第二换元积分法

2x +1
3 1 1 d (3 − x 2 ) 1 2 2 2 2 2 ∫ x 3 − x ⋅ −2 x = − 2 ∫ (3 − x ) 2 d (3 − x ) = − 3 (3 − x ) + c
∫ x2 + x + 5dx = ∫ x2 + x + 5
2x +1
=∫
1 d ( x2 + x + 5) =ln| x2 +x+5| +c x2 + x + 5
∫ f [ϕ ( x)]ϕ '( x)dx u = ϕ ( x ) ∫ f (u )du = F (u ) + c = F [ϕ ( x)] + c
这种将 ∫ f [ϕ ( x)]ϕ '( x)dx 利用中间变量 u化为∫ f (u )du ，则可直接（或 稍微变形就可）应用基本积分公式求得结果，再将 u 还原成 ϕ ( x ) 的积分法，称为第一类换元积分法，也叫凑微分法。 凑微分法 这里将 ϕ '( x)dx 凑微分成du是难点，理解起来较困难，我们这样 du 处理：dx= ' 故 ∫ f [(ϕ ( x)]ϕ '( x)dx u = ϕ ( x ) ∫ f (u )ϕ '( x) du = ∫ f (u )du '
cos xdx = d (sin x)
sec 2 xdx = d (tan x )
1 1− X
2
1 dx = d (ln x) x
sin xdx = − d (cos x )
1 dx = d (arctan x) 1 + x2
dx = d (arc sin x)
例：求 ∫ sin 2xdx 解：方法一：∫ sin 2 xdx = ∫ sin 2 x
5 5
=
1 5 ∫ (3x − 2) d (3x − 2) 3
=
1 1 1 ⋅ (3 x − 2)6 + c = (3 x − 2) 6 + c 3 6 18
1 例3求 ∫ 3 + 2 x dx
解： 1 dx = ∫ 1 ⋅ d (3 + 2 x) = 1 ln | 3 + 2 x | +c ∫ 3 + 2x 3 + 2x 2 2 练习：求下列不定积分 1、 e − x dx 2、 3 2 + 3xdx 3、 sin(ω t + ϕ )dt ∫ ∫ ∫ Ⅱ、 被积函数是两个函数乘积形式 1、被积函数中含有两个多项式，其中一个多项式的次数比另 一个多项式的次数高一次，设高一次的多项式为中间变量，目 的是约去另一个因式。 例1、求 ∫ xe dx 解： xe− x dx = xe
练习：求① ∫ sin 2 例6 求： sin 3 xdx ∫
x dx ② 2
sec 4 xdx ∫
解：sin 3 xdx = ∫ sin x sin 2 xdx ∫ = ∫ sin x(1 − cos 2 x)dx = − ∫ (1 − cos 2 x)d (cos x) 1 1 = −(cos x − cos3 x) + c = − cos x + cos3 x + c 3 3
− x2
dx 4、1 − 2 x ∫
∫
2
∫
−x
2
d (− x 2 ) 1 − x2 1 − x2 2 = − ∫ e d (− x ) = − e + c a 2 + b 2 −2 x 2 2
x 3 − x 2 dx 例2、求 ∫
解： ∫ x
3 − x 2 dx =
dx 例3、求 ∫ 2 x + x+5 解 2x +1 2 x + 1 d ( x2 + x + 5)
练习：求
x −1 ∫ x 2 + 1dx
2 例5求：∫ cos xdx
解 : ∫ cos 2 xdx = ∫
1 + cos 2 x 1 1 d 2x dx = ( ∫ dx + ∫ cos 2 xdx) = ( x + ∫ cos 2 x ) 2 2 2 2 1 1 1 1 = ( x + sin 2 x) + c = x + sin 2 x + c 2 2 2 4
=∫ d (arcsin x ) = ∫ (arcsin x) −3d (arcsin x) 1 (arcsin x)3 1 − x 2 1 − x2 1
1 − x2
例1、
