高中数学212 直线的方程 第2课时 直线方程的两点式和一般式课件 北师大版必修2
高一数学：1.2.3直线的一般式方程 课件 (北师大必修2)
y kx b
y y1 y 2 y1
x a yห้องสมุดไป่ตู้b
x x1 x 2 x1
( y 2 y1 ) x ( x1 x 2 ) y x1 ( y1 y 2 ) y1 ( x 2 x1 ) 0
1
bx ay ( ab ) 0
上述四式都可以写成直线方程的一般形式：
例1：已知直线经过点A（6，- 4），斜率 为 – 4/3，求直线的点斜式、一般式和截距 式方程。 解：经过点A（6，- 4）并且斜率等于- 4/3 的直线方程的点斜式是 y + 4 = -4/3 （x – 6） 化成一般式，得 截距式是： 4x+3y – 12=0
巩固训练（一）
若直线l在x轴上的截距-4时，倾斜角的余弦值 是-3/5， 则直线l的点斜式方程是___________
⑴B≠0时，方程化成 这是直线的斜截 式，
它表示为斜率为 – A/B，纵截距为- C/B的直线。
⑵B＝0时，由于A，B不同时为零所以A≠0，此时，Ax+By+ C=0可化为x= -C / A，它表示为与Y轴平行（当C=0时）或重合 （当C=0时）的直线。
思考：直线与二元一次方程具有什么样的关系？
结论:(1)直线方程都是关于x,y的二元一次方程 （2）关于x,y的二元一次图象又都是一条直线。 我们把方程Ax+By+c=0（A，B不同时为零）叫做 直线方程的一般式。所以直线和二元一次方程是 一一对应。
点斜式：已知直线上一点P1（x1，y1）的坐标， 和直线的斜率k，则直线的方程是 y y k ( x x ) 1 1 斜截式：已知直线的斜率k，和直线在y轴上的 截距b则直线方程是 y kx b
北师大版高中数学必修二课件2-1-2(二)
解 由已知得，这条直线经过两点(20,10.402 5)和(40，10.405
0)，根据直线的两点式方程得：
l－10.402 5 10.405 0－10.402
5＝4t0－－2200，
即 l＝0.002 5×2t0＋10.400 0.
当 t＝25 时，l＝0.002 5×2250＋10.400 0≈10.403 1，
题型一 直线方程的两点式和截距式 【例 1】 四边形的顶点为 A(－1,0)，B(0，－2)，C(2,0)，D(1,2)， 求这个四边形四条边所在的直线方程． [思路探索] 数形结合，利用两点式或截距式写出四边形四条边 所在的直线方程，最后将结果化为一般式．
解 由截距式，得 AB 边所在直线为： －x1＋－y2＝1，即：2x＋y＋2＝0， BC 边所在直线为：2x＋－y2＝1， 即 x－y－2＝0， 由两点式，得 CD 边所在直线为： 2y－－00＝1x－－22，即：2x＋y－4＝0， AD 边所在直线为：2y－－00＝1x＋＋11， 即：x－y＋1＝0.
由斜率式，得 y＝－53x＋2，即 5x＋3y－6＝0， ∴直线 BC 的方程为 5x＋3y－6＝0. 直线 AC 在 x 轴，y 轴上的截距分别是－5,2，由截距式，得 －x5＋2y＝1，即 2x－5y＋10＝0， ∴直线 AC 的方程是 2x－5y＋10＝0.
题型二 直线的一般式方程 【例 2】 方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6 满足下列 条件，请根据条件分别确定实数 m 的值． (1)方程能够表示一条直线； (2)方程表示一条斜率为－1 的直线． [思路探索] 对于 Ax＋By＋C＝0 表示直线，必须 A、B 不全为 0， 在 B≠0 时，斜率 k＝－AB.
在一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为 0)中，若 B ＝0，则 x＝－CA，它表示一条与 y 轴平行或重合的直线；若 A ＝0，则 y＝－CB，它表示一条与 x 轴平行或重合的直线．
高中数学 2.1.2 第2课时 直线方程的两点式和一般式配套课件 北师大版必修2
若直线(m－1)x－y－2m＋1＝0不经过第一象限，则实数 m的取值范围是________．
【解析】
m－1＜0， 1－2m＜0，
直线方程的一般式
设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y ＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值；
(1)l在x轴上的截距是－3； (2)l的斜率是－1.
【思路探究】 可根据所求的结论把一般式转化为其他 形式．
【自主解答】 (1)由题意可得
m2－2m－3≠0， m22－m2－m6－3＝－3，
第2课时 直线方程的两点式和一般式
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化． (2)了解直线与二元一次方程的对应关系．
2．过程与方法 让学生在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通 过新的知识的比较、分析、应用获得新知识的特点． 3．情感、态度与价值观 (1)认识事物之间的普遍联系与相互转化．(2)培养学生 用联系的观点看问题．
想”求得．
【自主解答】
(1)将直线l的方程整理为y－
3 5
＝a(x－
15)，∴l的斜率为a，且过定点A(15，35)，而点A(15，35)在第一象
限，
故l过第一象限．
(2)如图，直线OA的斜率k＝3515－ －00＝3， ∵l不经过第二象限，∴a≥3.
