对面积的曲面积分
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第四节对面积的曲面积分
4.1学习目标
了解对面积的曲面积分的概念、性质,掌握对面积的曲面积分的计算方法,会用曲面积分求一些几何量与物理量.
4.2内容提要
1.定义设函数(),,f x y z 在光滑曲面∑上有界,将曲面∑任意分成n 小块i S ∆(i S ∆也表示第i 小块曲面的面积),在i S ∆上任取一点(,,)i i i i M ξηζ,作乘积i i i i S f ∆),,(ζηξ(1,2,
,i n =)
,并作和()1,,n
i i i i i f s ξηζ=⋅∆∑,记各小曲面直径的最大值为λ,如果对曲面的任一分法和点(,,)i i i ξηζ的任意取法,当0λ→时,上述和式的极限都存在且相等,则称此极限值为函数(),,f x y z 在曲面∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分,记
=⎰⎰∑
dS z y x f ),,(0lim →λ
1
(,,)n
i i i i i f S ξηζ=∑∆.
【注】定义中的“i S ∆”是面积元素,因此,0i S ∆≥. 2.性质
①关于曲面具有可加性,若12∑=∑+∑,且1∑与2∑没有公共的内点,则
=⎰⎰∑
dS z y x f ),,(⎰⎰⎰⎰∑∑+2
1
),,(),,(dS z y x f dS z y x f ;
②当被积函数为1时,积分结果在数值上等于曲面∑的面积S ,即
S dS z y x f =⎰⎰∑
),,(.
3.对面积的曲面积分的计算
设曲面∑由(),z z x y =给出,∑在xoy 面上的投影区域为xy D ,函数(),z z x y =在xy D 上具有连续偏导数,被积函数(,,)f x y z 在∑上连续,则
(,,)(,,(,xy
D f x y z dS f x y z x y ∑
=⎰⎰⎰⎰
.
同样地
()
(
):,(,,),,,yz
x x y z D f x y z dS f x y z y z ∑=∑
⎡⎣=⎰⎰⎰⎰
,
()
(
):,(,,),,,xz
y y z x D f x y z dS f x y z x z ∑=∑
⎡⎣=⎰⎰⎰⎰
. 4.对面积的曲面积分的应用
设曲面∑上任意一点()z y x ,,处的面密度是()z y x ,,ρ,则 ①曲面的质量
()dS z y x m ⎰⎰∑
=,,ρ.
②曲面的质心()
z y x ,,
()()1
1,,,,,x x x y z dS y y x y z dS m m ρρ∑
∑
=
=
⎰⎰⎰⎰,()1
,,z z x y z dS m ρ∑
=⎰⎰.
③曲面的转动惯量
()()22,,x I y z x y z dS ρ∑
=+⎰⎰,()()22,,y I x z x y z dS ρ∑
=+⎰⎰,
()()22,,z I x y x y z dS ρ∑
=+⎰⎰,()()222,,o I x y z x y z dS ρ∑
=++⎰⎰.
4.3典型例题与方法
基本题型I :计算对面积的曲面积分 例1填空题
设2
2
2
:4x y z ∑++=,则2
2()______x
y dS ∑
+=⎰⎰.
解由积分区域的对称性知
222
x dS y dS z dS ∑
∑
∑
==
⎰⎰⎰⎰
⎰⎰,于是 22
2222
()()3x y dS x y z dS ∑
∑
+=++⎰⎰⎰⎰. 而积分在∑上进行,222
4x y z ++=,代入上式得,
故应填128
.3
π 例2选择题
设2222
:(0)x y z a z ∑++=≥,1∑为∑在第一卦限中的部分,则有() (A )1
4xdS xdS ∑
∑=⎰⎰⎰⎰;(B )1
4ydS xdS ∑
∑=⎰⎰⎰⎰;
(C )1
4zdS xdS ∑
∑=⎰⎰⎰⎰;(D )1
4xyzdS xyzdS ∑
∑=⎰⎰⎰⎰.
解因为曲面是上半球面,∑关于yoz 面对称且被积函数
1(,,)f x y z x =,
2(,,)f x y z xyz =都是变量x 的奇函数,于是0xdS xyzdS ∑
∑
==⎰⎰⎰⎰.类似地,∑关于xoz
面对称且3(,,)f x y z y =是变量
y
的奇函数,于是0ydS ∑
=⎰⎰.而1
1
0,0xdS xyzdS ∑∑>>⎰⎰⎰⎰,
故应选(C ).事实上,由对称性,1
4zdS zdS ∑
∑=⎰⎰⎰⎰,1
1
zdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰,(C )正确.
【方法点击】在计算对面积的曲面积分时,应注意下列技巧:
(1)利用对称性,但要注意,曲面∑关于某坐标面对称,被积函数关于相应变量具有奇偶性,两者缺一不可.
(2)利用积分曲面∑的方程化简被积函数. 例3计算曲面积分
(22)x y z ds ∑
++⎰⎰,
其中∑是平面2220x y z ++-=被三个坐标面所截下的在第一卦限的部分.
解法一:222,2,2x y z x y z z ''∑=--=-=-.∑在xoy 平面上的投影是三角形,记为
:01,01D x y x ≤≤≤≤-.
2(22)2163x D
D
x y z ds z dxdy ∑
'++=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 解法二
2
1
2(22)22
232
2x y z ds dS ∑
∑
⎛⎫++==+= ⎪ ⎪
⎝⎭
⎰⎰⎰⎰. 【方法点击】在解法二中,将曲面方程代入到了曲面积分里,因为积分曲面是一个三角
形,最后用到了三角形的面积公式.
例4计算22()I x y dS ∑
=
+⎰⎰,∑为立体122≤≤+z y x 的边界. 【分析】]根据积分曲面∑的方程,确定投影区域,计算曲面面积微元dS ,将曲面积
分转化为投影区域上的二重积分进行计算.
解设2
1∑+∑=∑,1∑为锥面22y x z +=
,10≤≤z ,在1∑上,
dS ==dxdy 2,
图4-1
2∑为1=z 上122≤+y x 部分,在2∑上,dS dxdy =,
21,∑∑在xOy 面的投影区域为22
:
1D x y +
≤,所以
=I
1
22()x y dS ∑+⎰⎰+2
22()x y dS ∑+⎰⎰ 21
2
2
31
1)()(1(12
D
x y dxdy d d π
π
θρρ=+=+=
+⎰⎰⎰⎰.
例5计算
⎰⎰∑
dS z 2,其中∑为42
2=+y x 介于6,0==z z 之间的部分.