平面几何的定值与最值问题

第二十三讲平面几何的定值与最值问题

【趣题引路】

传说从前有一个虔诚的信徒,他是集市上的一个小贩.••每天他都要从家所在的点A出发,到集市点B,但是,到集市之前他必须先拐弯到圆形古堡朝拜阿波罗神像.古堡是座圣城,阿波罗像供奉在古堡的圆心点O,•而周围上的点都是供信徒朝拜的顶礼地点如图1.

这个信徒想,我怎样选择朝拜点,才能使从家到朝拜点,•然后再到集市的路程最短呢?

(1) (2)

解析在圆周上选一点P,过P作⊙O的切线MN,使得∠APK=∠BPK,即α=β.那么朝圣者沿A→P→B的路线去走,距离最短.

证明如图2,在圆周上除P点外再任选一点P′.

连结BP•′与切线MN•交于R,AR+BR>AP+BP.

∵RP′+AP′>AR.

∴AP′+BP′=AP′+RP′+RB>AR+BP>AP+BP.

不过,用尺规作图法求点P的位置至今没有解决.•“古堡朝圣问题”属于数学上“最短路线问题”,解决它的方法是采用“等角原理”.

【知识延伸】

平面几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题.•所谓几何定值问题就是要求出这个定值.

在解决这类问题的过程中,可以直接通过计算来求出定值;也可以先考虑某一个特殊情形下的该相关值,然后证明当相应几何元素变化时,此值保持不变.

例1如果△ABC的外接圆半径R一定,求证: abc

S

是定值.(S表示△ABC的面积)

解析由三角形面积S=1

2

absinC和正弦定理

sin

c

C

=2R,

∴c=2RsinC.

∴abc

S

=

2

sin

c

C

=

4sin

sin

R C

C

=4R是定值.

点评通过正弦定理和三角形面积公式经过变形,计算出结果是4R,即为定值.

平面几何中不仅有等量关系,还有不等关系,例如在变动一些几何元素时,•某一相关的值保持不大于(或不小于)某个定值,如果这个定值在某个情形下可以取得,•这就是一个几何极值.确定几何极值的问题称为几何极值问题,解决这些问题总要证明相关的几何不等式,并指明不等式成为等式的情形(或者至少证明不等式可以成为等式).

例2 如图,已知⊙O的半径R=33,A为⊙O上一点,过A作一半径为r=3的⊙O′,

问OO′何时最长?最长值是多少?OO′何时最短?最短值是多少?

解析当O′落在OA的连线段上(即⊙A与线段OA的

交点B时)OO′最短,且最短长度为33-3 ;

当O′落在OA的延长线上(即⊙O与OA的延长线交点

C时)OO′最长,且最长的长度为33+3 .

点评

⊙O′是一个动圆,满足条件的⊙O′有无数个,但由

于⊙O′过A点,所以⊙O′的圆心O′在以A为圆心半径为3的⊙A上.

【好题妙解】

佳题新题品味

例1 如图,已知P为定角O的角平分线上的定点,过O、

P•两点任作一圆与角的两边分别交于A、B两点.

求证:OA+OB是定值.

证明连结AP、BP,由于它们为有相同圆周角的

弦,AP=PB,不妨记为r.•另记x1=OA,x2=OB.

对△POA应用余弦定理,

得x12+OP2-2OP·cos∠AOP·x1=r2.

故x1为方程x2-2OP·cos 1

2

∠AOB·x+(O P2-r2)=0的根,同理x2亦为其根.

因此x1,x2为此方程的两根,由韦达定理,得x1+x2=2OP(1

2

∠AOB)是定值.

点评

当x1=x2时,x1+x2为此定值,事实上此时OP一定是直径.

例2 如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=9,⊙O与外切,且

⊙O与AB、BC•相切.⊙O′与AD、CD相切,设⊙O的半径为x,⊙O与⊙O′的面积的和为S,求S•的最大值和最小值.

解析设⊙O′的半径为y,过O与O′分别作CD与BC

的垂线OH,O ′F,•垂足分别为H,F,OH 、O ′F 交于点E,则有:O ′E=8-(x+y),OE=9-(x+y) 由勾股定理可得:

(x+y)2=[8-(x+y)]2+[9-(x+y)]2. 整理,得(x+y-29)(x+y-5)=0,

由题意知1≤x ≤4,∴x+y=5,y=-x+5,∴S=πx+πy=π(2x-10x+25),

=2π[(x-52)2+254], 故当x=52时,S min =

25

2

π; 当x=4时,S=17π. 点评 先由已知求出⊙O ′的半径也⊙O 的半径x 之间的关系,然后再根据面积公式写出

S 与x 之间的关系,这个关系就是一个函数关系,再通过函数的性质得解.

中考真题欣赏

例 (南京市中考题)如图,⊙O 1与⊙O 2内切于点P,又⊙O 1

切⊙O 2•的直径BE 于点C,连结PC 并延长交⊙O 2于点A,设⊙O 1,⊙O 2的半径分别为r 、R,且R ≥2r.•求证:PC ·AC 是定值.

解析 若放大⊙O 1,使⊙O 1切⊙O 2的直径于点O 2(如图), 显然此时有PC ·AC=PO 2·AO 2=2r ·R(定值). 再证明如图的情况:连结C O 1,PO 2,• 则PO 2•必过点O 1,•且O 1C ⊥BE,

得CO 2=22

121O O O C -=22R Rr -,

从而BC=R+22R Rr -,EC=R-2

2R Rr -.

所以PC ·AC=EC ·BC=2Rr,故PC ·AC 是定值. 点评

解答几何定值问题时,可先在符合题目条件的前提下用

运动的观点,从特殊位置入手,找出相应定值,然后可借助特殊位置为桥梁,完成一般情况的证明.

竞赛样题展示

例1 (第十五届江苏省初中数学竞赛题)如图,正方形ABCD 的边长为1,•点P 为边BC 上任意一点(可与点B 或点C 重合),分别过点B 、C 、D 作射线AP 的垂线,•垂足分别为点B ′、C ′、D ′.

求BB ′+CC ′+DD ′的最大值和最小值.

解析 ∵S △DPC = S △APC =

1

2

AP ·CC ′, 得S 四边形BCDA = S △ABP + S △ADP + S △DPC

=

1

2

AP(BB ′+DD ′+CC ′), 于是BB ′+CC ′+DD ′=2

AP

.