1．直线过定点(15，35)是解决本题的关键． 2．针对这个类型的题目，灵活地把一般式Ax＋By＋C ＝0(A，B不同时为0)进行变形是解决这类问题的关键．在求 参量取值范围时，巧妙地利用数形结合思想，会使问题简单 明了．
线l的两点式方程可化为 ax＋by＝1 的形式，这种形式的方 程叫作直线方程的截距式．其中 a 为直线在x轴上的截距， b 为直线在y轴上的截距．
直线的两点式方程、直线的一般式方程课件
___ax_＋__by_＝__1__ 不表示__垂__直__于____坐标轴的直 线及过___原__点_____的直线
[化解疑难]
1．要注意方程yy2－－yy11＝xx2－－xx11和方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－ x1)(y2－y1)形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程， 形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式 方程，适用于过任何两点的直线方程．
②当 m≠0 时，l1∥l2，需m2 ＝m＋3 1≠－42. 解得 m＝2 或 m＝－3.∴m 的值为 2 或－3. 法二：令 2×3＝m(m＋1)，解得 m＝－3 或 m＝2. 当 m＝－3 时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0， 显然 l1 与 l2 不重合，∴l1∥l2. 同理当 m＝2 时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1 与 l2 不重合，l1∥l2， ∴m 的值为 2 或－3.
解得ab11＝＝43， 或ab22＝＝19252，， 所以直线 l 的方程为 3x＋4y－12＝0 或 15x＋8y－36＝0.
(2)设直线 l 的方程为ax＋by＝1(a＞0，b＞0)， 由题意知，ab＝12，34a＋2b＝1， 消去 b，得 a2－6a＋8＝0， 解得ab11＝＝43， 或ab22＝ ＝26， ， 所以直线 l 的方程为 3x＋4y－12＝0 或 3x＋y－6＝0.
0.
[活学活用] (1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程； (2)求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
解：(1)法一：设直线 l 的斜率为 k， ∵l 与直线 3x＋4y＋1＝0 平行，∴k＝－34. 又∵l 经过点(1,2)，可得所求直线方程为 y－2＝－34(x－1)， 即 3x＋4y－11＝0.
直线的两点式、一般式方程 课件
[例3] 已知直线l经过点A(－5,6)和点B(－4,8)，求直线 的一般式方程和截距式方程，并画图．
[解析] 直线过A(－5,6)、B(－4,8)两点， 由两点式得，8y－－66＝－x＋4＋55， 整理得2x－y＋16＝0， ∴2x－y＝－16，两边同除以－16得，－x8＋1y6＝1. 故所求直线的一般式方程为2x－y＋16＝0，截距式 方程为－x8＋1y6＝1.图形略．
[解析] ∵点P在l上射影为Q， ∴PQ⊥l，且Q在l上， ∵kPQ＝3－－1(－ －11)＝－2，∴kl＝12， ∴直线l方程为y－(－1)＝12(x－1)， 即x－2y－3＝0.
三、解答题 7．求过点P(－3,4)且在两坐标轴上的截距之和为12的 直线的方程．
[解析] 设直线方程为ax＋by＝1，则
[例7] 求斜率为 且与两坐标轴围成的三角形周长为 12的直线方程．
[分析] 已知直线斜率，可选用直线的斜截式方程， 然后根椐题目条件确定b的值．
[解析] 设直线方程为y＝34x＋b， 令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－43b. ∴|b|＋|－43b|＋ b2＋(－43b)2＝12. ∴|b|＋43|b|＋53|b|＝12，∴b＝±3. ∴所求直线方程为y＝34x±3.
8．在求直线方程时，点斜式、斜截式、两点式、截距 式各有怎样的局限性？
[答案] 点斜式和斜截式都是适用于直线的斜率存在 即直线不与x轴垂直的情况；两点式和截距式都适用于直线 不与坐标轴垂直且截距式还要求直线不过原点．
9．已知直线Ax＋By＋C＝0.
(1)若直线过原点，则系数A、B、C满足
C＝0，A2＋B2≠0 .
[答案] B
B.2x＋3y＝1 D.2x－3y＝1
()
2．过点(－3,2)，(9,2)的直线方程是
直线方程的两点式和一般式 课件
直线方程的应用
直线 l 的方程为(a－2)y＝(3a－1)x－1(a∈R)．
(1)求证：直线 l 必过定点；
(2)若直线 l 不过第二象限，求实数 a 的取值范围． [解] (1)证明：直线方程可变为 a(3x－y)－(x－2y＋1)＝0 的
＝－2(x－15)2＋54 150(0≤x≤90)．②9 分 3
∴当 x＝15，y＝60－2×15＝50 时， 3
Smax＝54 150 m2.11 分
因此点 P 距直线 AE 15 m，距直线 BC 50 m 时所开发的面积 最大，最大面积为 54 150 m2.③12 分 [规范与警示] (1)解答本题的 3 个关键步骤如下： 一是根据条件建立适当的坐标系是将几何问题转化成代数问 题的关键，也是失分点．
二是根据直线方程确定 x 和 y 的关系后，在②处要根据实际情 况确定出 x 的范围，否则会在后面的应用中忽略范围而出现错 误解答．
三 是在解 答的③ 处的 结论一 定不能 漏掉， 否则解 题步骤 不完 整，造成没必要的 失分． (2)解决 该类问题应注意以下两点： 一是利用坐标法解 决生活问题时，首先要建立适当的坐 标系， 再借助已知条件寻求 x 和 y 的关系．要求一定准确、恰当，否 则给后面的运算化 简带来麻烦．
(3)分类讨论思想的运用 对于特殊情况的处理，考虑问题要全面，这对于完整的解题 是必需的，如本例中的截距互为相反数这一条件的处理，就 必须分等于零和不等于零两种情况来分类讨论，使问题的解 决做到不重不漏．
已知直线 l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论 a 为何值，直线 l 恒过第一象限；
直线的方程(第2课时直线方程的两点式与一般式)课件-2024-2025学年高二上学期数学选择性必修一
5(x+1)+2(y-3)=0,即5x+2y-1=0.
