1.9 三向量的混合积

a b ac b c
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解析几何
一、混合积的概念
定义 1.9.1
给定空间三个向量 a, b, c ，如果先作前两个
向量 a 与 b 的向量积，再作所得的向量与第三个向量 c 的 数量积，最后得到的这个数叫做三向量 a, b, c 的混合积， 记做 a b c 或 a, b, c 或 abc .
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解析几何
例2 已知 (abc) 2 ，
计算[(a b ) (b c )] (c a ) . 解 [(a b ) (b c )] (c a ) [a b a c b b b c )] (c a ) (a b ) c (a c ) c 0 c (b c ) c 0 0 (a b ) a (a c ) a 0 a (b c ) a 0 0 (a b ) c 2(a b ) c 2[ab c ] 4.
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ab
c
h

b
a
解析几何
由数量积的定义（a b）c a b c cos S c cos ， a b， c


当{O； a， b， c}成右手系时， 0 ，h c cos ， 2 （a b）c Sh V.
特别地，当 a b 时，即 a a c 0 或 a, a, c 0 .






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解析几何
二、混合积的几何意义
定理 1.9.1
三个不共面向量 a, b, c 的混合积的绝
对值等于以 a, b, c 为棱的平行六面体的体积V ，并 且当 a, b, c 构成右手系时混合积是正数；当 a, b, c 构 成左手系时，混合积是负数，
2 1 3 1 四面体ABCD的体积V （AB， AC， AD） 1. 6
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解析几何
例 4 设 a， b， c 为三个不共面的向量，求向量 d 对于 a， b， c的 分解式.
解：因为a， b， c不共面，故d可分解为a， b， c的线性组合 设d xa yb zc，在等式两边分别与b c作数量积， 则有（dbc ） x（abc ）+y（bbc ）+z（cbc ）. 因为（bbc ）=（cbc ）=0，所以（dbc ） x（abc ）. （dbc ） 又因为a， b， c不共面，所以（abc ） 0，因此x ， （abc ） （adc ） （abd） 同理可得y ，z . （abc ） （abc ）
ab b a





a b a b a b


a b a b a b


a b c ac bc
aa a
2
a b c a c b c
证：当a， b共线，即a b 0时，或c 0时，显然a， b， c共面且 （a， b， c） 0， 下证a， b不共线且c 0时该定理也成立. 若（a， b， c） 0，即（a b） c 0，则有a b c，又有向量积 的定义知a b a， a b b，所以a， b， c共面. 若a， b， c共面，由a b a， a b b知a b c，于是（a b） c 0， 即（a， b， c） 0.
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定理 1.9.3 轮换混合积的三个因子，并不改变它的值， 对调任何两个因子要改变乘积符号，即
abc bca cab bac cba acb .
推论
a b c a b c
当{O； a， b， c}成左手系时， ，h c cos （ ） 2 c cos ， （a b）c Sh V.
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ab
c
h

.
b
a
解析几何
三、混合积的性质
定理 1.9.2 三向量共面的充要条件是 abc 0 .
X1 X Y j 1 1 k， X2 X 2 Y2 Z1 Z2 . Z3
X3
Y1 Y2
证：由向量积的坐标表示知a b Y1 所以（abc）（ a b） c X3 Y2
Z1 Z i 1 Z2 Z2
Z1 Z1 Y3 Z2 Z2
X 1 Y1 X1 X 1 Y1 +Z3 X 2 Y2 X2 X 2 Y2 X 3 Y3
§1.9 三向量的混合积
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一、混合积的概念
二、混合积的几何意义 三、混合积的性质 四、混合积的坐标表示
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数的乘法
向量的数量积
向量的向量积
ab ba
ab a b a b
a b b a
也就是有
abc V ，
当 a, b, c 是右手系时, 1 ；当 a, b, c 是左手系时, 1 .
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证：因为a， b， c不共面，把它们归结到 共同的始点O并作以它们为棱的平行 六面体，它的底面是以a， b为边的平行 四边形， 面积S a b ， 它的高为h， 则体积V S h，
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例 1 设三向量 a， b， c 满足 a b b c c a 0 ， 试证三向量 a ， b ， c 共面.
证：由a b b c c a 0两边与c作数量积得 （abc） （bcc）+（cac） 0，而（bcc）（ cac） 0， 所以（abc） 0，即a， b， c共面.
aa a a
2 2
a b c a c b c
a a＝0
a b 0 a 0 或 b 0
ab 0 a 0 或 b 0
ab ac b c
a b 0 a 0 或b 0
a b a c b c
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例 3 已知四面体 ABCD 的顶点坐标 A 0,0,0 , B 6,0,6 ,
C 4,3,0 , D 2, 1,3 ,求它的体积.
解： AB {6， 0，， 6} AC {4， 3，， 0} AD {2， 1，， 3} 6 所以（AB， AC， AD） 4 0 3 6 0 6.
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四、混合积的坐标表示
定理 1.9.4 如果 a X1i Y1 j Z1 k ， b X 2 i Y2 j Z2 k ， c X 3 i Y3 j Z3 k ， 那么
abc X
X1
2
Y1 Y2 Y3
ห้องสมุดไป่ตู้
Z1 Z2 . Z3