第1章 集合映射与运算

Chapter 1 Sets, Mappings and Operations

集合是现代数学的最基本概念(?).
映射又称为函数, 它是现代数学的基本概念, 可以 借助于集合下定义. 运算本质上是映射, 但其研究有其特殊性. 集合、映射、运算及关系(Chapter 2)是贯穿于本书 的一条主线.

这里所指范围是全集U(见图1-1).(避免悖论!) 在数学中常用{ }表示整体. 若x是集合A中元素, 则记xA, 否则xA.



常见的数的集合用黑正体字母表示: N是自 然数集合,包括数0；Z是整数集合；Q是有 理数集合；R是实数集合；C是复数集合. 表示集合的常用方法: (1)列举法:{0, 2, 4, 6, 8}, N = {0, 1, 2, 3, …}. (2)描述法:{x|x满足的条件}. (3)递归法
2 2 π π sin : , [1,1] 2 2 π π arcsin : [1,1] , . 2 2
有反函数, 常记为

π 3π 当 x 2 , 2 时,
y = sin x仍有反函数, 但不能
3π x 0, 2

离散数学是计算机各专业的专业基础课. 离散数学研究的对象: 离散量及其之间的关 系.
离散量与连续量及其之间的转换. 现今计算机的处理对象是非常特殊的离散量: 0 和1.

学习离散数学的目的: 1.培养各种能力. 2.为后继专业课程的学习作知识上的准备.


离散数学的基本内容:
1.集合与关系
1

例1-10
1 2 3
f
1 2 3

Def 1-11 有限集合A上自身的双射称为A上 的置换(permutation). A = {1, 2, 3, 4}上的所有置换有多少个? 4!


3. 逆映射 设f: AB, 将对应关系f逆转(改变方向), 一般 来说, 不能得到B到A的映射:
X
f (X )
f : A B, Y B f (Y ) {x | x A, f ( x) Y }
f-1(Y) Y
1

n元函数(n 1): f : A B, A A1 A2 ... An ,
x A x ( x1 , x2 ,..., xn ) A1 A2 ... An ,

Def 1-13 例1-12
h f g

a b c
f
1 2 3
g


Remarks 2 2 (1) y = sin u, u = x y sin x . 未引入运算符号,有时是不方便的.

(2)顺序问题: 有些专业书
( f g )( x) g ( f ( x)).
记为arcsin. 显然, 当
时, 无反函数.

4. 复合映射(composition function) Theorem1-8 设f: A B, g: B C:

则h: A C.
x A, h( x) g ( f ( x)). h
g
f
x
y=f(x) z=g(y)= g(f(x))


1.1 集合的有关概念


1. 集合 集合(用处?)已渗透到自然科学以及社会科学的各 个研究领域, 在信息的表示及处理中,可以借助于 集合去实现数据的删节、插入、排序以及描述数 据间的关系. 在一定范围内, 集合(set)是其具有某种特定性质的 对象汇集成的一个整体, 其中的每一个对象都称为 该集合的元素(element).



Theorem 1-4 | X | n | P( X ) | 2n. Proof X {a1 , a2 ,..., an }
1 2 n 1 Cn Cn ... Cn (1 1) n 2n.

由乘法原理证明?
n n A {,,...,} : 2 2 ... 2 2 .

函数符号的选取(P6):f, g,…, F,G,…, ,,…, sin, exp, main, add, average, …


注意区别函数f与函数表达式f(x). 映射的两个特点:
(1)全函数; (2)唯一性.

B上A: 例1-5
B { f | f : A B}.
A

A
x1 x2 x3
自然数集合N可递归定义, 在后面章节定义命题 公式及谓词公式时还会用此法.

有限集合A的元素个数|A|.





Remarks 1.集合中的元素可以是集合, 例如A = {a, {a, b}, b, c}. {a, b}A, {a, b}A. S { A | A A}? 2.集合之间的元素原则上是没有次序的, 如 A = {a, {a, b}, b, c}就是 {a, b, c , {a, b}}; 3.集合中的元素原则上不重复, 如{a, {a, b}, b, b, c}还是集合A. 不含有任意元素的集合称为空集(empty set), 记为或{ }.

Remark A = A = . P5, 10? Theorem | A | m, | B | n | A B | mn. Hint A B {( x, y) | x A, y B}.