答案:5x+2y-1=0
.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)直线方程的一般式可表示任意一条直线.( √ )
(2)直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线.( × )
(3)直线方程的两点式适用于求不过原点,且与两坐标轴不垂直的直线的方
(3)若已知直线在坐标轴上的截距是否可以确定直线方程?
提示:可以.
2.(1)直线方程的两点式:过点A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)的直线方程
-1
-1
的两点式为 - = - ,与 坐标轴 垂直的直线没有两点式方程.
2 1
2 1
(2)直线方程的截距式:经过两点P(a,0),Q(0,b)(其中ab≠0)的直线l方程的截
D.5
+ 3 =0
).
二、直线方程的一般式
【问题思考】
1.(1)当B≠0时,方程Ax+By+C=0表示怎样的直线?B=0(A≠0)呢?
提示:当 B≠0 时,由 Ax+By+C=0,得
y=- x- ,所以该方程表示斜率为- ,在
上截距为- 的直线;
当 B=0,A≠0 时,由 Ax+By+C=0,得
图1-1-4
(1)在上述问题中,解题关键是确定直线AB,那么直线AB的方程确定后,点
A,B能否确定?
提示:能确定.
(2)根据图1-1-4,以O为原点,OA所在直线为x轴,OB所在直线为y轴,建立平面
高中数学 2.1.2.2直线方程的两点式和一般式课件 北师
【规范解答】∵直线AB过A(-5,0)、B(3,-3)两点，
由两点式得:
y0 3 0
x 5 3 5 ,
整理得3x+8y+15=0.
∵直线BC过C(0,2)、B(3,-3)两点，
由两点式得： y 2 x 0 .
【规范解答】建立如图所示的平面直角坐标系,则线段AB的
方程为 x y 10 x 30.
30 20
设点P的坐标为(x,y),
则 y 20 2x .
3
∴公寓占地面积为
S=(100-x)(80-y)
100 x(80 20 2x ) 2 x2 10x 25 50 6 000
y2 y1 x2 x1
y y2 x x2 ,但不能写成 y y1 x x2 .
y1 y2 x1 x2
y2 y1 x1 x2
(3)在直线方程的两点式中,由于x1≠x2且y1≠y2,因此它不 能表示与两坐标轴垂直的直线: ①当x1=x2,y1≠y2时,直线方程为x-x1=0, ②当y1=y2,x1≠x2时,直线方程为y-y1=0. (4)两点式方程若变形为(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1),则此 方程不再受x1≠x2且y1≠y2的限制，可表示过(x1,y1), (x2,y2)的所有直线.
33
3
2 x 52 50 6 0000 x 30.
3
3
∴当x=5时,
Smax
6
000Βιβλιοθήκη 50 36
017，
此时点P的坐标为 (5, 50)，故以DC、DE为邻边，
【精品课件】高中数学必修2 直线的方程(两点式、一般式)
x C A
所以任意一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同 时为零)都表示一条直线.
问题探究
结论一： 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用
一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0 (其 中A,B不同时为0)表示.
结论二： 任意一个关于x，y的二元一次方程
Ax+By+C=0 (其中A,B不同时为0)都表示一条直 线.
y 4 x. 5
x y 1,
把P(-5，4)代入上式得 a 1. a a
直线方程为 x y 1,
即 x y 1 0. 综上：直线方程为 y 或54 x
截距为零不 容忽视
x y 1 0.
练习：
1.根据下列条件写出直线方程，并画出简图。
（1）在x轴上的截距是2，在y轴上的截距是3；
⑤过原点
C=0
课堂练习
4.设直线L的方程为（m2-2m-3）x+（2m2+m-1)y=2m-6 根据下列条件确定m的值
(1)L在x轴上的截距为-3；(2)L的斜率为1.
