 2 ( j ) 1 (1 2 )2
2T (e j T 1)(e j T 1) 2 (2 T ) jT 2 T e 2 T
2
（5） （6）
s j
2 z 1 s T z 1
T 1 T 2 2 2 z 2 2 T 1 T 2 2
2 2
可得
Ts 2 z Ts 1 2 1
即：
若 <0， 则 z <1； 可见： 若 ＝0，则 z ＝1， 若 >0， 则 z >1。
0
-5 0
-1 0 0 10
-1
10
0
10
1
从频率特性曲线可知，在低频段，二者很接近。
fre q u e n c y (ra d /s )
5.2根匹配法
连续系统的传递函数：
G s K s q1 s q 2 s q m s p1 s p 2 s p n
G (e j T )
令采样周期T=1s，将ejwT用coswT+jsinwT代替，分别求出式 (5)、(6)的幅频特性和相频特性，列于表1。 表1 仿真模型与实际连续系统的频率特性比较
/ rad s 1
幅频 特性 0.1 0.099 01 0.099 1 78.58 78.57 0.3 0.275 2 0.277 56.60 56.36 0.6 0.441 2 0.447 28.07 26.51 0.8 0.487 8 0.493 12.68 9.57 1.0 0.5 0.498 0 -5.06 1.2 0.491 8 0.476 -10.39 -17.67 1.5 0.461 5 0.417 -22.62 -33.56
| G( j ) |
| G (e j T ) |
相频 特性
G ( j )
G ( je j T )
比较表中的数据可知，在T=1s的条件下，G（s）和G（z）的 频率特性在低于转折频率的频段内（1rad/s）是十分接近的， 这说明，用双线性变换所得的仿真模型既简单，又能满足一 定的精度要求。
root_match.m
• 一、根匹配法的步骤
1、由G（s）计算出K、q1、…、qm，p1、…、pn。
G s K s q1 s q 2 s q m s p1 s p 2 s p n
2、把S 平面上的零极点映射到Z平面上，即：
pi' e piT
将其分子、分母同乘以 z 1n 并整理可得：
[ ( z 1) z ] a0 n m T G s ( z 1) 2 b0 [ ( z 1) q ]
i 1 n i i 1 m
2
T
i
可见，G（z）的分子分母阶次相同，且稳态增益均为am/bn。
双线性变换的映射关系
计算的稳定性与T无关，允许采用较大的步距。
2、G（z）的分子分母阶次相同，其稳态增益与G（s）相同 设
a0 ( s s ) a0 s m a1s m 1 am 1s am G s b0 ( s p ) b0 s n b1s n 1 bn 1s bn
，所以G（z）是稳定的。
• G（s）的分子为1阶，分母为2阶；而G（z）的分子分母 阶次相同，均为2阶，有一个z=-1处的零点。G（s）的稳 态增益为0，G（z）的稳态增益也为0。 • 为了进一步考查仿真模型的精度，下面来比较一下G（s） 和G（z）的频率特性。 将 s j 和 z e j T 分别代入G（s）和式(4)，可得
对微分方程
应用Euler法，有：
dx / dt f (t )
k xk 1 xk Tf k xk Tx
整理可得： 又因为： 故有：
z 1x Tx
x 1 s x
s z 1 T
即：
x T z 1 x
（1）
关系式（1）即为简单替换法的变换公式。
（4）确定Kz 根据终值定理，在单位阶跃函数作用下 G（s）的终值为 G（z）的终值为
1 1 1 lim sG( s ) lim s 1 s 0 s s 0 T1s 1 s
lim
z 1 z z 1 Kz z z Kz G( z ) lim T / T z 1 z z 1 z1 z z e z 1 1 eT / T
（2）
表明：Z平面上的单位圆按该替换式映射到S平面上，将是一 个以（－1/T，0）为圆心，以1/T为半径的圆。
简单替换法S域到Z域的映射关系
一个原来稳定的系统G(s)，通过简单替换得到的仿真模型 G(z)却可能是不稳定的。 所以，简单替换法很少采用，较常用的是双线性变换法。
• 二、双线性变换法
由
z e
百度文库sT
可得
s
1 T
ln z
展成级数可得：
1 z 1 1 ( z 1)3 s 2 [ 3 ... 3 T z 1 ( z 1)
2 n 1 ( z 1 ) 1 ...] 2 n 1 2 n 1 ( z 1)
取第一项，即：
s
2 z 1 T z 1
• 例
G（s）=1/（T1s+1），用根匹配法确定离散化模型。
