连续系统振动分析
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Mt
p( x, t )
p( x, t )
0
x
dx
x
微段 dx 受力
pdx
Mt M t dx x
：单位长度杆上分布的外力偶矩
假定振动过程中各横截面仍保持为平面
( x, t ) 为杆上距离原点 x 处的截面在时刻
t 的角位移
2 J p dx 2 t
达朗贝尔 惯性力偶
截面处的扭矩为 M t
杆的纵向强迫振动方程 等直杆EA 为常数
2018年9月a 21日
《振动力学》
2 2u 1 2 u a p ( x, t ) 2 2 t x A
E/
弹性纵波沿杆的纵向传播速度
11
连续系统的振动 / 一维波动方程
小结：
（1）杆的纵向振动
（2）弦的横向振动 （3）轴的扭转振动
(t ) 2T (t ) 0 T 2 U ( x) ( ) U ( x) 0 a
U ( x) B1 sin
通解：
T (t ) b sin(t )
x
a
B2 cos
x
a
B1 , B2 , 由杆的边界条件确定
（杆的边界条件确定固有频率）
T0
单位长度弦的质量
T0
p( x, t ) 单位长度弦上分布的作用力
建立坐标系
pdx
dx x
xoy
y( x, t ) 弦上距原点 x 处的横截面在 t 时刻的横向位移
2 y dx 2 t
2 y dx T ( dx) T0 p( x, t )dx 达朗贝尔原理： 0 2 t x
2 2u 1 2 u a p ( x, t ) 2 2 t x A
2 2 y 1 2 y a p ( x, t ) 2 2 t x
2 2 1 2 a p ( x, t ) t 2 x 2 J p
虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微分 方程是类同的，都属于一维波动方程
2018年9月21日 《振动力学》
EAU U dx AU U dx
0 i j 2 i 0 i j
l
l
20
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
0
x
u ( x, t )
x
dx
l
N EA EA
杆上距原点 x 处截面在 时刻 t 的纵向位移
横截面上的内力： 达朗贝尔原理：
u x 2u N Adx 2 ( N dx) N p( x, t )dx t x
2u u A 2 ( EA ) p( x, t ) t x x
乘 U j ( x) 并沿杆长对 x 积分：
l
U
j
( EAU i)dx
l
2 i
AU U dx
0 i j
l
l U ( EA U ) dx U ( EA U ) 利用分部积分： 0 j i j i 0 EA U iU j dx 0
杆的任一端上总有 U 0 或者 U 0 成立
2u u A 2 ( EA ) p( x, t ) t x x
自由振动：
主振动 ： 代入，得 ：
2018年9月21日 《振动力学》
2u u A 2 ( EA ) t x x
u( x, t ) U ( x)b sin(t )
( EAU ) 2 AU
i 1
2018年9月21日 《振动力学》 15
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
几种常见边界条件下的固有频率和模态函数
（1）两端固定 特征：两端位移为零 边界条件： u (0, t ) U (0)T (t ) 0
T (t ) 不能恒为零
U ( 0) 0
B2 0
0 l
x
u(l , t ) U (l )T (t ) 0
令： a T0 /
2018年9月21日 《振动力学》
达朗贝尔 惯性力
y 并考虑到： x
2 2 y 1 2 y a p ( x, t ) 2 2 t x
a 弹性横波的纵向传播速度
弦的横向强迫振动方程
6
连续系统的振动 / 一维波动方程
（2）轴的扭转振动
细长圆截面等直杆在分布 扭矩作用下作扭转振动 杆参数：截面的极惯性矩 Jp 材料密度 切变模量 G
B2 0
频率方程
cos
l 0 a
固有频率： i (
模态函数： U i ( x) Bi sin(
i a 2i 1 a , i 1,3,5,... ) , i 1,2,... 或： i 2 l 2 l 2i 1
2 l x), i 1,2,...