小结
1.本节课都学了哪些知识点？
①二元一次方程与直线的一一对应关系； ②直线的一般式方程的概念； ③ 直线方程的一般式Ax+By+C=0系数A、B、C的几何意义； ④直线方程的各种特殊形式和一般式之间在一定条件下可以互 相转化。
直线的方程 ①过点P1(x1, y1)，垂直于x轴的直线的方程：
x= x1 ②过点P1(x1, y1)，垂直于y轴的直线的方程：
y= y1 ③x轴： y= 0
④y轴： x= 0
问题探究
问题一： 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用
教学课件：第2课时-直线方程的两点式和一般式
直线方程的应用
通过直线方程，可以解决 与直线相关的实际问题， 如求直线上的点、判断两 直线是否平行等。
下节课预告
直线的倾斜角和斜率
直线方程的应用
介绍直线的倾斜角和斜率的概念，以 及它们之间的关系。
通过直线的倾斜角和斜率，可以解决 与直线相关的实际问题，如求直线的 长度、判断两直线是否垂直等。
直线的点斜式和截距式
两点式直线方程的应用
确定直线的斜率和截距
通过给定的两点，可以确定直线的斜 率和截距，进而确定直线的方程。
解决与直线相关的问题
利用两点式直线方程，可以解决与直 线相关的问题，如求直线上某一点的 坐标、判断三点共线等。
03 直线方程的一般式
一般式直线方程的定义
总结词
一般式直线方程是数学中描述直线的一种方式，它包含了直线的斜率和截距信息。
要点二
基础练习题2
已知直线经过点$(2,3)$和斜率为$2$，求直线的两点式方程。
进阶练习题
进阶练习题1
已知直线的一般式方程为$3x + 4y - 12 = 0$，求该直线的斜率。
VS
进阶练习题2
已知直线的一般式方程为$2x - y + 5 = 0$， 求该直线经过的点。
综合练习题
综合练习题1
已知直线经过点$(2,3)$，斜率为$2$，且与 $x$轴交于点$(4,0)$，求该直线的方程。
04 两点式与一般式的比较
形式上的比较
两点式方程
(y - y_1 = m (x - x_1))
一般式方程
(ax + by + c = 0)
使用场景的比较
01
两点式方程适用于已知两点坐标 的情况，可以快速求出直线方程 。
直线方程的两点式和一般式PPT课件
学习目标
掌握直线方程的两点 式和一般式的推导过 程。
能够运用直线方程的 两点式和一般式解决 实际问题。
理解直线方程的两点 式和一般式的几何意 义。
02 两点式直线方程
定义
总结词
两点式直线方程是描述直线方程的一种方式，基于直线上两点的坐标来定义。
详细描述
两点式直线方程，也称为两点式或线式方程，是基于直线上两个已知点的坐标来定 义的。假设两点为$P_1(x_1, y_1)$和$P_2(x_2, y_2)$，则两点式直线方程可以表示 为：$frac{y - y_1}{x - x_1} = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
解决实际问题
在实际问题中，已知直线上两点 的坐标，可以通过两点式方程求 出直线的斜率和截距，再通过转 换得到一般式方程，从而解决实
际问题。
数学建模
在数学建模中，通过将实际问题 转化为数学模型，利用两点式与 一般式的转换关系，可以方便地
求解直线方程。
科学实验
在科学实验中，有时需要利用已 知的两点坐标来计算直线的斜率 和截距，进而通过转换得到一般 式方程，用于描述实验数据的变
应用场景
总结词
一般式直线方程在几何、代数、解析几何等领域都有广 泛的应用。
详细描述
在几何中，一般式直线方程可以用来描述平面上的任意 一条直线，并且可以用来计算直线的斜率和截距。在代 数中，一般式直线方程可以用来解决线性方程组的问题 ，通过代入法或者消元法可以得到解。在解析几何中， 一般式直线方程可以用来研究直线的性质和特点，例如 直线的平行、垂直、相交等关系。
$Ax + By + C = 0$，其中$A$、$B$ 不同时为零。
北师大版高中数学必修二教师用书：2-1-2-2 直线方程的两点式和一般式
二 直线方程的两点式和一般式1．直线方程的两点式2.直线方程的截距式3.直线方程的一般式(1)定义：关于x 、y 的二元一次方程 Ax ＋By ＋C ＝0_(A 、B 不同时为0)表示的是一条直线，我们把它叫作直线方程的一般式．(2)适用范围：平面直角坐标系中任意一条直线都可用直线方程的一般式来表示．(3)系数的几何意义当B ≠0时，y ＝－A B x －C B ，它表示平面直角坐标系中一条不垂直于x 轴的直线(其中－A B 就是直线的斜率)．当B ＝0时，则A ≠0，所以有x ＝－C A ，它表示平面直角坐标系中一条与x 轴垂直的直线．1．已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程．[★答案☆] y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)，即y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 2．过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？[★答案☆] 不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示．3．截距式方程能否表示过原点的直线？[★答案☆] 不能．因为ab ≠0，即有两个非零截距．4．当B ≠0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)表示怎样的直线？B ＝0呢？[★答案☆] 当B ≠0时，由Ax ＋By ＋C ＝0，得y ＝－A B x －C B ，所以该方程表示斜率为－A B ，在y 轴上截距为－C B 的直线；当B ＝0时，A ≠0，由Ax ＋By ＋C ＝0，得x ＝－C A ，所以该方程表示一条垂直于x 轴的直线．题型一 直线的两点式方程【典例1】 已知A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中，(1)求BC 边的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程．⎝ ⎛⎭⎪⎫参考公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22 [思路导引] (1)BC 边的直线方程可以用两点式表示．(2)先求出BC 边上的中点，然后利用两点式求BC 边上的中线所在直线的方程．[解] (1)BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)，由两点式，得y －(－4)－2－(－4)＝x －50－5，即2x ＋5y ＋10＝0， 故BC 边的方程是2x ＋5y ＋10＝0(0≤x ≤5)．(2)设BC 的中点M (a ，b )，则a ＝5＋02＝52，b ＝－4＋(－2)2＝－3，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－3， 又BC 边的中线过点A (－3,2)，所以y －2－3－2＝x －(－3)52－(－3)，即10x ＋11y ＋8＝0， 所以BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0.