含参不等式的解法

？
问题探究
2、解关于x的不等式(x-1)(x-a)<0
不等式的解集 a>1时为(1,a); a=1时为Φ; a<1时为(a,1).
分类讨论是解 决含参数的不 等式的金钥匙
例题选讲
变式：已知关于x的不等式(a b) x (2a 3b) 0 例题1 1 的解集为(, )，求关于x的不等式 3 (a 3b) x (b 2a) 0的解. 答案(-∞,-3)
解得:
a 12, b 2.
仙居外语学校 执教：程小香
学习目标
掌握简单的含参不等式的解法
练习1、 直接写出下列不等式的解集 (1)、(x+2)(4-x)>0
复习巩固
(-2,4)
(2)、-(x+1)(x-5)<0 (-∞,-1)∪(5,+∞) (3)、(2x-4)(x2+1)>0
(2,+∞)
小 结
设方程ax2+bx+c=0(a>0)有两个 不等的实根x1,x2 ,不妨设x1< x2
※则不等式ax2+bx+c>0的解集为
(-∞,x1)∪(x2,+∞)
※不等式ax2+bx+c<0的解集为 (x1,x2) 口诀：大外小内 (注意：二次项系数为正)
练习2
引入新课
若不等式ax2+bx+c>0的解 集为(-2,1),则下列判断正确的是((3)(4)) (1)a>0; (2)c=-2; (3)c=-2a; (4)a=b
2
对一切 x R 恒成立，则a的取值范围。
答案:(-2,2]
练习7.不等式 (a2 4) x2 (a 2) x 1 0 的解为空集，求a的取值范围。
6 答案:[-2, ) 5
谢谢大家！
备用例题
例7.当m取什么实数时,方程 例题4
4 x (m 2) x (m 5) 0
解：不等式等价于(x-a)(x-a2)<0 ∵ a a 2 a(1 a) 比较a与a2的大小 当a>1或a<0时，a(1-a)<0,a<a2 当0<a<1时,a(1-a)>0,a>a2 写出解集 当a=1或a=0时，a(1-a)=0,a=a2=0 ∴不等式的解集， a=0或a=1时为Φ 当a>1或a<0时为(a,a2);当0<a<1时为(a2,a)
练习4
已知关于x的不等式 求 ax bx c 0
2Baidu Nhomakorabea
同步训练
ax bx c 0
2
1 的解集是{x︱x＜-2或x＞ 2 }
1 的解集。 ( 2 ,2)
分析:依题意可得a<0,且 c 1 b 1 5 (2) ( ) 1, (2) ( ) a 2 a 2 2
练习5
同步训练
解关于x的不等式：x2-ax-6a2>0 提示1：不等式等价于(x-3a)(x+2a)>0
提示2：分a>0,a=0,a<0讨论
答案：不等式的解集
a>0时为 (,2a) (3a,) a=0时为{x|x≠0} a<0时为 (,3a) (2a,)
同步训练
练习6 不等式 (a 2) x 2(a 2) x 4 0
例题3 变式2.若函数
2
f ( x) kx 6kx ( k 8) 的定义 域为R,求实数k的取值范围. 解:要使函数f(x)有意义,则必有
2
kx 6kx (k 8) 0
因为函数f(x)的定义域为R,所以 2 kx 6kx (k 8) 0 对一切 x R 恒成立. ①当k=0,不等式8≥0对一切 x R 恒成立.
这两个不等式都是含参数的不等式 其中，a、m为参数
如何解含参数的不等式
？ 1、解关于x的不等式mx>1
问题探究
综上知，不等式的解集 1 m>0时为 ( m ,) m=0时为Φ 1 m<0时为 (, m ) 错误的表示法： 1 1 (, ) ( ,) 不等式的解集 m m
如何解含参数的不等式
分析：若a>0，则不等式的解集形 如(-∞,x1)∪(x2,+∞)，所以(1)错 依题意知，-2,1是方程ax2+bx+c=0 的两根，所以由一元二次方程根与 系数的关系可得 c=-2a,a=b
练习3
引入新课
判断下列命题是否正确： (1)关于x的不等式mx>1 1 的解集为 ( m ,) ( 错 ) (2)关于x的不等式(x-1)(x-a)<0 的解集为(1,a). ( 错 )
2
分别有:①两个正根; ②一正根和一负根.
说明:这类题要充分利用判别式和韦达定理.
备用练习
1.若方程 x (k 2) x 4 0 有两负根,求k的
2
取值范围. 2.已知 A {x | x 2 x 6 0}, B {x | x 2 2 x 8 0},
C {x | x 2 4ax 3a 2 0}, 若 A B C ,求实数a
1 分析:(1) 3是方程(a+b)x+(2a-3b)=0的根.
可解得a=2b， 代入原不等式得 -bx-3b>0 (2)a+b>0; 由(1)(2)可得a=2b>0
所以 -x-3>0,即x<-3 这个解法是错误的
例题2 解关于x的不等式
x a(a 1) x a 0
2 3
例题选讲 分解因式
2
②当k≠0时,不等式 kx 6kx (k 8) 0对一切 x R 恒成立,则必有
(6k )2 4k (k 8) 0
解得:0<k≤1 综上所述: 0 ≤ k≤1
k>0
小结
解决含参数的不等式问题要注 意的几种思想方法的应用 1、分类讨论的思想方法
2、数形结合的思想方法 3、等价转化的思想方法
的取值范围.
备用练习
3.不等式 ax bx 2 0 的解集为 1 1 {x | x }, 求 a, b. 2 3 1 1 , 是方程 ax2 bx 2 0 解:由题意可得, 2 3
2
的两个根,且a<0.
1 1 b 2 3 a 1 1 2 2 3 a