1 +c 2(arcsin) 2 dx 例6求 ∫ x(1 + 2 ln x) 1 d (1 + 2 ln x) 1 1 1 =∫ = ∫ d (1 + 2 ln x) = ln |1 + 2 ln x | + c 解 ∫ dx 2 x(1 + 2 ln x) x(1 + 2 ln x) 2 1 + 2 ln x 2 x
∫ sin 2 xdx = ∫ 2sin x cos xdx = ∫ 2sin cos x
上例表明，同一个不定积分，选择不同的积分方法，得到 的结果形式不同，这是完全正常的，可以用求导验证它们 的正确性。
使用凑微分法求不定积分，有时还需要先用代数运算、三角 变换对被积函数作适当变形才能积分。
dx 例1求 ∫ 4 + 9 x 2 3 d ( x) 1 1 1 1 1 3 dx 2 = 1.2 = ∫ 解： dx = ∫ d ( x) ∫ 4 + 9x2 4 3 2 4 1 + ( 3 x)2 3 4 3 ∫ 1 + ( 3 x) 2 2 1 + ( x) 2 2 2 2 1 3 = arctan x + c 6 2
dx = du du = u 'X 3
du 1 5 1 1 1 = ∫ u du = ⋅ u 6 + c = (3 x − 2)6 + c 3 3 3 6 18 在对上述换元法较熟悉后，可不必写出中间变量，心中明白即可，书写 格式如下： ∴ ∫ (3 x − 2)5 dx = ∫ u 5
d (3 x − 2) 解： ∫ (3x − 2) dx = ∫ (3x − 2) 3
∫
∫
常用的凑微分形式有： （1） adx = d ( ax + b ) (3) (5) (7) (9) (11)
1 dx = 2d ( x ) x
(2) xdx = 1 d (ax 2 + b)
2a
(4) (6) (8) (10)
1 1 dx = − d ( ) x2 x
e x dx = d (e x )
dx
练习：①
∫
dx x 2 ( x 2 + 1)
②
2x +1 例4 求： x 2 + 4 x + 5 dx ∫ 2x +1 2x + 4 − 3 解： 2 dx = ∫ 2 dx ∫ x + 4x + 5 x + 4x + 5
dx ∫ (2 + x)(3 − x)
2 x + 4 d ( x 2 + 4 x + 5) 1 =∫ 2 . − 3∫ d ( x + 2) = ln | x 2 + 4 x + 5 | −3arctan( x + 2) + c 2 x + 4x + 5 2x + 4 1 + ( x + 2)
d 2x 1 1 = ∫ sin 2 xd 2 x = − cos 2 x + c 2 2 2
d sin x = sin 2 x + c 方法二： cos x d cos x sin 2 xdx = ∫ 2sin x cos xdx = ∫ 2sin x cos x = − cos 2 x + c 方法三： ∫ − sin x
uX
µ
X
= F (u ) + c = F [ϕ ( x )] + c
例1：求 ∫ cos 2xdx du dx = 解：设u=2x µ'
=
X
du 2
du 1 1 1 ∴ ∫ cos 2 xdx = ∫ cos u. = cos udu = sin u + c = sin 2 x + c 2 2∫ 2 2
ex 练：求 1、 ∫ 1 + e x dx
2、∫
dx x 1 − ln 2 x
earctan x dx 3、∫ 2 1+ x
6、 4 − ln x dx ∫
x
4、 ∫
sin x dx 2 cos x
2 5、 tan x sec xdx ∫
第一类换元积分法（凑微分法）是一种非常有效的积分法。 首先，必须熟悉基本积分公式，对积分公式应广义地理解，如 1 1 dx = ln | x | + c ，应理解为 u du = ln | u | + c ， 对公式 x 其中u可以 是x的任一可微函数；其次，应熟悉微分运算，针 对具体的积分要选准某个基本积分公式，凑微分使其变量一致。
dx = ∫ 解 ∫ tan xdx = ∫ cos x cos x
sin x
sin x d (cos x) 1 = −∫ d (cos x) = − ln | cos x | + c − sin x cos x