[引申探究] 若本例条件不变，试求BC 边的垂直平分线所在的直线方程．[解] k BC ＝－4－(－2)5－0＝－25， 则BC 的垂直平分线的斜率为52，又BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－3， 由点斜式方程可得y ＋3＝52⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52， 即10x －4y －37＝0.(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，要判断是否满足两点式方程的适用条件．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x 2与y 2是同一点坐标，而x 1与y 1是另一点坐标．[针对训练1] 若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________.[解析] 由直线方程的两点式得y －(－1)4－(－1)＝x －2－3－2，即y ＋15＝x －2－5. ∴直线AB 的方程为y ＋1＝－x ＋2，∵点P (3，m )在直线AB 上，∴m ＋1＝－3＋2，得m ＝－2.[★答案☆] －2题型二 直线的截距式方程【典例2】 过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( )A ．2条B ．3条C ．4条D ．无数多条[思路导引] 直线l 在两坐标轴上的截距的绝对值相等，应考虑直线过原点和不过原点两类，分别设出方程，再由直线l 过点A (3，－1)求得直线方程．[解析] 当截距都为零时满足题意要求，直线为y ＝－13x ，当截距不为零时，设直线方程为x a ＋y b ＝1，∴⎩⎨⎧ 3a ＋－1b＝1，|a |＝|b |，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－4， 即直线方程为x 2＋y 2＝1或x 4＋y －4＝1， ∴满足条件的直线共有3条．故选B.[★答案☆] B如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m >0)”等条件时，若采用截距式求直线方程，则一定要注意考虑“零截距”的情况．[针对训练2] 直线l 过定点A (－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，则直线l 的方程为____________．[解析] 解法一：设直线方程为x a ＋y b ＝1，则⎩⎨⎧ 12|a ||b |＝4，－2a ＋3b ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝2或⎩⎨⎧ a ＝－43，b ＝－6，所以直线l 的方程为x 4＋y 2＝1或x －43＋y －6＝1，即9x ＋2y ＋12＝0或x ＋2y －4＝0.解法二：由题意知，直线l 的斜率存在且不为0，设为k ，则直线l 的方程为y －3＝k (x ＋2)，令x ＝0，得y ＝2k ＋3，令y ＝0，得x ＝－3k －2，则S ＝12|2k ＋3|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3k －2＝4， 所以(2k ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋2＝±8. 若(2k ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋2＝8，即4k 2＋4k ＋9＝0，无解． 若(2k ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋2＝－8，即4k 2＋20k ＋9＝0，解得k ＝－92或－12. 所以直线l 的方程为y －3＝－92(x ＋2)或y －3＝－12(x ＋2)．即9x＋2y ＋12＝0或x ＋2y －4＝0.[★答案☆] 9x ＋2y ＋12＝0或x ＋2y －4＝0题型三 直线的一般式方程的应用【典例3】 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．[思路导引] (1)直线在坐标轴上的截距相等，注意截距为零的情况．(2)直线不经过第二象限，则其斜率大于零，在y 轴上截距小于零．[解] (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零，当然相等．则(a ＋1)×0＋0＋2－a ＝0，∴a ＝2，方程即3x ＋y ＝0；若a ≠2，由题设l 在两轴上的截距相等，∴a －2a ＋1＝a －2， 即a ＋1＝1，∴a ＝0，方程即x ＋y ＋2＝0.∴l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴欲使l 不经过第二象限，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)>0a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0∴a ≤－1. 综上可知a 的取值范围是a ≤－1.(1)截距概念的把握要注意两点：①可以为零．②可以为负(不能与距离混淆)；在题目中出现“截距相等”、“截距互为相反数”、“一截距是另一截距的几倍”等条件时要全面考察，直线l 不经过某象限不要漏掉过原点的情况．(2)由直线的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)求直线在两轴上的截距时，令x ＝0得纵截距；令y ＝0得横截距．由两截距位置可知直线的位置．[针对训练3] 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x －(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0.(1)若直线l 在x 轴上的截距为－3，则m ＝________；(2)若直线l 的斜率为1，则m ＝________.[解析] (1)由题意知m 2－2m －3≠0，即m ≠3且m ≠－1，令y＝0，则x ＝2m －6m 2－2m －3， ∴2m －6m 2－2m －3＝－3，得m ＝－53或m ＝3(舍去)． ∴m ＝－53.(2)由题意知，2m 2＋m －1≠0，即m ≠12且m ≠－1. 把直线l 化为斜截式方程得y ＝m 2－2m －32m 2＋m －1x ＋6－2m 2m 2＋m －1， 则m 2－2m －32m 2＋m －1＝1， 得m ＝－2或m ＝－1(舍去)．∴m ＝－2.[★答案☆] (1)－53 (2)－21．