可推广到更多个集合的笛卡儿积的情形:
A1 A2 ... An {( x1 , x2 ,..., xn ) | xi Ai , i 1,2,..., n}.
A B {( a,1), (a,2), (b,1), (b,2)}
B A {(1, a), (2, a), (1, b), (2, b)}
BC = {(1, ), (2, )}
AB C = {(a, 1, ), (b, 1, ), (a, 2, ), (b, 2, )}.


注意 与 的不同. 例1-2 由A B, B C可否得出A C? Solution 不成立,例如A = {a, b}, B = {a, b, c}, C = {a, {a, b, c}}. 课堂练习: 4, 5. 3. 幂集(power set) P( X ) { A | A X } X = {a, b} P(X) = {, {a}, {b}, {a, b}}. P(P()) = P({}) = {, {}}(P5, 6(1)). , {}, {{}}(P5, 2)

n维向量是n元组, 长度为n的线性表是n元组, 抽象数据结构Data_Structure = (D, S) 本身是 一个2 元组.

2元组常称为有序对(ordered pair)或序偶.
5.笛卡儿积(cross product) A1 A2 ... An {( x1 , x2 ,..., xn ) | xi Ai , i 1,2,.., n}.

2.子集 A B, 特别地是任意集合的子集. A = B.


Theorem 1-2(P3) (1) A A. (2) A B, B A A = B. (3) A B, B C A C.
Theorem 1-3 A = B A B 且 B A.
x1 , x2 A, f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2 .
f
A
B

(2)满射(surjection)
y B, x A, y f ( x). ran f B.
A
f
B

例1-7 f ( x) | x |是Z到N的满射, 但不是Z到 Z的满射(?).
n An A A ... A {( x1 , x2 ,..., xn ) | xi A, i 1,2,.., n}.



例1-4(P4) 设A = {a, b}, B = {1, 2}, C = {}, 求AB, BA, BC, ABC. Solution

(3)双射(bijection, one-to-one correspondence) 双射又称为一一对应:既单又满. 例1-8 Z : ...,3,2,1,0,1,2,3,...
N : 0,1,2,3,4,5,6,...

例1-9(P8)
O
1 y tan x π . 2

学习离散数学的方法:
1.预习. 2.听课. 3.复习. 4.作业.

参考文献:
耿素云 屈婉玲,离散数学(修订版),高等教育出 版社,2004. Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications (Fourth Edition), McGraw-Hill Companies, Inc.1998.(有中译本,2002)



Chapter Chapter 2.数理逻辑 Chapter Chapter 3.代数结构 Chapter Chapter 4.图论 Chapter Chapter
1 集合、映射与运算 2 关系 3 命题逻辑 4 谓词逻辑 5 群、环和域 6 格与布尔代数 7 图论 8 几类特殊的图
( g f )( x) g ( f ( x)).

但会出现一些混乱.

作业 习题1.1 6, 9, 10.
1.2 映射的有关概念

1.映射的定义 映射mapping=函数function. C语言是一种函数型语言: 从main开始.
Def
A

f f : A B
B

函数的表示:
(1)解析式 f : R R, f ( x) x 2 1. (2)图形 (3)表格(数值计算中出现较多)
f : A B
B
y1 y2
B A { f i | i 1,2,...,8}.

A m | A | m , | B | n | B | n . Theorem 1-6 注意B上A的记号与该结论的关系.

像与原像
f ( X ), f (Y ) :
1
f : A B, X A f ( X ) { f ( x) | x X }
n = 3: (x, y, z)
( x, y , z )
O 4元组?

O
显然, 一般说来(x, y) (y, x).
( x1 , x2 ,..., xn ) ( y1 , y2 ,..., yn ) xi yi , i.

注意区别(a, b, c), ((a, b), c), (a, (b, c))的不同.
a b c 1 2 3
a b c
1 2 3

Def 1-12 设f: AB, 若将对应关系f逆转后 能得出一个得到B到A的映射, 则称该映射为 f的逆映射(invertible function), 记为f-1.


Theorem 1-7 f 的逆映射存在的充要条件 是f是双射. π π 对于y = sin x, 当 x , 时,
f ( x) f (( x1 , x2 ,..., xn )) f ( x1 , x2 ,..., xn ) y.


float average(float array[], int n)

2.映射的性质 f : A B (1)单射(injection) x1 , x2 A, x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ).

4.n元组 Def 1-4 将n个元素(?)x1, x2,…, xn按一定顺 序排列就得到一个n元(有序)组(n-tuple).
( x1 , x2 ,..., xn ), x1 , x2 ,..., xn .

在数据结构中就Байду номын сангаас一个线性表.

n = 2: (x, y).
( x, y ) ( y, x)