2020年高考数学二轮提升专题训练考点20 圆锥曲线的基本量问题(附答案解析)

考点20 圆锥曲线的基本量问题

【知识框图】

【自主热身，归纳总结】

1、(2019无锡期末）以双曲线x 25－y 2

4＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是________．

【答案】y 2＝12x

【解析】双曲线x 25－y 24＝1的右焦点为F(3，0)，设抛物线的标准方程是y 2＝2px(p>0)，则p

2＝3，故p ＝6，所

以抛物线的标准方程是y 2＝12x.

2、(2019苏锡常镇调研）已知双曲线C 的方程为2

214

x y -=，则其离心率为 ． 【答案】

25

【解析】因为42

=a ，12

=b ，所以52

2

2

=+=b a c ，故离心率为.2

5==

a c e 3、(2019泰州期末）若抛物线y 2＝2px(p>0)的准线与双曲线x 2－y 2＝1的一条准线重合，则p ＝________． 【答案】2

【解析】双曲线中：c ＝2，所以双曲线的准线为：x ＝±12＝±22，因为抛物线的开口向右，准线为x ＝－p

2，

所以－p 2＝－2

2，解得p ＝ 2.

4、(2019南京、盐城一模）若双曲线x 22－y 2

m ＝1的离心率为2，则实数m 的值为________．

【答案】 6

【解析】由题意，a 2＝2，b 2＝m ，e ＝c

a

＝2，即c 2＝(2a)2＝4a 2＝8＝a 2＋b 2＝2＋m ，所以m ＝6.

5、(2019苏州期末）在平面直角坐标系xOy 中，中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(－3，1)，则该双曲线的离心率为________．

【答案】10

【解析】思路分析 由渐近线经过点(－3，1)，确定a ，b 的比值．

设双曲线方程为y 2a 2－x 2

b

2＝1(a>0，b>0)，则渐近线方程为by±ax ＝0.

由点(3，－1)在一条渐近线上，得b ＝3a ，所以a ∶b ∶c ∶＝1∶3∶10，离心率e ＝c

a ＝10.

解后反思 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线方程为x 2a 2－x 2

b

2＝0.

6、(2019常州期末） 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，直线x ＋y ＋2＝0经过双曲线C 的

焦点，则双曲线C 的渐近线方程为________． 【答案】y ＝±3x

【解析】直线x ＋y ＋2＝0中，令y ＝0，得x ＝－2，所以c ＝2.因为c

a ＝2，所以a ＝1.由a 2＋

b 2＝

c 2，得b ＝3，

所以渐近线方程为y ＝±b

a

x ，即y ＝±3x.

7、(2017年南通一模)已知椭圆x 2m ＋y 2

n ＝1(m ＞n ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是以椭圆短轴为直径的圆

上任意一点，则PF 1→·PF 2→

＝________. 【答案】 2n －m

解法1 PF 1→·PF 2→＝(PO →＋OF 1→)·(PO →＋OF 2→)＝(PO →＋OF 1→)·(PO →－OF 1→)＝|PO →|2－|OF 1→|2＝n －(m －n )＝2n －m .

解法2 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x ，y )，则x 2＋y 2＝n ，PF 1→·PF 2→

＝(x ＋c )(x －c )＋y 2＝x 2＋y 2－c 2＝n －(m －n )＝2n －m .

8、(2019南通、泰州、扬州一调）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px(p>0)的准线为l ，直线l 与双曲线x 24－y 2

＝1的两条渐近线分别交于A ，B 两点，AB ＝6，则p 的值为________．

【答案】 2 6

【解析】抛物线的准线l 方程为x ＝－p 2，双曲线的两条渐近线为y ＝±12x ，令x ＝－p 2，则y ＝±p 4，所以AB ＝

p

2＝6，所以p ＝26，故答案为2 6.

9、(2017南京三模）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 22m 2－y 2

3m ＝1的焦距为6，则所有满足条件的实数m

构成的集合是 ． 【答案】{3

2}

【解析】由题意可得：0m >.又因为双曲线的焦距为6，所以2

239m m +=

解得3m =-（舍）或32m =

，故实数m 取值集合为32??????

. 10、(2018苏州期末） 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)与椭圆x 216＋y 2

12＝1的焦点重合，离心率互为倒数，

设F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上任意一点，则PF 21

PF 2的最小值为________．

【答案】8

【解析】：设椭圆的长半轴长为a 1，短半轴长为b 1，半焦距为c ，则c ＝a 21－b 21＝16－12＝2，故椭圆的离

心率e 1＝c a 1＝12，从而双曲线的离心率e ＝c a ＝1

e 1＝2，可得a ＝1，根据双曲线的定义有PF 1－PF 2＝2a ，即PF 1

＝PF 2＋2，故PF 21

PF 2＝（PF 2＋2）2PF 2＝PF 22＋4PF 2＋4PF 2＝PF 2＋4PF 2＋4，由双曲线的范围可得PF 2≥c －a ＝1，根据基

本不等式可得PF 2＋4

PF 2＋4≥2

PF 2×4PF 2＋4＝8，当且仅当PF 2＝4PF 2，即PF 2＝2时取“＝”，所以PF 21

PF 2

的最

小值为8.