下列说法正确的是( )A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b ＝1表示D ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示[解析] 当直线与y 轴平行或重合时，斜率不存在，选项A 、D 不正确；当直线垂直于x 轴或y 轴时，直线方程不能用截距式表示，选项C 不正确；当x 1≠x 2，y 1≠y 2时由直线方程的两点式知选项B 正确，当x 1＝x 2，y 1≠y 2时直线方程为x －x 1＝0，即(x －x 1)(y 2－y 1)＝(y －y 1)(x 2－x 1)，同理x 1≠x 2，y 1＝y 2时也可用此方程表示．故选B.[★答案☆] B2．如图所示，直线l 的截距式方程是x a ＋y b ＝1，则有( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0[解析] 很明显M (a,0)、N (0，b )，由图知M 在x 轴正半轴上，N 在y 轴负半轴上，则a >0，b <0.[★答案☆] B3．直线3x －2y －4＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是( ) A.34，－12B.13，12C.34，－2D.43，－2[解析] 将3x －2y －4＝0化成截距式为x 43＋y －2＝1，故该直线在x 轴、y 轴上的截距分别是43，－2.[★答案☆] D4．如果直线l 过(－1，－1)、(2,5)两点，点(1009，b )在直线l 上，那么b 的值为( )A ．2016B ．2017C ．2018D ．2019[解析] 根据三点共线，得5－(－1)2－(－1)＝b －51009－2，得b ＝2019. [★答案☆] D分类讨论思想每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想．【示例】 直线l 与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2，两截距之差为3，求直线l 的方程．[思路分析] 已知条件中给出了截距间的关系，可设截距分别为a 、b ，列出⎩⎨⎧ 12ab ＝2|a －b |＝3，去掉绝对值，求出a 、b 的值，从而求得直线方程． [解] 设直线l 在x 轴，y 轴上的截距分别为a 、b (a >0，b >0)，则由已知可得⎩⎨⎧ 12ab ＝2， |a －b |＝3①当a ≥b 时，①可化为⎩⎨⎧ 12ab ＝2，a －b ＝3解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－4(舍去)．当a <b 时，①可化为⎩⎨⎧ 12ab ＝2，b －a ＝3解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－1(舍去)． 所以，直线l 的截距式方程为x 4＋y ＝1或x ＋y 4＝1.[题后反思] 利用截距求面积(1)截距式方程是两点式的一种特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点)，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长时较方便．(2)从题意看，本题只告诉了截距之间的关系，因此解题时，设出了直线的截距式，由于不知截距的大小，因此，需要进行分类讨论．[针对训练] 已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，若直线过定点A (－3,4)，求直线l 的方程．[解] 由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程是y ＝k (x＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，则12|3k ＋4||－4k －3|＝3，显然k >0时不成立．解得k 1＝－23，k 2＝－83. 所以直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.课后作业(十九)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为( )A ．y ＝x ＋3B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝x ＋2D ．y ＝－x －2[解析] 由两点式方程可得，y －14－1＝x ＋21＋2，即y ＝x ＋3. 选A.[★答案☆] A2．直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( )A ．－2B ．2C ．－3D ．3[解析] 由已知得m 2－4≠0，且2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，解得m ＝3或m ＝2(舍去)． [★答案☆] D3．已知直线ax ＋by －1＝0在y 轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线3x －y －3＝0的倾斜角的2倍，则a ，b 的值分别为( )A ．－3，－1 B.3，－1 C ．－3，1D.3，1[解析] 原方程化为x 1a ＋y1b ＝1，∴1b ＝－1，∴b ＝－1.又∵ax ＋by －1＝0的斜率k ＝－ab ＝a ， 且3x －y －3＝0的倾斜角为60°， ∴k ＝tan120°＝－3，∴a ＝－3，故选A. [★答案☆] A4．若直线l 的横截距与纵截距都是负数，则( ) A ．l 的倾斜角为锐角且不过第二象限 B ．l 的倾斜角为钝角且不过第一象限 C ．l 的倾斜角为锐角且不过第四象限 D ．l 的倾斜角为钝角且不过第三象限[解析] 依题意知，直线l 的截距式方程为x －a ＋y－b ＝1(a >0，b >0)，显然直线l 只能过第二、三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选B.[★答案☆] B5．直线y ＝mx －3m ＋2(m ∈R )必过定点( ) A ．(3,2) B ．(－3,2) C ．(－3，－2) D ．(3，－2)[解析] 由y ＝mx －3m ＋2，得y －2＝m (x －3)，所以直线必过点(3,2)．[★答案☆] A6．已知直线x a ＋y6＝1与坐标轴围成的图形面积为6，则a 的值为________．[解析] 由x a ＋y 6＝1知S ＝12|a |·|6|＝6， 所以a ＝±2. [★答案☆] ±27．过点P (3，－1)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程是__________________．[解析] 设直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，当a ＝0时，b ＝0，此时直线l 的方程为y x ＝－13，所以x ＋3y ＝0；当a ≠0时，a ＝2b ，此时直线l 的方程为x 2b ＋yb ＝1，代入(3，－1)得x ＋2y －1＝0.[★答案☆] x ＋2y －1＝0或x ＋3y ＝08．已知直线(a ＋2)x ＋(a 2－2a －3)y －2a ＝0在x 轴上的截距为3，则该直线在y 轴上的截距为________．[解析] 把(3,0)代入已知方程得：(a ＋2)×3－2a ＝0，∴a ＝－6. ∴直线方程为－4x ＋45y ＋12＝0，令x ＝0，得y ＝－415. [★答案☆] －4159.