柱面的方程

f ( x 2 y 2 , z) 0 (2)
若点M(x,y,z)，则其坐标x,y,z不满足(2)式。
故(2)式为此旋转曲面的方程。
故对曲线C:f(y,z)=0： 绕z轴旋转而成的曲面方程为 f ( x2 y 2 , z) 0
曲线C绕y轴旋转而成的曲面方程为 f ( y, x2 z 2 ) 0
X 2 2Y 2 Z,
由此可知它表示椭圆抛物面，在OXYZ坐标系中作出椭圆抛物 面。如下图
然后将坐标系Oxyz的原点O取在O’XYZ坐标系的点（1，-1，3） 处，作出x轴、y轴、z轴，使之分别平行于x轴、y轴、z轴与z轴并略 去O’XYZ坐标架，即得到原方程表示的图形。
（2）对一般的三元方程表示的曲面，用手工描点法是很难绘出它 的三维立体图形的，读者可采用已有的计算机软件如Mathematica , Matlab在显示屏上获得它们的图形。对于本节所学常见曲面的图形 应能绘出草图。
x2 y2 z2 0
x y k z 2 2 22
x2 y2 kz
4
Y
2
0
-2
-4
6
Z4
2
0
-4
-2
0
X
2
4
旋转曲面
平面上曲线C绕该平面上一条定直线旋转形成的曲面叫做旋转 曲面，平面曲线C叫做旋转曲面的母线，定直线叫做旋转曲面的 轴。
旋转曲面的方程
yoz面上曲线C:f(y,z)=0 绕定直线z轴旋转
柱面的方程
空间点M(x,y,z), M(x,y)在x0y平面上的投影点M1(x,y) 1.点M(x,y,z), M的横、纵坐标x,y满足F(x,y)=0，
则点M1(x,y,0) 在的准线C上，
z
故点M(x,y,z)在柱面上； （点M(x,y,z)在过点M1(x,y,0) 母线L上）
2.点M(x,y,z) ，
x2 a2
z
y
b
2 2
0

1,

y b
2 2
x
z2 1,
c2 0
这些截痕就是椭圆。即有：
x2 z 2 1, a2 c2 y 0
x 2 16

y2 9
1,
z 0
y 2 z 2 1, 9 4 x 0 x2 z 2 1, 16 4 y 0
二次曲面
• 柱面 • 旋转曲面 • 锥面
• 球面 • 椭球面，抛物面，双曲面
一、柱面与旋转曲面
1.概念
平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面叫做柱 面，定曲线C叫做柱面的准线，动直线叫做柱面的母线.
L
C
柱面： 的母线L，Lz轴； 的准线C：F(x,y)=0(x0y平面上的曲线）
x2
y2
z2
即
a2 1, b2 1, c2 1
∣x∣≤a ,∣y∣≤b ,∣z∣ ≤c ,
这说明椭球面包含在由平面 x = ±a , y =±b , z =± c 围成的 长方体内。
现以椭球面 x2 a2

y2 b2

z2 c2
1(a

4, b
3, c

2)为例说明截痕法
先考虑椭球面与三个坐标面的截痕
-5 0
5
0
10
-5
-10
20
Z 10
0
例2 yoz平面上的抛物线 y 2 z 2 1 绕z轴旋转而成的曲面 a2 b2
旋转椭球面： x2 y2 z 2 1
a2
b2
1
0.5 Z
0
-0.5
-1 -2
-1
0
X
1
2 1 0 Y -1
-2 2
例3 yoz平面上的双曲线
x2

a
面的方程就有所改变.若曲面 的方程是F(x,y,z) = 0, 则方程
F(x-x0 , y-y0 , z-z0) = 0的图形 ´与 有相同的形状.有两种方法可得 到方程F(x-x0 , y-y0 , z-z0) = 0 的图形: 一种方法是在同一坐标架下, 将 沿着向径 r = (x0 ,y0 ,z0) 方平移 r 距离而得到方程 F(x-x0 , y-y0 , z-z0) = 0 的图形´；另一种方法是先在OXYZ坐标系下作出 ： F(x,y,z) = 0的图形， 然后将坐标架平移，使移动后的坐标原点位于
原坐标系的（-x0 ,-y0,- z0)处，并将坐标系改成Oxyz,这与平面解析 几何中的情形是类似的。利用这一点，就可将某些非标准二次方
程用简单的配平方法，找出它的标准形式，再用上述平移方法获
得它的图形并确定其位置，
x2 2y2 2x 4y z 0
例如方程
经过配完全平方，得 (x 1)2 2(y 1)2 z 3, 故其标准形为
2

z2 b2
1 绕z轴旋转而成的曲面
y 0
单叶旋转双曲面：
X
-1
Y
1
0
0
1
-1
2
x2 y2 z2
1 1
a2
b2
Z 0
-1
-2
例3 zox平面上的双曲线
x2

a
2

z2 b2
1 绕x轴旋转而成的曲面
y 0
双叶旋转双曲面：
x2 y2 z2 1
a2
也为抛物线

x
2

a2(z

k2 b2
),
y k.
（3）用yoz面（x = 0）及平面x=l去截这曲面，其结果与（2）是 类似的。如下图所示：
综 合以上分析结果，可知椭 的形状如图5-38所示。
圆抛物面
z

x2 a2

y2 b2
方程
x2 y2 z
(7)
a2 b2
所表示的曲面叫做双曲抛物面。设方程右端取正号，现在来考
类似地，可考虑其他的在某一坐标平面上的曲线绕相应的坐 标轴 旋转而成的旋转曲面的方程。
几种常见的旋转曲面
旋转抛物面 旋转椭球面 旋转单叶双曲面 旋转双叶双曲面
圆锥面
例1 yoz平面上的抛物线
y2

2 pz绕z轴旋转而成的曲面
x 0
旋转抛物面：
x2 y2 2 pz
1-010
X
Y5
M ( x, y, z) , 过点M的母线交准线于点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ), 则有
x x0t

y

y0t
z z0t
从而x2 y2 (x02 y02 )t 2 R2t 2 z02t 2 z2
反之 任意满足如上方程的点必在此锥面上，故所求锥面的方程为
大而升高。
（3）用平面y = l 去截这曲面，截痕均是张口朝上的抛物线
x2 a2

z

l2 b2
,
y l.
综合以上分析结果可知，双曲抛物面的形状如图5-39所示。因 其形状与马鞍相似，故也叫它鞍形面。
3、双曲面
双曲面分单叶双曲面与双叶 双曲面两种。其中方程
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
Z -2 -4
3.抛物柱面
x2 2 pz
4 Y2 0
-2
-4 8
6 Z
4
2
0
-4
-2
0
X
2
4
球面
在空间中，与一定点的距离为一定长的点的集合是球面，这 个定点是球心，定长是半径。
标准方程
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
一般方程
x2 y2 z2 2 px 2qy 2rz d 0
z
所成的曲面
p0,过p0作平面z=z0,与的交线为 一圆周，其半径 R x02 y02
y1 R y1 R x02 y02
但对p1(0,y1,z0)，有f(y1,z0)=0
z0
• •
P1(0,y1,z0)
P
0C
y o
f (
x02

y
2 0
,
z0 )

0
(1)
x
M(x,y,z),有
当h< 0时。(h=-3)截痕是双曲线。其实轴平行于 y 轴。
(2)用平面x = k 去截这曲面，截痕方程是
y 2 b2

k2 a2
z,

x k.
当k = 0时，截痕是yoz平面上顶点在原点的抛物线且张口朝下。
k≠0时，截痕都是张口朝下的抛物线，且抛物线的顶点随∣k∣增
• M(x,y,z)
oL
y
则M的横、纵坐标x,y满足F(x,y)=0 （M的投影点M1(x,y,0) 在的准线C上） x