【问题探究，变式训练】 题型一 椭圆的标准方程

知识点拨：求椭圆的标准方程，本质就是要求a ，b 的值，为此，要找到两个关于a ，b 的方程组，题目中往往涉及到离心率或者点在圆上。

例1、(2019泰州期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a>b>0)的左顶点为A ，点B 是

椭圆C 上异于左、右顶点的任一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q.已知椭圆C 的离心率为1

2

，点A 到右准线的距离为6.

(1) 求椭圆C 的标准方程；

(2) 设点Q 的横坐标为x 0，求x 0的取值范围．

思路分析 (1)根据题意，建立关于a ，c 的方程组，求出a ，c 的值，进而确定b 的值，得到椭圆的s 标准方程．

(2)设出点B 的坐标为(m ，n)，用m ，n 表示x 0，然后再减元转化为关于m 的一元函数求求其值域．也可以设出直线AB 的方程，并与椭圆方程联立，结合根与系数的关系，得到点B 和P 的坐标，进而求得直线BQ 和PQ 的方程，由两直线方程联立求得交点Q 的横坐标x 0，根据函数的值域求得x 0的取值范围．

规范解答 (1) 由题意得c a ＝12，a 2

c ＋a ＝6，解得a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为

x 24＋y 2

3

＝1.(4分) (2) 解法1设B(m ，n)，则m 24＋n 2

3

＝1.

因为A(－2，0)，AB ⊥BQ ，所以直线BQ 的方程为y ＝－

m ＋2

n

(x －m)＋n ，因为P 是AB 的中点，所以P(m －22，n 2)，所以直线OP 的方程为y ＝n m －2x ，联立直线BQ ，OP 的方程得－m ＋2n (x －m)＋n ＝n m －2x ，(8

分)

解得x 0＝（m －2）（m 2＋2m ＋n 2）m 2－4＋n 2

，

由m 24＋n 23＝1得n 2＝－3

4(m 2－4)，代入上式化简得x 0＝m ＋6，(14分) 因为－2

解法2 设直线AB 的方程为y ＝k(x ＋2)，k ≠0.

将y ＝k(x ＋2)代入椭圆方程x 24＋y 2

3＝1得(4k 2＋3)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，

解得x B ＝－8k 2＋64k 2＋3，所以y B ＝k ? ????－8k 2＋64k 2

＋3＋2＝12k 4k 2＋3， 则直线BQ 的方程为y －12k 4k 2＋3＝－1

k (x －－8k 2＋64k 2＋3

)，

因为P 是AB 的中点，则x P ＝x A ＋x B 2＝－2＋－8k 2＋64k 2

＋32＝－8k 24k 2＋3，y P ＝12y B ＝6k

4k 2＋3，

所以直线OP 的斜率为6k

4k 2＋3－8k

24k 2＋3＝－34k ，则直线OP 的方程为y ＝－3

4k x ，(8分) 联立直OP ，BQ 的方程得x 0＝16k 2＋244k 2＋3＝4＋12

4k 2＋3，(14分)

因为4k 2＋3>3，所以0<124k 2＋3<4，4<4＋12

4k 2＋3

<8，即4

解后反思 直线和椭圆相交求范围(最值)问题，第(2)问解法1设出关键点B 的坐标(m ，n)，建立关于点中参数m ，n 的目标函数，进一步转化为函数法或不等式法来解决；解法2通常设出直线的方程，并与椭圆方程联立，进而转化关于x 或y 的一元二次方程，通过根与系数关系，运用设而不求的思想，得到点的坐标，建立关于线中参数m 的目标函数，进一步转化为函数法或不等式法来解决. 这两种解法都较常见. 解法1参量多一点，但运用得当，也很方便，这里解法1在建立目标函数后就显得很简单，解法2参量少目标集中． 【变式1】(2019苏州期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为1

2

的椭圆E 的左

顶点为A ，点A 到右准线的距离为6.