i U i ( x) Bi sin( x), i 1,3,5,... 2l
• 固有频率和模态函数
• 主振型的正交性 • 杆的纵向强迫振动
2018年9月21日 《振动力学》
5
连续系统的振动 / 一维波动方程
（1）弦的横向振动
弦的定义: 很细长
y
y( x, t )
T0
o
p( x, t )
T0
弦两端固定，以张力 T0 拉紧
在分布力作用下作横向振动
x
dx
x
微段受力情况
dx
振动中认为张力不变 微振 sin
p( x, t )
x
dx
x
微段 dx 受力
pdx
Mt
M t Mt dx x
圆截面杆的扭转振动强迫振动方程 等直杆，抗扭转刚度 GJp 为常数
2 2 1 2 a p ( x, t ) 2 2 t年9月21日 x Jp 2018
2 J p dx 2 t
a
G
19
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
( EAU ) 2 AU
杆的简单边界 ： 设：
固定端 U ( x) 0
x=0或l
自由端 EAU ( x) 0
x=0或l
i
Ui ( x)
j
U j ( x)
代入：
( EAUi) i2 AUi
l 0
( EAU j ) 2 j AU j
单位长度杆上分布的纵向作用力
9
连续系统的振动 / 一维波动方程
dx
微段分析
p( x, t )
0
u
x x
dx
l
N
u dx x
u
p( x, t )dx
N N dx x
u ( x, t )
杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移
(u u dx) u u x dx x
2018年9月21日 《振动力学》
U ( x) B1 sin
x
a
B2 cos
x
a
u ( x, t ) U ( x)T (t )
18
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
主振型的正交性
只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性
杆可以是变截面或匀截面的 即质量密度 及截面积 A 等都可以是 x 的函数 杆的动力方程 ：
u x
2u Adx 2 x
微段应变：
横截面上内力：
达朗贝尔惯性力
N EA EA
达朗贝尔原理：
2018年9月21日 《振动力学》
2u N Adx 2 ( N dx) N p( x, t )dx t x
10
连续系统的振动 / 一维波动方程
p( x, t )
2018年9月21日 《振动力学》 2
教学内容
• 一维波动方程 • 梁的弯曲振动
2018年9月21日 《振动力学》
3
假设条件
（1）线性弹性体，即虎克定律 （2）材料均匀连续；各向同性 （3）振动满足微振动的前提
2018年9月21日 《振动力学》
4
连续系统的振动 / 一维波动方程
一维波动方程 • 动力学方程
ix (i 0,1,2, ) l 频率方程和固有频率两端固定杆的情况相同
x
a
i
ia , l
U ' (l ) 0 l sin 0 频率方程 a a
(i 0,1,2, )
零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移
2018年9月21日 《振动力学》
U ( x) B1 sin
U ( x) B1 sin
一一对应
T (t ) b sin(t )
x
a
B2 cos
x
a
i
第 i 阶主振动：
Ui ( x)
u (i ) ( x, t ) biU i ( x) sin(it i ),
系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：
(i 1,2)
u ( x, t ) bi U i sin(i t i )
U ( x) B1 sin
x
a
B2 cos
x
a
16
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
（2）两端自由 特征：自由端的轴向力为零
u (0, t ) 边界条件 ： EA 0 x U ' ( 0) 0
B1 0
0 l
x
Байду номын сангаас
u (l , t ) EA 0 x
固有频率：
模态函数： U i ( x ) Bi cos
B2 cos
x
a
u ( x, t ) U ( x)T (t )
17
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
（3）一端固定，一端自由 特征：固定端位移为零 自由端轴向力为零
0
x
l
边界条件 ：
U ( 0) 0
u (0, t ) 0
U ' (l ) 0
u (l , t ) EA 0 x
剪切弹性波的 纵向传播速度
《振动力学》
8
连续系统的振动 / 一维波动方程
（3）杆的纵向振动
讨论等截面细直杆的纵向振动 杆参数： 杆长 l 材料密度 截面积 A 弹性模量 E
0
p( x, t )
x
l
假定振动过程中各横截面仍保持为平面 忽略由纵向振动引起的横向变形
p( x, t )
2018年9月21日 《振动力学》
T(t) 表示运动规律的时间函数
