湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案

2016年湖南省普通高中学业水平考试试卷

数 学

本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分。

时量120分钟，满分100分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 图1是某圆柱的直观图，则其正视图是

A ．三角形

B ．梯形

C ．矩形

D ．圆

2. 函数cos ,y x x R =∈ 的最小正周期是

A ．2π

B ．π

C ．2π

D ．4

π 3. 函数()21f x x =- 的零点为

A ．2

B ．12

C ．12

- D ．2- 4. 执行如图2所示的程序框图，若输入a, b 分别为

4, 3， 则输出的S =

A ．7

B ．8

C ．10

D ．12

5. 已知集合{|13},{|25}M x x N x x =<<=<< ，

则M N =

A ．{|12}x x <<

B ．{|35}x x <<

C ．{|23}x x <<

D ．φ

6. 已知不等式组4,0,0x y x y +≤⎧⎪>⎨⎪>⎩

表示的平面区域为Ω ，则下列坐标对应的点落在区域Ω

内 的是

A ．(1,1)

B ．(3,1)--

C ．(0,5)

D ．(5,1)

7. 已知向量(1,)a m =，(3,1)b =， 若a b ⊥，则m =

A ．3-

B ．1-

C ．1

D ．3

8. 已知函数()y x x a =- 的图象如图3所示，则不等式()0x x a -<的解集为

A ．{|02}x x ≤≤

B ．{|02}x x <<

C ．{|0x x ≤或2}x ≥

D ．{|0x x <或2}x >

9. 已知两直线20x y -=和30x y +-= 的交点为M ，

则以点M 为圆心，半径长为1的圆的方程是

A ．22(1)(2)1x y +++=

B ．22(1)(2)1x y -+-=

C ．22(2)(1)1x y +++=

D ．22(2)(1)1x y -+-=

10. 某社区有300户居民，为了解该社区居民的用水情况，从中随机抽取一部分住户

某年每月的用水量(单位：t)进行分

析，得到这些住户月均用水量的频率分布

直方图（如图4），由此可以估计该社区

居民

月均用水量在[4,6) 的住户数为

A ．50

B ．80

C ．120

D ．150

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分2，0分.

11. 若sin 5cos αα=，则tan α=____________.

12. 已知直线1:320l x y -+= ，2:10l mx y -+=. 若12//l l ，则m =________.

13. 已知幂函数y x α=（α为常数）的图象经过点(4,2)A ，则α= ________.

14. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 若2a =，3b =，1cos 4C =- ，则c =_______.

15. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此收集若干数据，

并对数据进行分析，得到加工时间(min)y 与零件数x （个）的回归方程为0.6751y x =+ . 由此可以预测，当零件数为100个时，加工时间为__________.

三、解答题：本大题共5小题，满分40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. (本小题满分6分)

从一个装有3个红球123,,A A A 和2个白球12,B B 的盒子中，随机取出2个球.

（1）用球的标号列出所有可能的取出结果；

（2）求取出的2个球都是红球的概率.

17. (本小题满分8分)

已知函数2()(sin cos ),f x x x x R =+∈ .

（1）求()4

f π 的值； （2）求()f x 的最小值，并写出()f x 取最小值时自变量x 的集合.

18. (本小题满分8分)

已知等差数列{}n a 的公差2d =，且126a a += .

（1）求1a 及n a ；

（2）若等比数列{}n b 满足11b a =，22b a =， 求数列{}n n a b +的前n 项的和n S .

19. (本小题满分8分)

如图5，四棱锥P ABCD - 的底面是边长为2的菱形，PD ⊥ 底面ABCD .

（1）求证：AC ⊥ 平面PBD ；

（2）若2PD = ，直线PB 与平面ABCD 所成的角为45 ，求四棱锥P ABCD -的体积.

20. (本小题满分10分)

已知函数()log a f x x = (0a >，且1a ≠ )，

且

(3)1f = . (1) 求a 的值，并写出函数()f x 的定义域；

(2) 设()(1)(1)g x f x f x =+-- ，判断()g x 的奇偶性，并说明理由；

(3) 若不等式(4)(2)x x f t f t ⋅≥- 对任意[1,2]x ∈ 恒成立，求实数的取值范围.

2016年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷

参考答案及评分标准

一、选择题(每小题4分，满分40分)

1. C

2. A

3. B

4. D

5. C

6. A

7. A

8. B

9. D 10. C 二?、填空题(每小题4分，满分20分) 11. 5 12. 3 13. 12

14. 4 15. 118 三?、解答题(满分40分)

16. 【解析】(1) 所有可能的取出结果共有10个： 12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，23A A ，

21A B ，22A B ，31A B ，32A B ，12B B . …… 3分

（2）取出的2个球都是红球的基本事件共有3个：12A A ，13A A ，23A A .

所以，取出的2个球都是红球的概率为310

. …… 6分 17. 【解析】()12sin cos 1sin 2f x x x x =+=+ . (1) ()1sin 242

f ππ=+= . …… 4分 (2) 当sin 21x =- 时，()f x 的最小值为0，此时222

x k ππ=-+ ，即 ()4

x k k Z ππ=-+∈ . 所以()f x 取最小值时x 的集合为{|,}4

x x k k Z ππ=-+∈. …… 8分 18. 【解析】(1) 由126a a +=，得126a d +=. 又2d =，所以12a =，… 2分

故22(1)2n a n n =+-= . …… 4分

(2) 依题意，得122,24b b q ===，即2q =，所以2n n b =. 于是22n n n a b n +=+ . 故2(242)(222)n n S n =+++++++212 2.n n n +=++- ……… 8分

19.【解析】(1) 因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥ .

又因为PD ⊥ 底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD AC ⊥.

故 AC ⊥ 平面PBD . …… 4分

(2) 因为PD ⊥底面ABCD ，所以PBD ∠是直线PB 与平面ABCD 所成的角. 于是45PBD ∠=，因此2BD PD == ，又2AB AD == ，所以菱形ABCD 的面积为sin 602 3.S AB AD =⋅⋅=

故四棱锥P ABCD -的体积13V S PD =⋅= …… 8分 20.【解析】(1) 由(3)1f = ，得log 31a = ，所以3a = . …… 2分

函数3()log f x x =的定义域为(0,)+∞. …… 4分