1.9：三矢量的混合积资料

0
0
(a b)
2(a
0 b)
c
a
(a c) 0
2(abc)
a
4.
0
a
(b c) a (a b)
c
例5 设三矢量
a
、b
、c
b
（a b）c
（a b）c
a
2.定义 定义 1.9.1 设已知三个矢量 a 、b 、c ，数量 (a b ) c 称为这三个矢量的混合积，记为 (a,b,c)或(abc) .
关于混合积的说明：
（1）矢量混合积的几何意义：
向量的混合积
(abc
)
(a
b)
c
是这样
a
b
c
的示一以个向数量a， 、它b的、绝c对为值棱表的
试证三矢量
b
a
c
、b
、 cc共 a面
0,
证明: 由 a b b c c a 0, 两边与
c作数性积，得
所以, (abc)
0，(ab即c三) 矢(量bcac、)b、(cca共c)面.
5.矢量混合积在直角坐标系下的分量表示
• 设直角坐标系 {O;i , j, k},
a X1i Y1 j Z1k , b X 2i Y2 j Z2k ,
V 1 [AB AC AD] 6
AB { x2 x1, y2 y1, z2 z1}
AC { x3 x1, y3 y1, z3 z1}
AD { x4 x1, y4 y1, z4 z1}
V
1 6
x2 x3
x1 x1
x4 x1
y2 y1 y3 y1 y4 y1
z2 z1 z3 z1 z4 z1
X1 X2
Y1 Y2
Z3
X 3 Y3 Z3
X1 Y1 Z1
X1 Y1 Z1 X 2 Y2 Z2
X 2 Y2 Z2
X 3 Y3 Z3
推论 三个矢量 a, b, c 共面的充要条件为
X1 Y1 Z1 X 2 Y2 Z2 0 X 3 Y3 Z3
思考：在仿射坐标系下以上二式成立否？
例2. 已知四面体ABCD的顶点坐标A(0, 0, 0), B(6, 0, 6),
式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.
例4
已知 (abc
计算[(a
)
b
2 ，
)(b
c )]
(c
a).
解
[(a
b )
(b
c)]
(c
a )
[a b a c b b b c)] (c a)
(a b) c (a c) c 0 c (b c) c
知三个矢量共面.
首先,若 矢量a与b共线，即 a b 0，结论显然成立. 以下设 a b 0.
由 (abc) 0 及定义,得（a b） c 0 即 a b c
而又 垂直,
a
b a,a b 所以 三矢量
a 、b,b所、以c,共矢面量
a,b,c都与a b
证毕.
三向量a
、b
、c 共面
(abc
定理1.9.4
c X3i Y3 j Z3k ,
X1 Y1 Z1 (abc) X 2 Y2 Z2
X 3 Y3 Z3
因为a b 证明:
Y1 Z1 i Z1 X1 j X1 Y1 k
Y2 Z2
Z2 X2
X 2 Y2
（a b） c 所以,
Y1 Y2
Z1 Z2
X3
Z1 Z2
X1 X2
Y3
(abc) V , 1.
定理1.9.2
三向量a
、b
、c 共面
(abc
)Βιβλιοθήκη Baidu
0.
证明: 先证明必要性 “”，即已知三个矢 a,b, c
因共为面，三量求向证量a(a、bbc)、c0共. 面，所以 a b c，
（因为由定义可知：a b a且a b b）
(abc) 0. 证毕.
再证明充分性 “”，即已(abc) 0，求证:
例 3 已知空间内不在一平面上的四点
A( x1 , y1 , z1 )、B( x2 , y2 , z2 )、C ( x3 , y3 , z3 ) 、 D( x4 , y4 , z4 ), 求四面体的体积. 解 由立体几何知，四面体的体积等于以向量AB 、
AC 、 AD为棱的平行六面体的体积的六分之一.
又因为 (abc), (bca), (cab) 具有相同的左右手系,
(因为轮换不改变左右手系) c
a
b
即它们的符号也相同. 证毕. a
b bcc a
推论
(a b) c a (b c)
因为 (a b) c (abc) (bca) a (b c)
例1 设三向量 a, b, c 满足
ab
C(4, 3, 0), D(2, -1, 3), 求它的体积.
D
解: 它的体积等于以 AB, AC, AD
为棱的平行六面体体积的六分之一
即，V 1 (AB, AC, AD)
C
6
A
而，AB {6，06}， AC {4，3，0}，
B
AD {2，1，3}，
所以
606 V 1 4 3 0 1
6
2 1 3
a
b
平行六面体的体积. (a b) c a b c cos (a b,c)
3. 混合积的几何意义
| [abc] || a b c |
|
a
b
|
|
射影 c ab
|
S
h
V
ab
a
b
c
右手系时，(abc) V
a
b
h
c
b
S=|a b|
a
左手系时，(abc) V
c
3. 混合积的几何意义
| [abc] || a b c |
|
a
b
|
|
射影 ab
c
|
S
h
V
因此，三矢 a, b, c共面 其混合积 (abc) = 0
ab
h
c
b
a
定理1.9.1 三个不共面的矢量 a, b, c 的混合积的绝 对值等于以 a,b, c 为棱的平行六面体的体积, 并且 当 a,b, c 构成右手系时混合积为正数; 当 a,b, c
构成左手系时混合积为负数, 也就是有
1.9 三矢量的混合积
1.复习(数性积和矢性积)
数性积 a b a b cos (a,b) 是一个数量.
矢量a
与 b的
矢性积为
ab
是一个矢量.
| a b || a || b |
方向既垂直于
系{a
,b
,
a
b
sin (其中
a
，又垂直于
}.
为 a
与b
的夹角)
b ，且符合右手
a
b
现在考虑： （a b）c
)
0.
4.混合积的性质
定理1.9.3 (abc) (bca) (cab)
(bac) (cba) (acb)
证明: 三个矢量共面时,结论显然成立. 以下设它们不 共面. 只证明第一组. 第二组可以类似考虑.
(abc), (bca), (cab) 的绝对值都等于以 a,b, c 为
棱的平行六面体的体积, 即它们的绝对值相等.