(1) 求椭圆E 的标准方程；

(2) 过点A 且斜率为3

2的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于M 点，求M 点的

坐标．

解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a>b>0)，半焦距为

c ，

因为椭圆的离心率为12，所以c a ＝1

2

，即a ＝2c ，

又因为A 到右准线的距离为6，所以a ＋a 2

c ＝3a ＝6，(2分)

解得a ＝2，c ＝1，(4分) 所以

b 2＝a 2－

c 2＝3，所以椭圆

E 的标准方程为x 24＋y 2

3

＝1.(6分)

(2) 直线AB 的方程为y ＝3

2

(x ＋2)，

由???y ＝3

2（x ＋2），x 2

4＋y

2

3＝1，

得x 2

＋3x ＋2＝0，解得x ＝－2或x ＝－1.

则B 点的坐标为?

???－1，3

2.(9分) 由题意，右焦点F(1，0)，所以直线BF 方程为y ＝－3

4(x －1)，(11分)

由?

??y ＝3

2（x ＋2），x 24＋y

23

＝1，得7x 2－6x －13＝0，解得x ＝－1或x ＝13

7，(13分)

所以，点M 坐标为????137

，－9

14.(14分) 【变式2】(2016徐州、连云港、宿迁三检）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P ????1，32在椭圆C ：x 2

a 2＋y

2

b

2＝1(a >b >0)上，P 到椭圆C 的两个焦点的距离之和为4.

(1) 求椭圆C 的方程；

(2) 若点M ，N 是椭圆C 上的两点，且四边形POMN 是平行四边形，求点M ，N 的坐标． . 规范解答 (1)由题意知，1a 2＋9

4b

2＝1,2a ＝4. (2分)

解得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆的方程为

x 24＋y 2

3

＝1. (4分) (2) 解法1 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则ON 的中点坐标为????x 22，y 22，PM 的中点坐标为? ??

??1＋x 12，32＋y 12. 因为四边形POMN 是平行四边形，所以????

?

1＋x 12＝x 2

2

，3

2＋y 1

2＝y 2

2.

)即?????

x 1＝x 2

－1，y 1＝y 2－3

2

.)(6分) 由点M ，N 是椭圆C 上的两点， 所以?

????

3x 22

＋4y 22＝12，3(x 2－1)2＋4????y 2－322＝12.)(8分) 解得?????

x 2＝2，y 2＝0)或?

?

???

x 2＝－1，

y 2＝3

2

.) (12分)

由?????

x 2＝2，

y 2＝0，)得?

?

???

x 1＝1，

y 1＝－32

.)由?

????

x 2＝－1，y 2＝3

2，)得?????

x 1＝－2，

y 1＝0.) 所以点M ????1，－3

2，点N(2,0)；或点M(－2,0)， 点N ?

???－1，3

2.(14分) 解法2 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，因为四边形POMN 是平行四边形，所以ON →＝OP →＋OM →， 所以(x 2，y 2)＝????1，3

2＋(x 1，y 1)，即?????

x 2＝1＋x 1，y 2＝32＋y 1，(6分)

由点M ，N 是椭圆C 上的两点，

所以(8分)

用②－①得x 1＋2y 1＋2＝0，即x 1＝－2－2y 1，

代入(1)中得

3(－2－2y 1)2＋4y 21＝12，整理得

2y 21＋3y 1＝0，所以

y 1＝0或y 1＝－3

2，于是?

????

x 1＝－2，y 1＝0或

?

????

x 1

＝1，y 1＝－32，(12分) 由????

?

x 1＝－2，y 1＝0，得?

?

???

x 2＝－1，

y 2＝32

.由?????

x 1＝1，y 1＝－3

2，

得????

?

x 2＝2，y 2＝0.)

所以点M ????1，－3

2，点N(2,0)；或点M(－2,0)， 点N ?

???－1，3

2.(14分) 解法3 因为四边形POMN 是平行四边形，所以OP →＝MN →， 因为点P ???

?1，3

2，所以|MN|＝|OP|＝1＋94＝132，且k MN ＝k OP ＝3

2

，(6分) 设直线MN 方程为y ＝3

2

x ＋m(m ≠0)，

联立???

y ＝3

2x ＋m ，x 2

4＋y

2

3＝1，

)得3x 2＋3mx ＋m 2－3＝0，(*)

所以Δ＝(3m)2－4×3(m 2－3)>0，即m 2－12<0，从而m ∈(－23，0)∪(0,23)， 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－3

3，(8分)

且|MN|＝

1＋k 2|x

1－x 2|＝132·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝132

·m 2－

4(m 2－3)3＝132·4－1

3

m 2， 又知|MN|＝

132，所以132·4－13m 2＝13

2

， 整理得m 2－9＝0，所以m ＝3或m ＝－3.(12分)

当m ＝3时，(*)可化为3x 2＋9x ＋6＝0，即x 2＋3x ＋2＝0，故x ＝－1或x ＝－2， 代入直线MN ：y ＝3

2

x ＋3得两交点M(－2,0)，N ????－1，32； 当m ＝－3时，(*)可化为3x 2－9x ＋6＝0，即x 2－3x ＋2＝0，故x ＝1或x ＝2， 代入直线MN ：y ＝3

2x －3得两交点M ????1，－32，N(2,0)， 所以点M ????1，－3

2，点N(2,0)；或点M(－2,0)， 点N ????－1，3

2.(14分)

【变式3】(2016常州期末）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的离心率是e ，定义直线y

＝±b

e

为椭圆的“类准线”．已知椭圆C 的“类准线”方程为y ＝±23，长轴长为4.