三角形的三个顶点分别是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，如右图所示，求这个三角形三边所在直线的方程．[解] AB 边所在直线的方程，由两点式得y －0－3－0＝x －(－5)3－(－5)，即3x ＋8y ＋15＝0；BC 边所在直线的方程，由斜截式得y ＝2－(－3)0－3x ＋2，即5x ＋3y －6＝0；AC 边所在直线的方程，由截距式得x －5＋y2＝1，即2x －5y ＋10＝0.10．求满足下列条件的直线方程．(1)经过点A (－1，－3)，且斜率等于直线3x ＋8y －1＝0斜率的2倍；(2)过点M (0,4)，且与两坐标轴围成的三角形的周长为12. [解] (1)因为3x ＋8y －1＝0可化为y ＝－38x ＋18， 所以直线3x ＋8y －1＝0的斜率为－38，则所求直线的斜率k ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－38＝－34.又直线经过点(－1，－3)，因此所求直线的方程为y ＋3＝－34(x ＋1)， 即3x ＋4y ＋15＝0.(2)设直线与x 轴的交点为(a,0)，因为点M (0,4)在y 轴上，所以由题意有4＋a 2＋42＋|a |＝12，解得a ＝±3，所以所求直线的方程为x 3＋y 4＝1或x －3＋y4＝1，即4x ＋3y －12＝0或4x －3y ＋12＝0.应试能力等级练(时间25分钟)11．已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限 [解析] 由ax ＋by ＝c ，得y ＝－a b x ＋cb ， ∵ab <0，bc <0，∴直线的斜率k ＝－ab >0， 直线在y 轴上的截距cb <0.由此可知直线通过第一、三、四象限． [★答案☆] C12．已知A (3,0)、B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________．[解析] 直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，∴y ＝4－4x3， ∴xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－43x ＝4x －43x 2＝－43(x 2－3x ) ＝－43⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－94＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋3，∴当x ＝32时，xy 取最大值3. [★答案☆] 313．直线y ＝12x ＋k 与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1，那么k 的取值范围是________．[解析] 由已知得k ≠0，令x ＝0，y ＝k ，令y ＝0，x ＝－2k ， 则与两坐标轴围成的面积12|k |·|－2k |≤1， 即k 2≤1， 所以－1≤k ≤1.综上，k 的取值范围是[－1,0)∪(0,1]． [★答案☆] [－1,0)∪(0,1]14．求经过点A (－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程．[解] 设直线在x 轴、y 轴上的截距分别是a ，b ， 则有S ＝12|a ·b |＝1，∴ab ＝±2.又直线的方程是x a ＋yb ＝1，∵直线过点(－2,2)，代入直线方程得－2a ＋2b ＝1， 即b ＝2aa ＋2，∴ab ＝2a 2a ＋2＝±2.当2a 2a ＋2＝－2时，化简得a 2＋a ＋2＝0，方程无解；当2a 2a ＋2＝2时，化简得a 2－a －2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2.b ＝1.∴直线方程是x －1＋y －2＝1或x 2＋y1＝1，即2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.15．直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线分别满足下列条件：(1)△AOB 的周长为12； (2)△AOB 的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． [解] (1)存在．设直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)， 由题意可知a ＋b ＋a 2＋b 2＝12.①又因为直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2，所以43a ＋2b ＝1，②由①②可得5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝125，b ＝92.所以所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或5x 12＋2y9＝1， 即3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0. (2)存在．设直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，由题意可知⎩⎨⎧ab ＝12，43a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6.所以所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或x 2＋y6＝1， 即3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0.。
新教材2023版高中数学第一章 1.3直线的方程第2课时直线方程的两点式课件北师大版选择性必修第一册
方法归纳
求直线的两点式方程的策略以及注意点 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足 两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴．若满足，则考 虑用两点式求方程．
跟踪训练1 (1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2，7)，则直线l的方程 为________．
答案：x＝2
解析：由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线 方程为x＝2.
易错辨析 忽视截距为零引发的错误 例3 求过点M(3，2)，且在x、y轴上的截距相等的直线方程．
解析：当在x、y轴上的截距均为零时， 所当求在直x、线y轴的上方的程截为距：均y＝不23x为. 零时，可设直线的方程为xa + ya＝1， 把点M(3，2)代入得：a＝5，故所求的直线方程为x＋y－5＝0. 综上知所求直线的方程为y＝23x或x＋y－5＝0.
