对面积的曲面积分

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第四节对面积的曲面积分

4.1学习目标

了解对面积的曲面积分的概念、性质,掌握对面积的曲面积分的计算方法,会用曲面积分求一些几何量与物理量.

4.2内容提要

1.定义设函数(),,f x y z 在光滑曲面∑上有界,将曲面∑任意分成n 小块i S ∆(i S ∆也表示第i 小块曲面的面积),在i S ∆上任取一点(,,)i i i i M ξηζ,作乘积i i i i S f ∆),,(ζηξ(1,2,

,i n =)

,并作和()1,,n

i i i i i f s ξηζ=⋅∆∑,记各小曲面直径的最大值为λ,如果对曲面的任一分法和点(,,)i i i ξηζ的任意取法,当0λ→时,上述和式的极限都存在且相等,则称此极限值为函数(),,f x y z 在曲面∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分,记

=⎰⎰∑

dS z y x f ),,(0lim →λ

1

(,,)n

i i i i i f S ξηζ=∑∆.

【注】定义中的“i S ∆”是面积元素,因此,0i S ∆≥. 2.性质

①关于曲面具有可加性,若12∑=∑+∑,且1∑与2∑没有公共的内点,则

=⎰⎰∑

dS z y x f ),,(⎰⎰⎰⎰∑∑+2

1

),,(),,(dS z y x f dS z y x f ;

②当被积函数为1时,积分结果在数值上等于曲面∑的面积S ,即

S dS z y x f =⎰⎰∑

),,(.

3.对面积的曲面积分的计算

设曲面∑由(),z z x y =给出,∑在xoy 面上的投影区域为xy D ,函数(),z z x y =在xy D 上具有连续偏导数,被积函数(,,)f x y z 在∑上连续,则

(,,)(,,(,xy

D f x y z dS f x y z x y ∑

=⎰⎰⎰⎰

同样地

()

(

):,(,,),,,yz

x x y z D f x y z dS f x y z y z ∑=∑

⎡⎣=⎰⎰⎰⎰

()

(

):,(,,),,,xz

y y z x D f x y z dS f x y z x z ∑=∑

⎡⎣=⎰⎰⎰⎰

. 4.对面积的曲面积分的应用

设曲面∑上任意一点()z y x ,,处的面密度是()z y x ,,ρ,则 ①曲面的质量

()dS z y x m ⎰⎰∑

=,,ρ.

②曲面的质心()

z y x ,,

()()1

1,,,,,x x x y z dS y y x y z dS m m ρρ∑

=

=

⎰⎰⎰⎰,()1

,,z z x y z dS m ρ∑

=⎰⎰.

③曲面的转动惯量

()()22,,x I y z x y z dS ρ∑

=+⎰⎰,()()22,,y I x z x y z dS ρ∑

=+⎰⎰,

()()22,,z I x y x y z dS ρ∑

=+⎰⎰,()()222,,o I x y z x y z dS ρ∑

=++⎰⎰.

4.3典型例题与方法

基本题型I :计算对面积的曲面积分 例1填空题

设2

2

2

:4x y z ∑++=,则2

2()______x

y dS ∑

+=⎰⎰.

解由积分区域的对称性知

222

x dS y dS z dS ∑

==

⎰⎰⎰⎰

⎰⎰,于是 22

2222

()()3x y dS x y z dS ∑

+=++⎰⎰⎰⎰. 而积分在∑上进行,222

4x y z ++=,代入上式得,

故应填128

.3

π 例2选择题

设2222

:(0)x y z a z ∑++=≥,1∑为∑在第一卦限中的部分,则有() (A )1

4xdS xdS ∑

∑=⎰⎰⎰⎰;(B )1

4ydS xdS ∑

∑=⎰⎰⎰⎰;

(C )1

4zdS xdS ∑

∑=⎰⎰⎰⎰;(D )1

4xyzdS xyzdS ∑

∑=⎰⎰⎰⎰.

解因为曲面是上半球面,∑关于yoz 面对称且被积函数

1(,,)f x y z x =,

2(,,)f x y z xyz =都是变量x 的奇函数,于是0xdS xyzdS ∑

==⎰⎰⎰⎰.类似地,∑关于xoz

面对称且3(,,)f x y z y =是变量

y

的奇函数,于是0ydS ∑

=⎰⎰.而1

1

0,0xdS xyzdS ∑∑>>⎰⎰⎰⎰,

故应选(C ).事实上,由对称性,1

4zdS zdS ∑

∑=⎰⎰⎰⎰,1

1

zdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰,(C )正确.

【方法点击】在计算对面积的曲面积分时,应注意下列技巧:

(1)利用对称性,但要注意,曲面∑关于某坐标面对称,被积函数关于相应变量具有奇偶性,两者缺一不可.

(2)利用积分曲面∑的方程化简被积函数. 例3计算曲面积分

(22)x y z ds ∑

++⎰⎰,

其中∑是平面2220x y z ++-=被三个坐标面所截下的在第一卦限的部分.

解法一:222,2,2x y z x y z z ''∑=--=-=-.∑在xoy 平面上的投影是三角形,记为

:01,01D x y x ≤≤≤≤-.

2(22)2163x D

D

x y z ds z dxdy ∑

'++=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 解法二

2

1

2(22)22

232

2x y z ds dS ∑

⎛⎫++==+= ⎪ ⎪

⎝⎭

⎰⎰⎰⎰. 【方法点击】在解法二中,将曲面方程代入到了曲面积分里,因为积分曲面是一个三角

形,最后用到了三角形的面积公式.

例4计算22()I x y dS ∑

=

+⎰⎰,∑为立体122≤≤+z y x 的边界. 【分析】]根据积分曲面∑的方程,确定投影区域,计算曲面面积微元dS ,将曲面积

分转化为投影区域上的二重积分进行计算.

解设2

1∑+∑=∑,1∑为锥面22y x z +=

,10≤≤z ,在1∑上,

dS ==dxdy 2,

图4-1

2∑为1=z 上122≤+y x 部分,在2∑上,dS dxdy =,

21,∑∑在xOy 面的投影区域为22

:

1D x y +

≤,所以

=I

1

22()x y dS ∑+⎰⎰+2

22()x y dS ∑+⎰⎰ 21

2

2

31

1)()(1(12

D

x y dxdy d d π

π

θρρ=+=+=

+⎰⎰⎰⎰.

例5计算

⎰⎰∑

dS z 2,其中∑为42

2=+y x 介于6,0==z z 之间的部分.

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