第九章能量法与超静定结构-课件

轴向拉伸时外力做功
W
1 2
FN
l
扭转时外力做功 弯曲时外力做功
W 1 T
f
2
F
W 1 M
2
统一表示为
W 1 F 2
广义力
广义位移
2 能（应变能或变形能）
根据能量守恒定律。贮存在物体中的应变能V
体变形过程中所做的功W。
等于外力在物
V W Fdu
AB
应变能密度：单位体积内积蓄的应变能
W
1d
由非线性弹性材料的应力应变关系曲线可得
n
K
余能密度为 v c0 1d0 1 K n d K n 1 n 1 2 A c F 1o n s 1
由于轴向拉伸杆内各点应变状态均相同，因此，结构在荷载作用下的余能为
V cvc2A l2A nK lnn1 cF o 1 sn1
所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个约束,这些约束对于特定的 工程要求是必要的,但对于保证结构平衡却是多余的,故称为多余约束.
未知力个数与平衡方程数之差,称为超静定次数或静不定次数.
求解超静定问题,需要综合考察结构的平衡,变形协调和物理三个方面.
一铰接结构如图示,在水平刚性横梁的B端作用有载荷F 垂直杆1,2的抗拉压刚度分别为E1A1,E2A2,若横梁AB的 自重不计,求两杆中的内力.
MA 0
F N 1 a F N 22 a F 2 a 0
1
L1
2
变形协调方程
A
C
B
2L1L2
a
aF
FN1
FN 2
A
B
C L1
L2
a
aF
2 FN1L FN2L E1A1 E2A2
FN1
2F
14E2A2
E1A1
FN2
4F 4E1A1 E2A2
试计算图示结构在荷载 F作用下的余能，结构中两斜杆的长度均
di
由于 dWdV
Fi
V i
卡氏第一定理 应变能对于构件上某一 位移之变化率，就等于 与该位移相应的荷载。
四 余功、余能及卡氏第二定理
Wc
F1 dF
0
与余功相应的能称为余能
Vc V vcdV
vc
1 d
0
Vc
Wc
F1 dF
0
与外力功
W
1 0
Fd之和等于矩形面积 F1 1
线弹性范围内外力功等
0
v
若微元各边分别为 dx,dy,dz dV vdxdydz
FN
V Vvdxdydz
若整个体积内Im vNa相og同e V v V
三
卡氏第一定理
F1
F2
F3
Fn
A
B
1
2
3
n
n
V W
i
0
fid
i
i1
V 为最后位移 i 的函数
由于 i 改变了d i，外力功相应改变量为
dWFidi
dV
V i
由于轴向拉伸杆内各点应变状态均相同，因此，结构在荷载作用下的余能为
V cK nA n1 l 2 2c F o X sA nco sX A n 1
D
Vc X
0
END
在线弹性范围内 Vc V
i
V Fi
卡氏第二定理
线弹性范围内，杆件 的应变能对于杆件上 某一荷载的变化率， 就等于与该荷载相应 的位移。
试计算图示结构在荷载 F1Hale Waihona Puke Baidu作用下C点的竖向位移，结构中两杆的
长度均为 l，横截面面积均为A材料在单轴拉伸时的应力—应变曲 线如图所示。
B
D
K1nn1 1
C
F1
解：由结点C的平衡方程，可得两杆的轴力为
FN
F1
2cos
o
1
于是两杆横截面上的应力为
1
FN A
F1
2Acos
由非线性弹性材料的应力应变关系曲线可得
n
K
余能密度为 v c0 1d0 1 K n d K n 1 n 1 2 A c F 1o n s 1
由于轴向拉伸杆内各点应变状态均相同，因此，结构在荷载作用下的余能为
F
F
于余功，能等于余能。
F1
F1
o
1
o
1
试计算图示结构在荷载 F1 作用下的余能，结构中两杆的 长度均为 l，横截面面积均为A材料在单轴拉伸时的应力
—应变曲线如图所示。
B
D
1
K1nn1
C
F1
解：由结点C的平衡方程，可得两杆的轴力为
FN
F1
2cos
o
1
于是两杆横截面上的应力为
1
FN A
F1
2Acos
例
为 l，横截面面积均为A材料在单轴拉伸时的应力—应变曲线如图
所示。求各杆内力。
B
D
C
K1nn1
1
B
X
D
C
A
A
F
o
1
F
解：由结点C的平衡方程，得两斜杆轴力为
FN1
FN2
FX
2cos
于是两杆横截面上的应力为 12FA N2AcF1os
由非线性弹性材料的应力应变关系曲线可得
n
K
余能密度为 v c0 1d0 1 K n d K n 1 n 1 2 F A c X o n s 1
此处加标题
第九章能量法与超静定结构
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§9.1 概述
能量法: 固体力学中，把一个和功、能的概念 有关的理论和方法 统称为能量法
§9.2 应变能 余能
1 功:
力作用于物体，力在其作用方向上发生位移，则该
力对物体做了功
W Fdu
AB
恒力功:
F
WFP1
变形功: W 1 Fd
F
0
FP
1
在线弹性范围内
V cvc2A l2A nK lnn1 cF o 1 sn1
i
Vc Fi
五 能量法解超静定
1.简单超静定问题及其解法
q
未知力个数等于独立的平衡方程数目,则仅
由平衡方程即可解出全部未知力,这类问题称 A
B
为静定问题,相应的结构称为静定结构.
l
未知力个数多于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程无法确定全部未知力,这 类问题称为超静定问题或静不定问题,相应的结构称为超静定结构或静不定结构.
§9.3 卡氏第二定理
F1
F2
F3
Fn
A
B
1
2
3
n
n Fi
Vc Wc 0 idfi 表明余能为一系列荷载 F i 的函数 i1
由于 F i 改变了 dF i，外力余功相应改变量为
dWc idFi
dVc
Vc Fi
dFi
dVc dWc
i
Vc Fi
余能定理
杆件的余能对于杆 件上某一荷载的变 化率就等于与该荷 载相应的位移。