N892-材料力学-第十二讲-弯曲切应力与强度条件

解：
Sz ,max
(
b 2
yC )2
9.03 105
m3
max
FS Sz ,max
I z
7.66 MPa
Sz ,a
b
(b 2
-
yC
)
8.40 10-5
m3
a
FS Sa
I z
7.13
MPa
22
例 3-4 已知梁段剪力FS，试分析铆钉之受力
解：
2F'S F2 F1
23
F'S
F2
2
F1
F1
FSh(4b
8Iz
h1 )
下翼缘的剪流均指
向腹板；上翼缘的剪流
均背离腹板
腹板上的剪流与剪
力 FS 同向
“视”截面如管道，
“视”剪流如管流，连
续流动；由qw推及其他
19
例 3-2 确定闭口薄壁圆截面梁的切应力分布
解：1. 问题分析 2. 切应力分析
切应力分布对称于 y 轴，A 处切 应力为零,等价于开口薄壁截面
N
-
F A
M
Myz Iy
Mz y Iz
F Fez z Fey y
A Iy
Iz
Mz Fe y
47
截面核心
偏心压缩的中性轴
F Fez z Fe y y
A Iy
Iz
F Fez z Fe y y 0
A Iy
Iz
1 ez z ey y 0－中性轴方程
A Iy Iz
偏心距愈小，中性轴离形心愈远
49
例题
例 6-1 F = 10 kN，l = 2 m，e = l / 10， 30， 160
MPa，选择工字钢型号
解：1. 计算简图
FC Fx Fcos30
Fy Fsin30
Me eFcos30
50
2. 内力分析
3. 截面型号初选
FNA M A [ ]
A Wz
按弯曲强度初步设计
EI z
（EI
－截面弯曲刚度）
z
正应力公式： ( y) My
Iz
max
M Wz
（Wz－抗弯截面系数）
应用条件： max p ，对称wk.baidu.com曲, 纯弯与非纯弯
2
截面几何性质
• 截面形心、静矩 • 惯性矩 • 组合公式，平行移轴定理
0 A1 A2
y
z
Sz
S (整) z
S(孔) z
yc
S (整) z
37
梁的合理截面形状
将较多材料放置在远离中性轴的位置，并注意塑性
与脆性材料的差异
塑性材料梁
脆性材料梁
上下对称
yc [ c ] yt [ t ]
38
注重弯曲强度，兼顾腹板的剪切强度与稳定性
腹板不能过薄，以避免剪切破坏与失稳
39
变截面梁与等强度梁
M ( x) [ ]－弯曲等强条件
W ( x) M( x) Fx W ( x) bh2( x)
28
梁强度条件的选用
细长非薄壁梁
max max max [ ]
短而高梁、薄壁梁、 M 小 FS大的梁
max [ ] max [ ]
考虑 , 联合作用的强度条件
29
例题
例 4-1 简易吊车梁，F =20 kN，l = 6 m，[] = 100 MPa ， [] = 60 MPa，选择工字钢型号
2Iz
2. 腹板剪流计算
qw
FSSz ( y) Iz
Sz (
y)
b
h 2
1
h 2
y
1 2
h 2
y
qw (
y)
FS Iz
bh
2
1
2
h2 4
y2
17
3. 剪流方向判断
dF2 0 w 与 FS 同向
FS 0 dM 0
dF1 0 f 指向腹板
18
4. 剪流分布图
qw,max
危险点－ a, b, c
a
MD y2 Iz
-59.8 MPa
b
MD y1 Iz
28.3 MPa
c
MB y2 Iz
33.6 MPa
c,max a 59.8 MPa c t,max c 33.6 MPa t
33
例 4-3 Fy =Fz =F = 1.0 kN，a = 800 mm，截面高 h = 80
ymax
55
F
dA
My dA
Iz
MSz ( )
Iz
(s) 1 dM Sz ( ) (s) dx Iz
(s) FSSz ( ) Iz (s)
Sz-截面 对 z 轴的静矩 Iz- 整个截面对 z 轴的惯性矩
14
盒形薄壁梁弯曲切应力
( y) FSSz ( ) FS Iz 2 16Iz
b(h02 - h2 ) 2 (h2 - 4 y2 )
5
§3 弯曲切应力
矩形截面梁弯曲切应力 工字形等薄壁梁弯曲切应力 弯曲正应力与切应力比较 例题
6
矩形截面梁弯曲切应力