(1) 求椭圆C 的方程；

(2) 点P 在椭圆C 的“类准线”上(但不在y 轴上)，过点P 作圆O ：x 2＋y 2＝3的切线l ，过点O 且垂直于OP 的直线与l 交于点A ，问点A 是否在椭圆C 上？证明你的结论．

规范解答 (1) 由题意得?????

ab c ＝23，

a ＝2，又a 2＝

b 2＋

c 2，解得b ＝3，c ＝1，(4分)

所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2

3＝1.(5分)

(2) 点A 在椭圆C 上．证明如下：

设切点为Q (x 0，y 0)，x 0≠0，则x 20＋y 2

0＝3，切线l 的方程为x 0x ＋y 0y －3＝0，

当y P ＝23时，x P ＝

3－23y 0x 0，即P 3－23y 0

x 0

，23， 则k OP ＝233－23y 0x 0

＝2x 0

3－2y 0

，(7分)

所以k OA ＝2y 0－32x 0，直线OA 的方程为y ＝2y 0－3

2x 0

x .(9分)

由?????

y ＝2y 0－32x 0x ，x 0x ＋y 0y －3＝0解得?

?

???

x ＝

6x 0

6－3y 0，

y ＝3(2y 0－3)6－3y 0

，

即A 6x 0

6－3y 0，3(2y 0－3)6－3y 0，(11分)

因为6x 06－3y 024＋3(2y 0－3)6－3y 0

23

＝9(3－y 20)＋3(4y 20－43y 0

＋3)3y 20－123y 0＋36

＝3y 20－123y 0＋36

3y 20－123y 0＋36

＝1， 所以点A 的坐标满足椭圆C 的方程．(14分)

当y P ＝－23时，同理可得点A 的坐标满足椭圆C 的方程， 所以点A 在椭圆C 上．(16分)

【变式4】(2019南京学情调研）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为2

2，且直

线l ：x ＝2被椭圆E 截得的弦长为2.与坐标轴不垂直的直线交椭圆E 于P ，Q 两点，且PQ 的中点R 在直线l 上．点M(1，0)．

(1) 求椭圆E 的方程； (2) 求证：MR ⊥PQ.

思路分析 第(2)问，欲证“MR ⊥PQ ”，我们可以从两直线垂直，斜率乘积等于－1入手，也可以从向量的数量积为0入手，这样就产生了解法1和解法2.

规范解答 (1)因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝22，所以e 2

＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2. (2分)

因为直线l ：x ＝2被椭圆E 截得的弦长为2， 所以点(2，1)在椭圆上，即4a 2＋1

b 2＝1.

解得a 2＝6，b 2＝3，

所以椭圆E 的方程为x 26＋y 2

3

＝1.(6分)

(2)解法1(设线法) 因为直线PQ 与坐标轴不垂直，故设PQ 所在直线的方程为y ＝kx ＋m. 设 P(x 1，y 1)，Q(x 2, y 2) .

因为PQ 的中点R 在直线 l ：x ＝2上，故R(2，2k ＋m)． 联立方程组?

??

y ＝kx ＋m ，x 26＋y 23＝1，

消去y ，并化简得 (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0, (9分) 所以x 1＋x 2＝－4km

1＋2k 2

.

由x 1＋x 2＝－4km

1＋2k 2

＝4，得1＋2k 2＝－km.(12分) 因为M(1，0)，故k MR ＝2k ＋m

2－1

＝2k ＋m ，

所以k MR ·k PQ ＝(2k ＋m)k ＝2k 2＋km ＝2k 2－(1＋2k 2)＝－1，所以MR ⊥PQ.(16分) 解法2(设点法) 设P(x 1，y 1)，Q(x 2, y 2)．

因为PQ 的中点R 在直线 l ：x ＝2上，故设R(2，t)．

因为点P ，Q 在椭圆E ：x 26＋y 23＝1上，所以???x 216＋y 213＝1，x 226＋y 22

3＝1，

两式相减得(x 1＋x 2) (x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2) (y 1－y 2)＝0.(9分) 因为线段PQ 的中点为R ，所以x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2t. 代入上式并化简得(x 1－x 2)＋t (y 1－y 2)＝0.(12分) 又M(1，0)，