例5求 ∫ (arcsin)3 解 ∫ (arcsin x)3
=−
dx
dx 1 − x2
arctan x arctan x d (arctan x) 1 dx = ∫ = ∫ arctan xd (arctan x) = (arctan x) 2 + c 解 ∫ 1 + x2 1 1 + x2 2 1 + x2 1 例3求 ∫ x ln 2 x dx
解
例4求 ∫ tan xdx
1 1 d (ln x) 1 dx = ∫ = ∫ (ln x) −2 d (ln x) = − +c ∫ x ln 2 x x ln 2 x 1 ln x x
教学方法：启发式 教学方法 教学手段： 教学手段：多媒体课件和面授讲解相结合
教学课时： 教学课时：6课时
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第二节 换元积分法 引例：求 ∫ cos 2 xdx = ? 解: Q∫ cos xdx = sin x + c ∴ ∫ cos 2 xdx = sin 2 x + c 错在哪里？ 第一类换元积分法（凑微分法） 一、第一类换元积分法（凑微分法） 定理1、若∫ f (u )du = F (u ) + c 则
练习：求 ∫ 解：
dx 16 − 25x 2
ex 例2求： ∫ 1 + e2 x dx
ex ex de x 1 dx = ∫ . x =∫ de x = arctan e x + c ∫ 1 + e2 x x 2 x 2 1 + (e ) e 1 + (e )
dx ∫ e− x + e x
②
练习：①
第二节 换元积分法
本节内容提要
第一类换元积分法（凑微分法） 一、第一类换元积分法（凑微分法）
二、第二类换元积分法
教学目的：使生熟练掌握凑微分法求不定积分、掌握第二类 教学目的 换元积分法中的根式置换法，了解三角置换法求不定积分 重点： 重点： 难点： 难点 凑微分法、根式置换法求不定积分 凑微分法求不定积分
我们总结出凑微分法求不定积分的情况如下： Ⅰ、被积函数是一个复合函数 被积函数是一个复合函数，与公式作对比，公式中自变量x d ( ax + b) d ( ax + b) 变成了ax+b的形式，这时设ax+b为中间变量，dx = (ax + b)′ = a 例2：求 ∫ (3x − 2)5 )dx 解：设 u = 3x − 2 则
2 练习：求下列不定积分 cos 3 x x 2 1、 x( x 2 + 4)5 dx 2、 2 dx 3、 e dx 4、 2 x dx 5、∫ x sin( x + 1)dx ∫ 1+ x ∫ x ∫ ∫
x
2、被积函数中，其中一部分函数“正好”是另一部分函数的导 被积函数中，其中一部分函数“正好” 数这里存在导数的那部分函数为中间变量，目的是约去另一个因 式。 例1求 ∫ e x sin e x dx d (e x ) e x sin e x dx = ∫ e x sin e x x = ∫ sin e x d (e x ) = − cos e x + c 解 ∫ e arctan x 例2求 ∫ 1 + x 2 dx
1 1 例4、求 ∫ 2 e x dx x 1 1 1 d( ) 1 1
cos x dx 例5、求 ∫ x
1 1 x = − e x d ( 1 ) = −e x + c 解：∫ x 2 e x dx = ∫ x 2 e x 1 ∫ x − 2 x
解：
பைடு நூலகம்
cos x cos x d ( x ) dx = ∫ ⋅ = 2 ∫ cos xd ( x ) = 2sin x + c ∫ x 1 x 2 x
1 ∫ 1 + e x dx
例3求： ∫ 2 x − x−6
解：∫ dx 1 1 1 1 =∫ dx = ∫ ( − )dx 2 x − x−6 ( x − 3)( x + 2) 5 x −3 x + 2 1 1 d ( x − 3) 1 d ( x + 2) 1 1 x −3 = [∫ −∫ ] = (ln | x − 3 | − ln | x + 2 |) + c = ln | | +c 5 x −3 1 x+2 1 5 5 x+2