适用范
围相同．( × )
(3)截距相等的直线都可以用方程xa + ya＝1表示．( × )
(4)不经过原点的直线都可以用xa + by＝1表示．( × )
2．过点A(3，2)，B(4，3)的直线方程是( ) A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0
答案：D 解析：由直线的两点式方程，得y3−−22＝4x−−33，化简：得x－y－1＝0.故选D.
4．[多选题]下列命题中错误的是( ) AB．．不经经过过定原点点P0(的x0直，线y0)都直可线以都用可方以程用xa方+程by＝y－1表y0＝示k(x－x0) C．过任意不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－ y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1) D．经过A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示
2.1.2.2直线方程的两点式和一般式2(北师大版)
化为一般式方程为 2x+y-3=0.
-3
-1
(2)由截距式方程可得,所求直线方程为 + =1,
化为一般式方程为 x+3y+3=0.
4
5
是截距为 0 时的相等,而后者常常被忽视,导致漏解.
题型一
题型二
题型三
题型四
正解:①当横纵截距均为 0 时,直线 l 过点(0,0),(2,3),
3-0
3
∵直线 l 的斜率 k=2-0 = 2,
3
∴直线 l 的方程为 y=2x,即 3x-2y=0.
②当横纵截距均不为 0 时,可设直线 l 的方程为
4
5
2.下列说法正确的是(
)
1
2
3
4
5
-1
A.方程- =k 表示过点 P 1 (x1 ,y1 )且斜率为 k 的直线方程
1
B.直线 y=kx+b 与 y 轴交于一点 B(0,b),其中 b=|OB|
C.在 x 轴、y 轴上截距分别为
a,b 的直线方程为
+ =1
D.方程(x2 -x1 )(y-y1 )=(y2 -y1 )(x-x1 )表示过任意不同的两点
解析:令y=0,则x=-6,即直线在x轴上的截距是-6.
答案:-6
.
2
3
4
5
1
2
3
5.根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程.
(1)经过A(-1,5),B(2,-1)两点;
(2)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1.
解:(1)由两点式方程可知,
-5
+1
所求直线方程为
课件1：2.2.2 第2课时 直线的两点式方程~2.2.2 第3课时 直线的一般式方程
,
典例解析
例1 已知A(-3,2),B(5,-4),C(0,-2),在△ABC中,
(1)求BC边所在的直线方程;
(2)求BC边上的中线所在直线的方程.
解:(1)BC 边过两点 B(5,-4),C(0,-2),
由两点式,得
-(-4)
-2-(-4)
=
-5
0-5
,即 2x+5y+10=0,
故 BC 边所在的直线方程为 2x+5y+10=0.
(4)当A=0,B≠0,C=0时,直线与x轴重合;
(5)当A≠0,B=0,C=0时,直线与y轴重合.
跟踪训练
跟踪训练3 (1)根据下列各条件写出直线的方程,并化成一般式.
1
①斜率是- 2 ,且经过点A(8,-6)的直线方程为
;
3
2
②在x轴和y轴上的截距分别是 和-3的直线方程为
③经过点P1(3,-2),P2(5,-4)的直线方程为
答案:①x+2y+4=0 ②2x-y-3=0 ③x+y-1=0
.
;
(2)直线l:3x-4y+5=0关于直线x+y=0对称的直线l'的方程为(
A.4x-3y+5=0
B.4x-3y-5=0
C.3x+4y-5=0
D.3x+4y+5=0
解析:在直线l'上任取一点(x,y),此点关于直线x+y=0的对称点
(-y,-x)在直线l:3x-4y+5=0上,∴3(-y)-4(-x)+5=0,即4x-3y+5=0,
,∴
2-6
2 -2-355 Nhomakorabea3
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探究点一 直线方程的两点式和截距式
(1)直线 l 过点 A(－1，－1)和 B(2，5)，且点 C(1 008，
b)为直线 l 上一点，则 b 的值为( )
A．2 015
B．2 016
C．2 017
D．2 018
(2)已知直线 l 经过点(3，－2)，且在两坐标轴上的截距相等，
求直 解析几何初步
第2课时 直线方程的两点式和一般式
1．问题导航 (1)直线方程的两点式不能表示哪些直线？ (2)两点式方程与两点顺序有关吗？ (3)直线方程的一般式，在什么情况下表示与 x 轴平行的直线？ 在什么情况下表示与 y 轴平行的直线？ 2．例题导读 P67 例 5.通过本例学习，学会利用两点式求直线方程的方法．
3.(1) 已知两条直线的方程分别为 l1：x＋ay＋b ＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则 () A．b>0，d<0，a<c B．b>0，d<0，a>c C．b<0，d>0，a>c D．b<0，d>0，a<c
规范解答 直线方程的实际应用 (本题满分 12 分)某小区内有一块荒地 ABCDE，今欲在 该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)，进行开发(如图所 示)，问如何设计才能使开发的面积最大？最大面积是多少？(已 知 BC＝210 m，CD＝240 m，DE＝300 m，EA＝180 m，∠C＝ ∠D＝∠E＝90°)