所以MR →·PQ →

＝(2－1)×(x 2－x 1)＋(t －0)×(y 2－y 1)＝0， 因此 MR ⊥PQ.(16分)

解后反思 用代数法处理圆锥曲线综合题的常见方法有两种：设点法、设线法．对于本题而言，两种方法都可以，解题时把“设线法”与“直线斜率乘积为－1”结合，把“设点法”与“向量的数量积为0”结合，其实颠倒一下也可行． 题型二 圆锥曲线的离心率问题

知识点拨：求离心率的值关键就是找到a,b,c 之间的关系；求离心率的取值范围问题时，除了要根据条件来确定离心率的取值范围外，不要忘记离心率的本身的范围，即椭圆的离心率在(0，1) 上，双曲线的离心率在(1，＋∞)上 ，这也是求离心率的范围问题的常见错误

例1、(2019南京三模）平面直角坐标系xOy 中，过双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作一条渐近线的

平行线，交另一条渐近线于点P ．若线段PF 的中点恰好在此双曲线上，则此双曲线的离心率为 ▲ ． 【答案】

2

【解析】双曲线的渐近线方程为：b y x a =±

，设右焦点(,0)F c ，过F 与渐近线平行的直线为l ：()b

y x c a

=-，由()b y x a b y x c a ?

=-????=-??

，得：2c x =，则22b c bc y a a =-?=-，所以,22c bc P a ??- ???，

PF 的中点为3,44c bc A a ??- ???

，又点A 在双曲线上，所以2

2

223441c bc a a b ????

- ? ?????-=，化简得222c a =，即2c e a ==.

【变式1】(2017苏北四市一模） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝

1(a ＞b ＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．

【答案】

5－1

2

【解析】因为F (c,0)，B 2(0，b )，B 1(0，－b )，A (a,0)，所以B 2F →＝(c ，－b )，B 1A →

＝(a ，b )．因为FB 2⊥AB 1，所以ac －b 2＝0，即c 2＋ac －a 2＝0，故e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1＋5

2

(负值舍去)．

【变式2】(2017无锡期末） 设点P 是有公共焦点F 1，F 2的椭圆C 1与双曲线C 2的一个交点，且PF 1⊥PF 2，椭圆C 1的离心率为e 1，双曲线C 2的离心率为e 2，若e 2＝3e 1，则e 1＝________. 【答案】

53

【解析】不妨设F 1，F 2分别是左、右焦点，椭圆的长半轴为a 1，双曲线的实半轴为a 2，P 为椭圆与双曲线在

第一象限内的交点，则根据椭圆和双曲线的定义可得????? PF 1＋PF 2＝2a 1，PF 1－PF 2＝2a 2，解得?????

PF 1＝a 1＋a 2，

PF 2＝a 1－a 2

.因为PF 1⊥

PF 2，所以PF 21＋PF 22＝F 1F 22，即(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2＝(2c )2，化简得a 21＋a 22

＝2c 2，所以????a 1c 2＋????a 2c 2＝2，即1e 21＋1e 22＝2，又因为e 2＝3e 1，所以e 21＝59，故e 1＝5

3.

【变式3】(2017常州期末） 已知抛物线

x 2＝2py (p ＞0)的焦点

F 是椭圆y 2a 2＋x 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，若P ，

Q 是椭圆与抛物线的公共点，且直线PQ 经过焦点F ，则该椭圆的离心率为________． 【答案】 2－1

【解析】解法1 由抛物线方程可得，焦点为F ????0，p 2；由椭圆方程可得，上焦点为(0，c )．故p

2＝c ，将y ＝c 代入椭圆方程可得x ＝±b 2a .又抛物线通径为2p ，所以2p ＝2b 2

a ＝4c ，所以

b 2＝a 2－

c 2＝2ac ，即e 2＋2e －1＝0，

解得e ＝2－1.

解法2 由抛物线方程以及直线y ＝p 2可得，Q ????p ，p 2.又p 2＝c ，即Q (2c ，c )，代入椭圆方程可得c 2a 2＋4c 2b 2＝1，

化简可得e 4－6e 2＋1＝0，解得e 2＝3－22，e 2＝3＋22＞1(舍去)，即e ＝3－22＝2－1(负值舍去)．

【变式4】(2018扬州期末）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆x 2＋y 2

－6y ＋5＝0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是________． 【答案】???

?1，32 【解析】由圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0，得圆的标准方程为x 2＋(y －3)2＝4，知圆心C(0，3)，半径r ＝2.因为双曲线x 2a 2－y 2

b 2

＝1(a>0，b>0)的渐近线bx±ay ＝0与该圆没有公共点，则圆心到直线的距离应大于半径，即|b ×0±a ×3|b 2＋a 2

>2，即3a>2c ，即e ＝c a <32，且e>1，故双曲线离心率的取值范围是????1，32.

【变式5】(2018南京、盐城、连云港二模） 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2

－y 2

b

2＝1 (b ＞0) 的

两条渐近线与圆O ：x

2＋y 2＝2的四个交点依次为A ，B ，C ，D.若矩形ABCD 的面积为b ，则b 的值为________． 【答案】 7

【解析】由题意，双曲线C 的渐近线方程为y ＝±bx ，如图所示，两条渐近线与圆O 的四个交点为A ，B ，C ，

D.不妨设点B 的坐标为(m ，n)，则?

????n ＝bm ，m 2＋n 2＝2，解得m 2＝2b 2＋1，而矩形ABCD 的面积为2m ×2n ＝4mn ＝4bm 2

＝

4b ×2

b 2＋1

＝b ，解得b ＝7.

【变式6】(2018苏中三市、苏北四市三调） 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线

22

21(0)12x y b b

-=>的焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为 ．

【答案】23

3

【解析】焦点在x 轴，不妨取焦点坐标为(,0)c ，渐近线方程为b

y x

a =

，即

0bx ay -=，所以焦点到渐近线距离为2

2

bc d b

a b

=

=+,

则

24,1244,b c ==+=所以离线率为

23323

=

.

【变式7】(2019南通、泰州、扬州一调）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a>b>0)的左焦点

为F ，右顶点为A ，上顶点为B.

(1) 已知椭圆的离心率为12，线段AF 中点的横坐标为2

2，求椭圆的标准方程；

(2) 已知△ABF 外接圆的圆心在直线y ＝－x 上，求椭圆的离心率e 的值．

【解】(1)因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为12，所以c a ＝1

2，则a ＝2c.

因为线段AF 中点的横坐标为

22，所以a －c 2＝2

2

. 所以c ＝2，则a 2＝8，b 2＝a 2－c 2＝6. 所以椭圆的标准方程为x 28＋y 2

6

＝1.(4分)

(2)因为A(a ，0)，F(－c ，0)，

所以线段AF 的中垂线方程为：x ＝a －c

2

.

又因为△ABF 外接圆的圆心C 在直线y ＝－x 上， 所以C ??

??

a －c 2

，－

a －c 2.(6分) 因为A(a ，0)，B(0，b)，所以线段AB 的中垂线方程为：y －

b 2＝a

b ????x －a 2. 由C 在线段AB 的中垂线上，得－a －

c 2－b 2＝a b ????

a －c 2－a 2，

整理得，b(a －c)＋b 2＝ac ，(10分) 即(b －c)(a ＋b)＝0.

因为a ＋b>0，所以b ＝c.(12分)

所以椭圆的离心率e ＝c a ＝c b 2＋c

2＝2

2.(14分)

【变式7】(2018苏中三市、苏北四市三调）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22

221(0)

x y a b a b

+=>>

的右焦点为F ，P 为右准线上一点．点Q 在椭圆上，且FQ FP ⊥．

（1）若椭圆的离心率为

1

2

，短轴长为23．

① 求椭圆的方程；

② 若直线OQ PQ ，的斜率分别为12k k ，， 求12k k ?的值．

（2）若在x 轴上方存在P Q ，两点，使O F P Q ，，，四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．

【思路分析】（1）列出关于,,a b c 的方程组，解出,a b 值，从而求得椭圆的方程； （2）设出00(,)Q x y ，抓到FQ

FP ,用直线方程或者向量数量积的方法求出P 点坐标，代入坐标，计算

12

k k ，

结合椭圆方程，把

2

2

0033

4y x 代入，就能求出定值；（3）设出

00()Q x y ，，求出P 坐标，,,P Q F 三点确定以PQ 为直径的圆，要使四点共圆，则第四点O 在圆上，有两种思路：思路1，求出圆方程，将点O 坐标

代入圆方程，思路2，OF 的中垂线经过圆心，求出2

a x c c ，根据

点P ，Q 均在x 轴上方，得到2a a c c c -<-<，

转化为e 的不等式，求出范围. 规范解答 （1）①设椭圆的焦距为2c ，

由题意，得222

1223c a b a b c ?=??

=??=+??

，，，

所以23a b =???=??