U ( x) 杆上距原点 x 处的截面的纵向振动振幅
2018年9月21日 《振动力学》
(t ) ( x) T 2 U a T (t ) U ( x)
13
连续系统的振动 / 杆的纵向振动 记：
2
(t ) T U ( x) a2 T (t ) U ( x)
第六章 连续系统的振动
－实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量与 弹性，因而又称连续系统或分布参数系统
－确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此连 续体是具有无限多自由度的系统
－连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动 方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组， 它是偏微分方程 －在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差别 ，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系统 是完全类似的
代入模态函数
sin
U (l ) 0 l
a
0
频率方程
由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去
2018年9月21日 《振动力学》
ia , (i 0,1,2, ) 无穷多个固有频率： i l i x 模态函数 ： (i 0,1,2, ) U i ( x ) Bi sin l
（确定杆纵向振动的形态，称为模态 ）
与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数 ，表示各坐标振幅的相对比值
由频率方程确定的固有频率 有无穷多个 i
2018年9月21日 《振动力学》
（下面讲述）
14
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
2 2u 2 u a 2 t x 2
u ( x, t ) U ( x)T (t )
2018年9月21日 《振动力学》
J p dx ：微段绕轴线的转动惯量
7
连续系统的振动 / 一维波动方程
达朗贝尔原理： M t 2 J p dx 2 ( M t dx) M t pdx 0
t x 2 M t J p 2 p ( x, t ) t x 材料力学： M t GJ p x 2 J p 2 (GJ p ) p ( x, t ) t x x
2018年9月21日 《振动力学》 12
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
6.2 杆的纵向固有振动
以等直杆的纵向振动为对象
p( x, t )
0 l
a E/
x
方程：
2 2u 1 2 u a p ( x, t ) t 2 x 2 A
2 2u 2 u a 纵向自由振动方程： 2 t x 2 u ( x, t ) U ( x)T (t ) 假设杆的各点作同步运动：
p( x, t )
p( x, t )
0
x
dx
x
微段 dx 受力
pdx
Mt M t dx x
：单位长度杆上分布的外力偶矩
假定振动过程中各横截面仍保持为平面
( x, t ) 为杆上距离原点 x 处的截面在时刻
t 的角位移
2 J p dx 2 t
达朗贝尔 惯性力偶
截面处的扭矩为 M t
杆的纵向强迫振动方程 等直杆EA 为常数
2018年9月a 21日
《振动力学》
2 2u 1 2 u a p ( x, t ) 2 2 t x A
E/
弹性纵波沿杆的纵向传播速度
11
连续系统的振动 / 一维波动方程
小结：
（1）杆的纵向振动
（2）弦的横向振动 （3）轴的扭转振动
(t ) 2T (t ) 0 T 2 U ( x) ( ) U ( x) 0 a
U ( x) B1 sin
通解：
T (t ) b sin(t )
x
a
B2 cos
x
a
B1 , B2 , 由杆的边界条件确定
（杆的边界条件确定固有频率）
T0
单位长度弦的质量
T0
p( x, t ) 单位长度弦上分布的作用力
建立坐标系
pdx
dx x
xoy
y( x, t ) 弦上距原点 x 处的横截面在 t 时刻的横向位移
2 y dx 2 t
2 y dx T ( dx) T0 p( x, t )dx 达朗贝尔原理： 0 2 t x
2 2u 1 2 u a p ( x, t ) 2 2 t x A
2 2 y 1 2 y a p ( x, t ) 2 2 t x
2 2 1 2 a p ( x, t ) t 2 x 2 J p
虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微分 方程是类同的，都属于一维波动方程
2018年9月21日 《振动力学》
EAU U dx AU U dx
0 i j 2 i 0 i j
l
l
20
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
0
x
u ( x, t )
x
dx
l
N EA EA