（1）连续模型有一个极点：-1/T1 （2）把S 平面上的零极点映射到Z平面上：
G( z) K z 1 z e T / T1
（3）在z=0处增加一个附加零点。
G( z) K z z z e T / T1
root_match.m
qi' e qiT
初步构造一个具有上述零极点的G（z）。
G z
' ' ' K z z q1 z q2 z qm ' ' ' z p1 z p2 z pn
root_match.m
3、确定Z 平面上的附加零点 因为 m≤n ，故在 S 平面上有 n － m 个零点在负无穷远处， 对应地，在Z平面上有n－m个零点在e－∞T=0处，即Z平面的 原点。
s 12
s
故，p1=p2=-1，q1=0，n=2，m=1 映射得：
Gz
（2） 按 z e sT
z e
K z z 1
• 二、根匹配法的精度和稳定性
1、只要原系统是稳定的，则不论T 取多大，都能保证仿真 模型也是稳定的。 Re（s）<0时，|esT|<1 2、除了良好的稳定性之外，根匹配法还具有一定的精度。 精度由G（s）与G（z）频率特性的接近程度决定。
例
（1）
Gs
s G s 2 s 2s 1
简单替换法公式简单，但是稳定性差，并不实用。下面 分析其稳定性。 设
s j
z
2
根据式（1）可得： z=Ts+1， 则有下面的关系成立：
1 T 2 2T 2
z
2
对于Z平面上的单位圆，有
1
故上式变为：
即：
1 T 2 2T 2 1
1 2 1 2 2 ( ) ( ) T T
1
1
T / T K 1 e z 令两终值相等可得：
1
于是离散化模型：
G( z )
(1e T / T1 ) z z e T / T1
根据G（z）可进一步求出差分方程用于仿真。
yk e T / T yk 1 (1 e T / T ) f k
1 1
root_match.m
• 离散化仿真的基本思想：
用比较简单的方法直接从 G（s）求出
G（z），从而得到用于仿真的差分方程。 离散化仿真方法要求有较好的稳定性， 允许采用较大的计算步距，满足实时仿真 的需要。
5.1替换法
一、简单替换法
已知s域和z域间存在变换关系：
ze
sT
—— 超越函数。 为简化计算，试图将指数函数形式转化为更简单的形式。
（4）
可写出差分方程：
2T 2T 2T 2 y k 2 ( uk uk 2 ) yk 1 yk 2 (2 T )2 2T 2T
式中的uk、uk-2分别为k时刻和k-2时刻的输入值。
• 由式(4)可知，因为
2T 1 2T
' ' ' K z z q1 z q2 z qm Gz ' ' ' z p1 z p2 z pn
z nm
4、在典型输入下，根据终值定理求出连续系统的终值及离 散系统G（z）的终值，根据终值相等的原则确定 Kz。
root_match.m
G( s )
s s 2 2s 1
将变换公式代入传递函数，可得脉冲传递函数：
2 z 1 T z 1 G( z ) 2 z 1 2 z 1 2 1 T z 1 T z 1
2
整理得
2T ( z 1) ( z 1) 2T ( z 1)( z 1) (2 T )2 G( z) 2T 2 [(T 2) z (T 2)] 2 z 2T
(n≥m)
“根匹配法”：由
z e sT
在[Z]平面上一一对应地确定出零、极点的位置，然后根据其 它特点(比如，终值点)来确定Kz
' ' K z z q1' z q 2 z qm G z ' ' z p1' z p 2 z pn
（3）
式（3）即为双线性变换法的公式。
或通过梯形积分公式：
xk 1 xk T k x k 1 x 2
经Z变换可得：
z 1x T z 1x 2
也可得到双线性变换公式。
• 三、双线性变换的特点
1、不改变模型的稳定性 即：将稳定的G（s）变换为稳定的G（z）。 证明：仍设 由
3、具有串联性
若G（s）=G1（s）G2（S），
且G1（s）-->G1（z）， G1（s）-->G1（z），
G（s）-->G（z），
则G（z）=G1（z）G2（z）
4、频率特性接近
G（s）与G（z）的频率特性接近，
特别是在低频段。
所以双线性变换能够满足一定的精度
要求，并常用于有限带宽的系统。
例 已知连续系统的传递函数为 用双线性变换求其差分方程。
fre q u e n c y re s p o n s e 0 .5 G (s ) 0 .4 0 .3 G (z )
m ag
0 .2 0 .1 0 10
-1
10
0
10
1
fre q u e n c y (ra d /s ) 100 G (s ) 50 G (z )
p h a s e (d e g .