，．所以椭圆的方程为22143y x +=．

②由①得，焦点(10)F ，，准线为4x =，

解法1 设(4)P t ，，00()Q x y ，，则22

00143

x y +=，所以22

0334y x =-． 所以00(1)(3)FQ x y FP t =-=，

，，， 因为FP ⊥FQ ，所以003(1)0FQ FP x ty ?=-+=，

所以003(1)ty x -=-

所以0012004y y t

k k x x -?=?-2

00200

4y ty x x -=-

2

00200

333(1)

44x x x x -+-=-34=- 解法2 设00()Q x y ，，则22

00143

x y +=，所以22

0334y x =-， 当01x ≠时，直线FQ 存在斜率，则0

01

FQ y k x =

-， 又FP ⊥FQ ，所以直线FP 的方程为00

1

(1)x y x y -=--， 所以点P 的坐标为00

3(1)

(4)x y --

， 所以02

2

0000

00012220

00000

3(1)333(1)

3(1)344444x y x x y y y x k k x x x x x x -+

-+-+-?=

?===----； 当01x =时，点Q 的坐标为3(1)2±，，点P 的坐标为(40)，

，也满足1234k k ?=-， 所以12k k ?的值为34

-．

（2）解法1 设2

()a P t c

，，00()Q x y ，， 因为FP ⊥FQ ，

则△FPQ 的外接圆即为以PQ 为直径的圆2

00()()()()0a x x x y t y y c --+--=．

由题意，焦点F ，原点O 均在该圆上，所以20020

0()()00a c c x ty c a x ty c ?--+=???+=?，， 消去0ty 得22

00()()0a a c c x x c c

---=，

所以2

0a x c c =-，因为点P ，Q 均在x 轴上方，所以2

a a c c c

-<-<，即220c ac a +->，

所以210e e +->，又因为01e <<， 所以511e -<<．

解法2 因为O ，F ，P ，Q 四点共圆且FP ⊥FQ ，所以PQ 为圆的直径，

所以圆心必为PQ 中点M ， 又圆心在弦OF 的中垂线2

c x =上，

所以圆心M 的横坐标为2

M c x =， 所以点Q 的横坐标为22

2Q M a a x x c c c =-=-．（以下同方法1）

【关联1】(2017南京学情调研）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦

点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点(在x 轴上方)，连结PF 1并延长交椭圆于另一点Q ，设PF 1→＝λF 1Q →

.

(1) 若点P 的坐标为????1，3

2，且△PQF 2的周长为8，求椭圆C 的方程； (2) 若PF 2垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈???

?12，2

2，求实数λ的取值范围．

规范解答 (1) 因为F 1，F 2为椭圆C 的两焦点，且P ，Q 为椭圆上的点，所以PF 1＋PF 2＝QF 1＋QF 2＝2a ， 从而△PQF 2的周长为4a ， 由题意得4a ＝8，解得a ＝2.(2分) 因为点P 的坐标为????1，3

2， 所以1a 2＋9

4b 2＝1，解得b 2＝3.

所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2

3

＝1.(5分)

(2) 解法1 因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，所以可设P (c ，y 0)，y 0＞0，Q (x 1，y 1)．

因为点P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20

b

2＝1，

解得y 0＝b 2a

，即P ????c ，b 2a .(7分)

因为F 1(－c,0)，所以PF 1→＝??

??－2c ，－b 2a ，F 1Q →＝(x 1＋c ，y 1)．

由PF 1→＝λF 1Q →，得－2c ＝λ(x 1＋c )，－b 2a ＝λy 1，解得x 1＝－λ＋2λc ，y 1＝－b 2λa ，所以Q ????－λ＋2λc ，－b 2λa .(11

分)

因为点Q 在椭圆上，所以

????λ＋2λ2e 2＋b 2λ2a 2＝1， 即(λ＋2)2e 2＋(1－e 2)＝λ2，即(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1. 因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e 2＝λ－1， 从而λ＝3e 2＋11－e 2＝4

1－e 2

－3.(14分)

因为e ∈????12，2

2，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5.

所以λ的取值范围为????

73，5.(16分)

解法2 由于PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0.

因为点P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a

，即P ????c ，b 2a .(7分)

因为F 1(－c,0)，所以直线PF 1的方程为y ＝b 2

2ac

(x ＋c )．

联立???

y ＝b 2

2ac

(x ＋c )，x 2

a 2

＋y

2b 2

＝1，

得(4c 2＋b 2)x 2＋2b 2cx ＋c 2(b 2－4a 2)＝0.

因为直线PF 1与椭圆有一个交点为P ????c ，b 2

a ，设Q (x 1，y 1)，则x 1＋c ＝－2

b 2

c

4c 2＋b

2，(11分) 因为PF 1→＝λF 1Q →

，所以λ＝－2c c ＋x 1＝4c 2＋b 2b 2＝3c 2＋a 2a 2－c 2＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3.(14分) 以下同解法1.

