离散型随机变量的方差(展示课)ppt课件

甲单位不同职位月工资X1/元
获得相应职位的概率P1
1200 0.4
1400 0.3
1600 0.2
1800 0.1
乙单位不同职位月工资X2/元
获得相应职位的概率P 2
1000 0.4
1400 0.3
1800 0.2
2200 0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得
X2
5
6
7
8
9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
10
D X1 (i 8)2 P(X1 i) 1.50 , i 59
D X 2 (i 8)2 P( X 2 i) 0.82 i5
因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击
根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数 分布列为
X1
的
X1 5
6
7
8
9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
第二名同学击中目标靶的环数
X
的分布列为
2
X2
5
6
7
8
9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
应该派哪名同学参赛？
E X1 8 ,
EX2 8
666666
D X (1 3.5)2 1 (2 3.5)2 1 (3 3.5)2 1 (4 3.5)2 1
6
6
6
6
(5 3.5)2 1 (6 3.5)2 1 2.92
6
6
DX 1.71 9
（2）决策问题 例5．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同 而变化的，因此样本的方差是随机变量. 对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来 越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差.
6
、公式运用 1、请分别计算探究中两名同学各自的射击成绩的方差.
X1 5
6
7
8
9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
离散性随机变量的方差
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复习
一、离散型随机变量取值的平均值（数学期望）
X x1 x2 ··· xi ··· xn
P p1 p2 ··· pi ··· pn
E( X ) x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
二、数学期望的性质
E(aX b) aE( X ) b
E X1 12000.4 + 1 4000.3 + 16000.2 + 18000.1 =1400
D X1 (1200-1400) 2 0. 4 (1400-1400 ) 2 0.3 (1600 -1400 )2 0.2
(1800 -1400) 2 0. 1 40 000
3、方差的性质
（1）线性变化
平移变化不改变方差，但是伸缩变化改变方差
D(aX b) a2D X
（2）方差的几个恒等变形
n
D X (xi E X )2 pi i 1
E(X E X )2
E X 2 (E X )2
注：要求方差则先求均值
随机变量 X 的方差.其算术平方根 D X 为随机变量X的标准差5。
3、对方差的几点说明 （1）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值
偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随 机变量偏离于均值的平均程度越小. 说明：随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标
准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标. （2）随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？
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4、应用举例
（1）计算 例4．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数X的均值、 方差和标准差.
解：抛掷骰子所得点数X 的分布列为
X1
2 34 5 6
.
1
1
P
6
;6
1 6
1 6
1 6
1 6
从而 E X 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3.5
成绩稳定性较好，稳定于8环左右.
如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班
应该派哪一名选手参赛？如果其他班级参赛选手的成绩
在7环左右，又应该派哪一名选手参赛？
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2、两个特殊分布的方差
（1）若 X 服从两点分布，则 D X p(1 p)
（2）若 X ~ B(n, p) ，则 D X np(1 p)
看来选不出谁参赛了，
谁能帮帮我？
3
、随机变量的方差
1、定性分析 除平均中靶环数以外，还有其他刻画两名同学各自 射击特点的指标吗？
（1）分别画出 X1 , X 2 的分布列图.
P
P
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
O 5 6 7 8 9 10 X1
O 5 6 7 8 9 X2
E X2 1 0000.4 1 4000.3 1 8000.2 22000.1 1400
D X2
(1000 -1400)2 0. 4 (1 400 -1400)2 0.3 (1800 -1400)2 0.2
…
xn
P p1 p2 …
pi
…
pn
则 (xi E X
的偏离程度.
)2描述了xi
(i
1, 2,..., n)
相对于均值 E
X
n
而 D X (xi E X )2 pi 为这些偏离程度的加权平均，刻画 i 1
了随机变量 X 与其均值 E（X）的平均偏离程度.我们称D（X）为
（2）比较两个分布列图形，哪一名同学的成绩更稳定？
第二名同学的成绩更稳定.
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2、定量分析
怎样定量刻画随机变量的稳定性？
（1）样本的稳定性是用哪个量刻画的？ 方差
（2）能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量
的稳定性呢？
（3）随机变量 X 的方差
设离散型随机变量 X 的分布列为
X x1 x2
…
xi
随机变量的均值与样本的平均值有何联系与区别？ 随机变量的均值是常数，而样本的平均值是随着样本的不同 而变化的，因此样本的平均值是随机变量. 对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来 越接近总体的平均值，因此常用样本的平均值来估计总体的均值.
2
、 探究
要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛.