矩阵n次方的几种求法的归纳

矩阵n 次方的几种求法

1.利用定义法

()

()

,,ij kj s n

n m

A a

B b ⨯⨯==则()

,ij s m

C c ⨯=其1122...ij i j i j in nj c a b a b a b =+++

1

n

ik kj k a b ==∑称为A 与B 的乘积，记为C=AB ，则由定义可以看出矩阵A

与B 的乘积C 的第i 行第j 列的元素等于第一个矩阵A 的第i 行与第二个矩阵B 的第j 列的对应元素乘积之和，且由定义知：第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数要相[]1

同。

例1:已知矩阵34

125310210134A ⨯⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，44

5

130621034510200B ⨯⎛⎫

⎪

⎪

= ⎪

⎪

⎝⎭，求AB

解：设C AB ==()

34

ij c ⨯，其中1,2,3i =；1,2,3,4j =

由矩阵乘积的定义知：

111526533032c =⨯+⨯+⨯+⨯=121122543231c =⨯+⨯+⨯+⨯= 131321553030

c =⨯+⨯+⨯+⨯=14102051305

c =⨯+⨯+⨯+⨯=

21150623101c =-⨯+⨯+⨯+⨯= 22110224129c =-⨯+⨯+⨯+⨯= 23130125107c =-⨯+⨯+⨯+⨯= 24100021102c =-⨯+⨯+⨯+⨯= 310516334015c =⨯+⨯+⨯+⨯= 320112344222c =⨯+⨯+⨯+⨯= 330311354016c =⨯+⨯+⨯+⨯= 34001031403c =⨯+⨯+⨯+⨯=

将这些值代入矩阵C 中得：

C AB ==34

323130519721522163⨯⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

则矩阵A 的n 次方也可利用定义的方法来求解。

2.利用矩阵的分块来求解

这类方法主要是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成，就如矩阵

由数组成的一样在运算中将这些小矩阵当做数一样来处理，再由矩阵乘法的定义来求解这些小矩阵的乘积所构成的矩阵。即设

()

()

,,ij kj s n

n m

A a

B b ⨯⨯==把A ，B 分解成一些小矩阵：

1111l t tl A A A A A ⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭K

M O

M L ，1111

r l lr B B B B B ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

K M O

M L ，其中ij A 是i j s n ⨯小矩阵且1,2...i t =，1,2...j l =，且12...t s s s s +++= ，12...l n n n n +++=；ij B 是j k n m ⨯小矩阵且1,2...j l =，1,2...k r =；且12...l n n n n +++=，

12...r m m m m +++=；令C AB ==1111r t tr C C C C ⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭

K

M O

M L ，其中ij C 是i j s m ⨯小矩阵且1,2...i t =，1,2,...,j r =，且12...t s s s s +++=，

12...r m m m m +++=；其中1122...ij i j i j il lj C A B A B A B =+++。这里我们应注意：矩阵A 列的分法必须与矩阵B 行的分法一[]1

致。

例2：已知矩阵45

100250

1013001280

0006A ⨯⎛⎫ ⎪

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭，52

1

2451

04206B ⨯⎛⎫

⎪ ⎪

⎪=

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求AB 解：将4545

100251

0025010130

10130012800128

000060

0006A ⨯⨯⎛⎫

⎛⎫

⎪

⎪ ⎪

⎪== ⎪ ⎪ ⎪

⎪

⎪⎝⎭⎝⎭11

1221

22E

A A A ⎛⎫

⎪⎝⎭

写成 121245451

010424

20606B ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

1121B B ⎛⎫ ⎪⎝⎭写成，其中11100010001E ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭ 12251328A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()2206A =，11124510B ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪

⎝⎭

，214206B ⎛⎫= ⎪⎝⎭

由矩阵乘积法则知：

AB=1112212111222142

B A B A B A B ⨯+⎛⎫

⎪+⎝⎭

由矩阵加法和乘积法则[]1

知：

42

9368

25AB 952036⨯⎛⎫ ⎪

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

则矩阵A 的n 次方的求解也可利用以上方法来求解。

3．利用数学归纳法求解

这种方法与矩阵定[]1

义和数学归纳[]3

法相结合，从而找出规律再求

解，但是这种方法比较适合低阶且有规律的方阵n 次方的运[]2

算。

例3：已知A=cos sin sin cos θ

θθθ-⎛⎫

⎪

⎝⎭

，求n

A 解：当2n =时

2

cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos θθθ

θθ

θθ

θθθθθ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫

= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

2222

cos 2sin 2cos sin 2cos sin sin 2cos 22cos sin cos sin θ

θθθθθθ

θθθ

θθ-⎛⎫--⎛⎫

==

⎪ ⎪-⎝⎭

⎝⎭ 当3n =时

3

2

cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos θ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫

=

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

cos 2cos sin 2sin cos 2sin sin 2cos cos 2sin sin 2cos cos 2cos sin 2sin θθθθθθθθθθθθ

θθθθ---⎛⎫

=

⎪

+-⎝⎭

cos3sin 3sin 3cos3θθθ

θ-⎛⎫

=

⎪⎝⎭

所以假设n A =cos sin sin cos n n n n θ

θθ

θ-⎛⎫

⎪⎝⎭

当1k =时成立，假设当1k n =-时成立；则当k n =时

1

cos sin cos sin sin cos sin cos n n A θ

θθθθ

θθ

θ---⎛⎫

⎛⎫

=

⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

()()()()cos 1sin 1cos sin sin 1cos 1sin cos n n n n θθθ

θθθθ

θ---⎛⎫-⎛⎫

=

⎪

⎪--⎝⎭

⎝⎭