解后反思 本题考查解析几何中的范围问题，由于题中已知离心率e 的范围，因此我们可以把λ表示为e 的函数，为此先求得点P 的坐标(这里点P 是确定的，否则设出点P 的坐标)，由向量的运算求得点Q 的坐标，再代入椭圆方程可得关于λ，a ，b ，c 的等式，利用e ＝c

a ，a 2＝

b 2＋

c 2可化此等式为关于e ，λ的方程，解出λ，

即把λ表示为e 的函数，由函数性质可求得λ的范围．本题采用的方法是解析几何中的基本计算，考查了学生的运算能力．

【关联2】(2017扬州期末）如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)，圆O ：x 2＋y 2＝b 2，过椭圆C 的上顶点A 的

直线l ：y ＝kx ＋b 分别交圆O 、椭圆C 于不同的两点P ，Q ，设AP →＝λPQ →

.

(1) 若点P(－3,0)，点Q(－4，－1)，求椭圆C 的方程； (2) 若λ＝3，求椭圆C 的离心率e 的取值范围．

规范解答 (1) 由P 在圆O ：x 2＋y 2＝b 2上，得b ＝3. 又点Q 在椭圆C 上，得(－4)2a 2＋(－1)2

32＝1，解得a 2＝18，

所以椭圆C 的方程是x 218＋y 2

9

＝1.(5分)

(2) 解法1 由?

????

y ＝kx ＋b ，x 2＋y 2＝b 2，得x ＝0或x P ＝－2kb

1＋k 2.(7分)

由?????

y ＝kx ＋b ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x ＝0或x Q ＝－2kba 2

a 2k 2＋

b 2.(9分)

因为AP →＝λPQ →，λ＝3，所以AP →＝34

AQ →

，

所以2kba 2a 2k 2＋b 2·34＝2kb 1＋k 2，即a 2a 2k 2＋b 2·34＝11＋k 2，所以k 2

＝3a 2－4b 2a 2＝4e 2－1. 因为k 2＞0，所以4e 2＞1，即e ＞12，又0＜e ＜1，所以1

2＜e ＜1.(16分)

解法2 A (0，b )，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则有

x 21＋y 21＝b 2

①，x 22a 2＋y 22

b

2＝1 ②.(7分)

又因为AP →＝λPQ →，λ＝3，所以AP →＝34AQ →

，即(x 1，y 1－b )＝34(x 2，y 2－b )．解得x 2＝43x 1，y 2＝43y 1－13

b ，代入

②得16x 21

9a 2＋16y 21－8by 1＋b 2

9b 2

＝1.(9分)

又x 21＝b 2－y 21，消去x 21整理得2(a 2－b 2)y 21－a 2by 1－b 2(a 2－2b 2)＝0，

即[2(a 2－b 2)y 1＋b (a 2－2b 2)](y 1－b )＝0，解得，y 1＝b (2b 2－a 2)

2(a 2－b 2)

或y 1＝b (舍去)，因为－b ＜y 1＜b ，所以－b

＜b (2b 2－a 2)2(a 2－b 2)

＜b ，解得b 2a 2＜34.(14分)

而e 2＝1－

b 2a 2＞1－34＝14，即e ＞12，又0＜e ＜1，所以12

＜e ＜1.(16分) 【关联3】(2016扬州期末）如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，M

在PF 1上，且满足F 1M →＝λMP →

(λ∈R )，PO ⊥F 2M ，O 为坐标原点．

(1) 若椭圆方程为x 28＋y 2

4＝1，且P (2，2)，求点M 的横坐标；

(2) 若λ＝2，求椭圆离心率e 的取值范围．

规范解答 (1) 因为x 28＋y 24＝1，所以F 1(－2,0)，F 2(2,0)，所以k OP ＝22，kF 2M ＝－2，kF 1M ＝2

4.

所以直线F 2M 的方程为y ＝－2(x －2)，直线F 1M 的方程为y ＝

2

4

(x ＋2)．(4分) 由?????

y ＝－2(x －2)，y ＝24(x ＋2)，解得x ＝65，所以点M 的横坐标为65.(6分) (2) 设P (x 0，y 0)，M (x M ，y M )．

因为F 1M →＝2MP →，所以F 1M →＝23(x 0＋c ，y 0)＝(x M ＋c ，y M )，所以M 23x 0－13c ，23y 0，F 2M →＝2

3x 0－43c ，23y 0.

因为PO ⊥F 2M ，OP →＝(x 0，y 0)，所以23x 0－43cx 0＋23

y 20＝0，即x 20＋y 20＝2cx 0

.(9分) 联立方程得?????

x 2

0＋y 2

0＝2cx 0，x 20a 2＋y 20

b 2＝1，消去y 0得

c 2x 20－2a 2cx 0＋a 2(a 2－c 2)＝0，解得x 0＝a (a ＋c )c 或x 0＝a (a －c )c

.(12分)

因为－a 1

2.

综上，椭圆离心率e 的取值范围为1

2，1.(15分)