杆上距原点 x 处截面在 时刻 t 的纵向位移
横截面上的内力： 达朗贝尔原理：
u x 2u N Adx 2 ( N dx) N p( x, t )dx t x
2u u A 2 ( EA ) p( x, t ) t x x
乘 U j ( x) 并沿杆长对 x 积分：
l
U
j
( EAU i)dx
l
2 i
AU U dx
0 i j
l
l U ( EA U ) dx U ( EA U ) 利用分部积分： 0 j i j i 0 EA U iU j dx 0
杆的任一端上总有 U 0 或者 U 0 成立
2u u A 2 ( EA ) p( x, t ) t x x
自由振动：
主振动 ： 代入，得 ：
2018年9月21日 《振动力学》
2u u A 2 ( EA ) t x x
u( x, t ) U ( x)b sin(t )
( EAU ) 2 AU
i 1
2018年9月21日 《振动力学》 15
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
几种常见边界条件下的固有频率和模态函数
（1）两端固定 特征：两端位移为零 边界条件： u (0, t ) U (0)T (t ) 0
T (t ) 不能恒为零
U ( 0) 0
B2 0
0 l
x
u(l , t ) U (l )T (t ) 0
令： a T0 /
2018年9月21日 《振动力学》
达朗贝尔 惯性力
y 并考虑到： x
2 2 y 1 2 y a p ( x, t ) 2 2 t x
a 弹性横波的纵向传播速度
弦的横向强迫振动方程
6
连续系统的振动 / 一维波动方程
（2）轴的扭转振动
细长圆截面等直杆在分布 扭矩作用下作扭转振动 杆参数：截面的极惯性矩 Jp 材料密度 切变模量 G
B2 0
频率方程
cos
l 0 a
固有频率： i (
模态函数： U i ( x) Bi sin(
i a 2i 1 a , i 1,3,5,... ) , i 1,2,... 或： i 2 l 2 l 2i 1
2 l x), i 1,2,...
i U i ( x) Bi sin( x), i 1,3,5,... 2l
• 固有频率和模态函数
• 主振型的正交性 • 杆的纵向强迫振动
2018年9月21日 《振动力学》
5
连续系统的振动 / 一维波动方程
（1）弦的横向振动
弦的定义: 很细长
y
y( x, t )
T0
o
p( x, t )
T0
弦两端固定，以张力 T0 拉紧
在分布力作用下作横向振动
x
dx
x
微段受力情况
dx
振动中认为张力不变 微振 sin
p( x, t )
x
dx
x
微段 dx 受力
pdx
Mt
M t Mt dx x
圆截面杆的扭转振动强迫振动方程 等直杆，抗扭转刚度 GJp 为常数
2 2 1 2 a p ( x, t ) 2 2 t年9月21日 x Jp 2018
2 J p dx 2 t
a
G
19
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
( EAU ) 2 AU
杆的简单边界 ： 设：
固定端 U ( x) 0
x=0或l
自由端 EAU ( x) 0
x=0或l
i
Ui ( x)
j
U j ( x)
代入：
( EAUi) i2 AUi
l 0
( EAU j ) 2 j AU j
单位长度杆上分布的纵向作用力
9
连续系统的振动 / 一维波动方程
dx
微段分析
p( x, t )
0
u
x x
dx
l
N
u dx x
u
p( x, t )dx
N N dx x
u ( x, t )
杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移
(u u dx) u u x dx x
2018年9月21日 《振动力学》
U ( x) B1 sin
x
a
B2 cos
x
a
u ( x, t ) U ( x)T (t )
18
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
主振型的正交性
只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性
杆可以是变截面或匀截面的 即质量密度 及截面积 A 等都可以是 x 的函数 杆的动力方程 ：
u x
2u Adx 2 x
微段应变：
横截面上内力：
达朗贝尔惯性力
N EA EA
达朗贝尔原理：
2018年9月21日 《振动力学》
2u N Adx 2 ( N dx) N p( x, t )dx t x
10
连续系统的振动 / 一维波动方程
p( x, t )
2018年9月21日 《振动力学》 2
教学内容
• 一维波动方程 • 梁的弯曲振动
2018年9月21日 《振动力学》
3
假设条件
（1）线性弹性体，即虎克定律 （2）材料均匀连续；各向同性 （3）振动满足微振动的前提
2018年9月21日 《振动力学》
4
连续系统的振动 / 一维波动方程
一维波动方程 • 动力学方程
ix (i 0,1,2, ) l 频率方程和固有频率两端固定杆的情况相同
x
a
i
ia , l
U ' (l ) 0 l sin 0 频率方程 a a
(i 0,1,2, )
零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移
2018年9月21日 《振动力学》
U ( x) B1 sin
U ( x) B1 sin
一一对应
T (t ) b sin(t )
x
a
B2 cos
x
a
i
第 i 阶主振动：
Ui ( x)
u (i ) ( x, t ) biU i ( x) sin(it i ),
系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：
(i 1,2)
u ( x, t ) bi U i sin(i t i )
U ( x) B1 sin
x
a
B2 cos
x
a
16
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
（2）两端自由 特征：自由端的轴向力为零
u (0, t ) 边界条件 ： EA 0 x U ' ( 0) 0
B1 0
0 l
x
Байду номын сангаас
u (l , t ) EA 0 x
固有频率：
模态函数： U i ( x ) Bi cos
B2 cos
x
a
u ( x, t ) U ( x)T (t )
17
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
（3）一端固定，一端自由 特征：固定端位移为零 自由端轴向力为零
0
x
l
边界条件 ：
U ( 0) 0
u (0, t ) 0
U ' (l ) 0
u (l , t ) EA 0 x
剪切弹性波的 纵向传播速度
《振动力学》
8
连续系统的振动 / 一维波动方程
（3）杆的纵向振动
讨论等截面细直杆的纵向振动 杆参数： 杆长 l 材料密度 截面积 A 弹性模量 E
0
p( x, t )
x
l
假定振动过程中各横截面仍保持为平面 忽略由纵向振动引起的横向变形
p( x, t )
2018年9月21日 《振动力学》
T(t) 表示运动规律的时间函数
U ( x) 杆上距原点 x 处的截面的纵向振动振幅
2018年9月21日 《振动力学》
(t ) ( x) T 2 U a T (t ) U ( x)
13
连续系统的振动 / 杆的纵向振动 记：
2
(t ) T U ( x) a2 T (t ) U ( x)
第六章 连续系统的振动
－实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量与 弹性，因而又称连续系统或分布参数系统
－确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此连 续体是具有无限多自由度的系统
－连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动 方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组， 它是偏微分方程 －在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差别 ，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系统 是完全类似的
代入模态函数
sin
U (l ) 0 l
a
0
频率方程
由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去
2018年9月21日 《振动力学》
ia , (i 0,1,2, ) 无穷多个固有频率： i l i x 模态函数 ： (i 0,1,2, ) U i ( x ) Bi sin l
（确定杆纵向振动的形态，称为模态 ）
与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数 ，表示各坐标振幅的相对比值
由频率方程确定的固有频率 有无穷多个 i
2018年9月21日 《振动力学》
（下面讲述）
14
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
2 2u 2 u a 2 t x 2
u ( x, t ) U ( x)T (t )
2018年9月21日 《振动力学》
J p dx ：微段绕轴线的转动惯量
7
连续系统的振动 / 一维波动方程
达朗贝尔原理： M t 2 J p dx 2 ( M t dx) M t pdx 0
t x 2 M t J p 2 p ( x, t ) t x 材料力学： M t GJ p x 2 J p 2 (GJ p ) p ( x, t ) t x x
2018年9月21日 《振动力学》 12
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
6.2 杆的纵向固有振动
以等直杆的纵向振动为对象
p( x, t )
0 l
a E/
x
方程：
2 2u 1 2 u a p ( x, t ) t 2 x 2 A
2 2u 2 u a 纵向自由振动方程： 2 t x 2 u ( x, t ) U ( x)T (t ) 假设杆的各点作同步运动：