i 1 n i i 1 i m
将双线性变换公式带入：
2 z 1 2 z 1 2 z 1 a0 am 1 a1 am T z 1 T z 1 T z 1 G z n n n 1 n 1 2 z 1 2 z 1 2 z 1 b0 b1 bn 1 bn T z 1 T z 1 T z 1
第五章 连续系统的离散化仿真
• • • • • • • 引言 5.1替换法 5.2根匹配法 5.3离散相似法 5.4状态方程的离散化 5.5增广矩阵法 5.6面向结构图的数字仿真
引言
在第 2 章里介绍了连续系统数值积分法仿真的原理和方
法，而本章将要从连续系统离散化的角度来探讨控制系统数 字仿真方法。
j 2 2 j ( 3 ) G( j ) ( j )2 2 ( j ) 1 (1 2 )2
2T (e j T 1)(e j T 1) 2 (2 T ) jT 2 T e 2 T
2
（5） （6）
s j
2 z 1 s T z 1
T 1 T 2 2 2 z 2 2 T 1 T 2 2
2 2
可得
Ts 2 z Ts 1 2 1
即：
若 <0， 则 z <1； 可见： 若 ＝0，则 z ＝1， 若 >0， 则 z >1。
0
-5 0
-1 0 0 10
-1
10
0
10
1
从频率特性曲线可知，在低频段，二者很接近。
fre q u e n c y (ra d /s )
5.2根匹配法
连续系统的传递函数：
G s K s q1 s q 2 s q m s p1 s p 2 s p n
G (e j T )
令采样周期T=1s，将ejwT用coswT+jsinwT代替，分别求出式 (5)、(6)的幅频特性和相频特性，列于表1。 表1 仿真模型与实际连续系统的频率特性比较
/ rad s 1
幅频 特性 0.1 0.099 01 0.099 1 78.58 78.57 0.3 0.275 2 0.277 56.60 56.36 0.6 0.441 2 0.447 28.07 26.51 0.8 0.487 8 0.493 12.68 9.57 1.0 0.5 0.498 0 -5.06 1.2 0.491 8 0.476 -10.39 -17.67 1.5 0.461 5 0.417 -22.62 -33.56
| G( j ) |
| G (e j T ) |
相频 特性
G ( j )
G ( je j T )
比较表中的数据可知，在T=1s的条件下，G（s）和G（z）的 频率特性在低于转折频率的频段内（1rad/s）是十分接近的， 这说明，用双线性变换所得的仿真模型既简单，又能满足一 定的精度要求。
root_match.m
• 一、根匹配法的步骤
1、由G（s）计算出K、q1、…、qm，p1、…、pn。
G s K s q1 s q 2 s q m s p1 s p 2 s p n
2、把S 平面上的零极点映射到Z平面上，即：
pi' e piT