C
• M1(x,y,0)
2.几种常见的柱面
1.椭圆柱面
x2 y2 1 a2 b2
2.双曲柱面 3.抛物柱面
x2 y2 a2 b2 1
x2 2 py
4.特殊的平面 Ax By C 0
所表示的曲面叫做单叶双曲面。 用截痕法可得出它的形状如图 5-40（a）（b）所示。
方程
x 2 y 2 z 2 1
Hale Waihona Puke Baidua2
b2
c2
所表示的曲面叫做双叶双曲
面。它的形状如图5-40（c） 所示。
最后我们指出两点：
（1）以上讨论的二次曲面都称为标准型二次曲面,它们的方程也称
为标准型二次方程.在Oxyz坐标系中,如果将二次曲面作平移,那么曲
再用平行于xoy面的平面z = h (0 < ︱h︱< c )去截这个曲面，所 得截痕的方程是
x2 a2

y2 b2
1
h2 c2
,
z h.
这些截痕也都是椭圆。易见，当︱h︱由0变到 c 时，椭圆由大变
小，最后缩成一点（0，0，±c).同样地用平行于 yoz面或zox面的
平面去截这个曲面，也有类似的结果（见图５－３７(a)或后面所 显示的各个图形).如果连续地取这样的截痕，那么可以想像，这些 截痕就组成了一张椭球面。
讨论的方法一般是用坐标或特殊的平面与二次曲面 相截，考察其截痕的形状，然后对那些截痕加以综合，
得出曲面的全貌，这种方法叫做截痕法。
1.椭球面 方程
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
(a 0,b 0, c 0)
表示的曲面叫做椭球面。下面我们根据所给出的方程， 用截痕法来考察椭球面的形状。 由方程可知
b2
4
Y
2
0
-2
-4 4
2
Z 0
-2
-4 -4 -2 0
X
2
4
三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。上一目中 例1与例2 给出的旋转曲面就是二次曲面。相对而言， 二次曲面有较广泛的应用，并且它的形状也比较简单。 因此作为基本问题（Ⅱ）的例子，我们主要讨论以下 几个特殊的二次曲面的形状：
1、椭球面 2、抛物面 3、双曲面
1.椭圆柱面
x2 a2

y2 b2
1
X
-2
-1
Y
2
0 1
2
0
-2
4
2
Z 0
-2
-4
2.双曲柱面
x2 a2

y2 b2
1
1 0.5 Y0 -0.5 -1 1
0.5
Z0
-0.5
-1 -1-.1-4.X1-3.12.1-1
3.抛物柱面
x2 2 py
Y
X
2-2
1.5
-1
1
0
0.5
1
0
2
4
2 0
x2 a2

y2 b2
h,(a 3,b 2, h 4)
z h.
当h→0时，截痕退缩为原点；当h<0 时,截痕不存在.原点叫做椭 圆抛物面的顶点.
（2）用zox面（y = 0）去截这曲 面,截痕为抛物线
x2 a2z

(a 3)
y0
用平面y = k去截这曲面，截痕
察它们的形状。(在方程(7)中令 a 2.5,b 2.5 )
（1）用平面z = h（h > 0）去截这曲面，截痕方程是
x 2 a2

y2 b2
h,
z h.
当h > 0时，(h=3)截痕是双曲线，其实轴平行于 x 轴。
当h = 0 时，截痕是xoy平面上两条相交于原点的直线
在椭球面方程中，a，b，c按其大小，分别叫做椭球的长半轴， 中半轴，短半轴。如果有两个半轴相等，如 a=b,则方程表示的是由 平面上的椭圆 x 2 y 2 1 绕ｚ轴旋转而成的旋转椭球面。
a2 b2 如果a = b = c ,则方程 x2 +y2+z2 = a2 表示一个球面。。
x y z 1 2 22
1 Y 0.5 0
-0.5
-1 1
0.5 Z
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
X
0.5
1
锥面
一条动直线通过一定点且沿空间一条固定曲线移动所产生 的曲面称为锥面，定点称为锥面的顶点，固定曲线称为锥面的 母线
例求原点为定点曲线
x2 y 2 R 2
c:

zR
为准线的锥面的方程
２、抛物面 抛物面分椭圆抛物面与双曲抛物面两种。方程
x2 a2

y2 b2
z
（６）
所表示的曲面叫做椭圆抛物面。设方程右端取正号，现在来考察
它的形状。 (以z x 2 y 2 为例说明)
9
4
(1) 用xoy面（z = 0）去截这曲面，截痕为原点。 用平面z = h（h > 0）去截这曲面，截痕为椭圆