保险精算课件 第1章利息理论共96页文档

2.1.4 名义利率和名义贴现率Βιβλιοθήκη 1.名义利率：所谓名义利率
i(m)
，是指每
1 m
个度量期支
付利息一次，而每 1 个度量期的实际利率为 i ( m ) 。
m
m
设与名义利率等价的实际利率为 i ，则有：
1i (1i(m) )m m
i (1i(m) )m 1 m
时间点：0 1 m
2
m 1
m
m
m 1 m
例3. 王亮1994年1月1日从银行借款10000元， 假设年利率为6%，试分别以单利和复利计算 （1）1994年5月20日他需还银行多少钱？ （2）2019年1月1日他需还银行多少钱？ （3）多少年后他需还15000元？
2.1.3 现值和贴现率 1.现值
●我们把为了在 t 期末得到某个积累值， 而在开始时投资的本金金额称为该积累 值的现值（或折现值）。显然，a-1(t)是 在t期末支付1单位的现值，在t期末支付k 单位的现值为k·a-1(t)。
（2）求相当于每月结算一次的年利率为12% 的半年结算一次的贴现率。
例2：求1万元按每年计息4次的年名义利率 6%投资三年的积累值。
例3：每年计息2次的年名义利率为10%，在6 年后支付5万元，求其现值。
2.1.5 利息力
利息力又称息力，是衡量确切时点上利率水平的
指标。记为 t ，则
t lt i0[m A (t t) tA (t)]A (t)A A '((tt))a a '((tt))
● 积累函数a (t)有时也称作 t 期积累因子;
称 a-1(t)为折现函数或 t 期折现因子。特别地， 把一期折现因子a-1(1)简称为折现因子。
● 在复利方式下，当年利率不变时
通常记
a1(t)
1 (1i)t
va1(1) 1 1i
a 1 (t )
现值
1
a (t)
本金
积累值
1 (1 i ) t
例1. 某人到银行存入1000元，第一年末他存折上的余 额为1050元，第二年末他存折上的余额为1100元， 问：第一年、第二年的实际利率分别是多少？
解：显然，A(0)=1000, A(1)=1050, A(2)=1100 因此，I ( 1 ) A ( 1 ) A ( 0 ) 5 ,I ( 0 2 ) A ( 2 ) A ( 1 ) 50
[1 d (m) ]m1 [1 d (m ) ]2
m
m
1 d (m) m
1
1i (1i(m) )m m
1d (1d(m) )m m
1d 1 1i
1d(m) [1i(m)]1(1i)1/m mm
d(m)m[1(1i)1/m] 或
1 d(m)
m1 i(1m)
d(m)
i(m) 1i(m)
/m
例1：（1）求与实际利率8%等价的每年计息 2次的年名义利率，以及每年计息4次的年 名义利率；
-t
-1
0
1
1
(1 d)t
1 d
1
1 d
-t
-1
0
1
(1 i)t
货币
t 时间
1 (1 d ) t 货币
t 时间
d i 1 i
1 v 1 i
d iv
以贴现率d投资1赚得的、在期初支付的利息是d, 也可以说d是i在一期前的现值。
例： 已知某项投资在一年中能得到的利息 金额为336元，而与本金等价的贴现额为 300元，求本金。
dnA (n) A (A n ()n 1 )a(n)a (a n ()n 1 )
dA (1)A (0)a(1)1i
A (1)
a(1) 1i
id(1i) 可解释为：在年末应付的利息是年初可
付利息的累积值。
1d 1 v 表明1-d在利率i下经过1年累积为1 1i
1
1
(1 i ) t
1 i 1 1i
个度量期以实际
贴现率 d ( m ) 计息的名义贴现率，设与之等价的实际
m
贴现率为 d ，则有：
1d (1d(m) )m m
d 1(1d(m) )m m
时间点： 0
1
m2
m
m
m 1 m 1
m
m
贴 现：d(m) [1d(m) ]m1 mm
d(m) [1 d(m) ] mm
d (m) 1 m
余 额： [1 d (m) ]m m
利 息：
i(m ) 1
i(m)
i(m)
[1 ]
m
mm
i(m)
i(m) [1
]m1
mm
余 额： 1 1 i ( m ) m
[1 i (m ) ]2 m
[1 i(m) ]m1
m
[1 i (m ) ]m m
2.名义贴现率：一个度量期内结算多次利息的贴现率
称为名义贴现率 。以d
(m )
表示每
1 m
A(0)
a(0) 1
1
A (t)A (0)a(t) 0
t
3.利息率：单位本金在单位时间内所滋生的利息.
i n 表示第n个基本计息时间单位的实际利率
in
A(n)A(n1) A(n1)
如果单位时间为1年，则1年内1单位本金的利息 就是实际年利率
i1A(1)A(0A )(0)a(1)1
2.1.2 单利和复利
i1
I (1) A(0)
50 5% 1000
i2
I (2) A(1)
50 1050
4.762%
例2. 某人存入银行5000元，年利率6%， 试分别以单利和复利计算5年后的积累值。
解：按单利计算， A(5)=5000×(1+5×6%) =5000×1.3=6500(元) 按复利计算， A(5)=5000×(1+6%)5 =6691.13(元)
• 单利：只在本金上计算利息
A (n ) A (0 )1 (i1 i2 in )
常数利率时 A (t)A (0 )1 (i)t
• 复利：利上生利的计息方式
A ( n ) A ( 0 )1 ( i 1 )1 ( i2 ) ( 1 in )
常数利率时 A(t)A(0)1 (i)t 此时累积函数为 a(t)(1i)t
-t
1
1 i 1 1i
-1
0
1
(1 i)t
货币
t 时间
2.贴现额
如果把应在将来某时期支付的金额提前 到现在支付，则在支付额中应扣除一部分金 额，这个扣除额称为贴现额。
利息是在本金基础上的增加额，贴现是 在累积额基础上的减少额。
3.贴现率
单位货币在单位时间内的贴现额。
以dn表示第n年贴现率，第1年的贴现率简化表示为d,有
2.1 利息基本理论
2.1.1 累积函数 1.总额函数 本 金：最初的投资额 A(0) 累积额：本金经过一定时间后形成金额 A(t) 利 息：累积额与本金之差 I (t )
A (t)A (0)I(t)
I(t)A (t)A (0)
2.累积函数：单位本金经过t年的累积额
a(t) A(t)
a (t )