三矢量的混合积

§9 三矢量的混合积

定义 1 给定空间的三个矢量a b c ，我们()a b c ⨯ 叫做三矢量,,a b c 的混合积，记做(,,)a b c

或()abc .

定理1 三个不共面矢量,,a b c 的混合积的绝对值等于以,,a b c

为棱的平行六面体的体积V ，并且当,,a b c 构成右手系时混合积为正；当,,a b c

构成左手系时混合积为负.

证 由于矢量,,a b c 不共面，所以把它们归结到共同的试始点O 可构成以,,a b c

为棱的平行六面体，它的

底面是以,a b

为边的平行四边形，面积为S a b =⨯ ，它的高为OH h

= ，体积是V Sh =.

根据数性积的定义()cos cos a b c a b c S c θθ

⨯=⨯=

，

其中θ是a b ⨯ 与c

的夹角.

当,,a b c 构成右手系时，02πθ≤≤，cos h c θ= ，因而可得

()a b c sh V ⨯==

.

当,,a b c 构成左手系时，2πθπ≤≤，cos()cos h c c πθθ

=-=- ，因而可得

()a b c sh V ⨯=-=-

.

定理2 三矢量,,a b c 共面的充要条件是()0abc =

.

证 若三矢量,,a b c 共面，由定理1.9.1知|()|0a b c sh V ⨯=== ，所以|()|0abc = ，从而()0abc =

.

反过来，如果()0abc = ，即()a b c ⨯ ，那么根据定理1.7.1有()a b c ⨯⊥

，另一方面，有矢性积的定义知(),()a b a a b b ⨯⊥⨯⊥ ，所以,,a b c

共面.

定理3 轮换混合积的三个因子，并不改变它的值；对调任何俩因子要改变混合积符号，即

()()()()()()abc bca cab bac cba acb ===-=-=- . 证 当,,a b c 共面时，定理显然成立；当,,a b c 不共面时，混合积的绝对值等于以,,a b c

为棱的平行六面

体的体积V ，又因轮换,,a b c

的顺序时，不改变左右手系，因而混合积不变，而对调任意两个之间的顺序时，

将右手系变为左，而左变右，所以混合积变号.

推论1 ()()a b c a b c ⨯=⨯

.

定理4 设111a x i y j z k =++ ，222b x i y j z k =++ ，333c x i y j z k =++

，那么

1

112

223

3

3()x y z abc x y z x y z =

.

证 由矢量的矢性积的计算知

111

11

12

2222

2y z z x x y a b i j k y z z x x y ⨯=

++

，

再根据矢量的数性积得

()abc =()a b c ⨯ =1111113

3

3

2

2

2

2

2

2y z z x x y x y z y z z x x y ++

=1

1

1

222333x y z x y z x y z .

推论2 三矢量111222333{,,},{,,},{,,}a x y z b x y z c x y z ===

共面的充要条件是

1

11

22

23

3

3

0x y z x y z x y z =.