1.3.1单调性与最大最小值(1)(优秀经典公开课比赛教案)

§1.3.1 单调性与最大（小）值（1）

难点、重点：

重点：学生单调性概念的形成及表达，证明函数的单调性。

难点：证明函数的单调性。

三、问题导学：

1：观察下列各个函数的图象.

探讨下列变化规律：

① 从左往右，图象有什么变化？图1 图2 图3

② ② 随x 的增大，y 的值有什么变化？图1 图2 图3

思考：a 、根据()2f x x =+的图象进行讨论：（1）随x 的增大，函数值怎样变化？（2）当x >x 时，f (x )与f (x )的大小关系怎样？（3）当x 1＜x 2时呢？

（1） （2） （3）

b 、2()(0)f x x x =>的图象进行讨论：（1）随x 的增大，函数值怎样变化？（2）当x >x 时，f (x )与f (x )的大小关系怎样？（3）当x 1＜x 2时呢？

（1） （2） （3）

2.增减函数的定义：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的 两个自变量的值x 1，x 2，当 时，都有 ，那么就说f (x )在区间D 上是增函数（increasing function ）.

试试：仿照增函数的定义说出减函数的定义.

3．单调性的定义：如果函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f (x )的单调区间.

四、预习自测：

1. 如图，定义在[-5,5]上的f (x )，根据图象说出单调区间及单调性.

答：

2．函数f（x）=x2－2x+3在区间上是增函数，在区间上是减函数。3．函数f（x）=x（x∈[]2,1-）的单调增区间是。

4．已知函数f（x）在区间[]2,1-上为减函数，任意x1，x2∈[]2,1-，且x1-x2＜0，则f（x1）与f（x2）的大小关系为。

5．函数y=kx+b在R上是增函数，则k的取值范围是，b的取值范围是

五、我的疑问

六、课内探究：

探究任务： f(x)在区间[a,b]和区间[c,d]是增函数，则f(x)在[a,b]∪[c,d]是否为增函数？举例说明。

※例题探究

例1根据下列函数的图象，指出它们的单调区间及单调性，

（1）()32

f x x

=-+；（2）

1

()

f x

x

=；（3）()||

f x x

=

例2（1）物理学中的玻意耳定律

k

p

V

=（k为正常数），告诉我们对于一定量的气体，当其体

积V增大时，压强p如何变化？试用单调性定义证明.

练2.求证

1

()

f x x

x

=+在(0,1)上是减函数，在[1,)

+∞是增函数.

小结：

① 证明函数单调性的步骤：

第一步：设x 、x ∈给定区间，且x

例3函数y=-x 2

+2（m-1）x+3在区间(]2,-∞-上是增函数，则m 的取值范围是 。

变式3：函数y=x 2

+（m+1）x+3在区间[)∞,2上是增函数，则m 的取值范围是 。

七、总结提升

1. 增函数、减函数、单调区间的定义；

2. 判断函数单调性的方法（图象法、定义法）.

3. 证明函数单调性的步骤：取值→作差→变形→ 定号→下结论. 八、我的收获

1. 函数2()2f x x x =-的单调增区间是（ ）

A. (,1]-∞

B. [1,)+∞

C. R

D.不存在

2. 如果函数()f x kx b =+在R 上单调递减，则（ ）

A. 0k >

B. 0k <

C. 0b >

D. 0b <

3. 在区间(,0)-∞上为增函数的是（ ）

A ．2y x =-

B ．2y x

=

C ．||y x =

D ．2y x =- 十、课后作业

1. 函数y=12+-x 的单调性是 .

2. 函数()|2|f x x =-的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .

3．已知函数f （x ）是定义在R 上的减函数，若f （2a +1）＞f （a +2），则a 的取值范围是 。

4．函数y=1

-x a 在区间（1，+∞）上是减函数，则a 的取值范围是 。 5. 函数f （x ）= 的单调区间是 。

6. 判断函数()f x =

在[0,+∞)上的单调性并证明.