儒拉夫斯基（Jourawski）的贡献
1842年毕业于圣彼得堡交通 工程学院；1844年负责设计 并制造横跨维列比亚河的大 桥，9跨，每跨180英尺，距 水面170英尺，采用高度很大 的木梁，木组合梁。 判断：梁内切应力非常重要 ，不能忽略。
解：1. 内力分析
30
FS
(
)
(l
l
)F
FS,max FS (0) F
M
(
)
F
1
l
M max
Fl 4
2. 按弯曲 条件选截面
Wz
Fl
4[ ]
3.0 104
m4
选 №22a, Wz=3.09×10-4 m4
3. 校核梁的剪切强度
max
F
Iz
14.11 MPa [ ]
Sz ,max
( ) FSSz ( ) I z
20
Iz R03
Sz ( )
ydA
Sz ( )
0
R0cos
R0d
R02sin
( ) FSSz ( ) FSsin
I z
R0
max
FS
R0
21
例题
例 3-3 FS = 15 kN，Iz = 8.8410-6
m4，b = 120 mm， 20 mm， yC = 45 mm，求 max、腹板与翼缘交 接处切应力 a
AdA 0 (b)
A ydA M (c)
(a)(b)
A ydA 0
中性轴通过截面形心
yC
A
ydA A
0
(a)(c)
E
A
y2dA
M
1 M (d)
EIz
Iz A y2dA－惯性矩
(d)(a)
( y) My
Iz
max
Mymax Iz
M Iz
max
M Wz
Wz
Iz ymax
抗弯截 面系数
6 h( x) 6Fx
b[ ]
3FS ( x) [ ]－剪切等强条件
2bh( x)
FS ( x) F
h(
x)
3F
2b[
]
h1
等强度梁－各截面具有同样强度的梁
40
41
梁的合理受力 合理安排约束
a=? [F] 最大
42
合理安排加载方式
43
§6 弯拉(压)组合与截面核心
弯拉(压)组合的应力 偏心压缩应力 截面核心 例题
11
薄壁梁弯曲切应力公式
y、z 轴－主形心轴
假设
切应力平行与中心线切线 切应力沿壁厚均匀分布
12
弯曲切应力公式
推导 详见
(s) FSSz ( ) Iz (s)
Sz-截面 对 z 轴的静矩
Iz- 整个截面对 z 轴的惯性矩
13
Fx 0, (s) (s)dx dF
(s) 1 dF (s) dx
15
弯曲正应力与切应力比较
max
Fl bh2
6Fl bh2
6
max
3F 2 bh
max max
6Fl bh2
2bh 3F
4
l h
当 l >> h 时，max >> max
16
例题
例 3-1 确定工字形截面梁的剪流分布
解：1. 翼缘剪流计算
qf
FSSz ( )
Iz
FS Iz
h 2
FSh
( y) 1 dF
b dx
F
dA
M Iz
y * dA
MSz ( )
Iz
Sz()－面积 对中性轴 z 的静矩
( y) Sz ( ) dM
bIz dx
( y) FSSz ( )
Izb
9
( y) FSSz ( )
Izb
Sz ( )
b
h 2
y
1 2
h 2
y
b h2 y2 2 4
+
=
危险点 －d, f 分别作用t,max与c,max, 且数值相等
max
M yA Wy
M zA Wz
2Fa hb2
6
Fa 6 bh2
146.5 MPa
4. 强度校核 危险点处于单向应力状态 max [ ]
36
§5 梁的合理强度设计
梁的合理截面形状 变截面梁与等强度梁 梁的合理受力
M1 S z Iz
S z －上翼板对
中性轴 z 的静矩
2F'S F2 F1
F2
M2 S z Iz
M2 M1 FSe
F'S
FSe S 2Iz
z
24
§4 梁的强度条件
梁危险点处的应力状态 梁的强度条件 强度条件的应用 例题
25
梁危险点处的应力状态
实心与非薄壁截面梁
a, c 点处－单向应力
44
弯拉(压)组合的应力
实例
弯拉组合 （横向载荷＋轴向载荷）
偏心拉伸 （外力平行 与偏离轴线）
45
弯拉（压）组合分析
内力－FN，M
N
F A
M
M max Iz
y
N M
F Mmax y A Iz
max
F A
Mmax Wz
危险点处－单向应力
max [ ]
46
偏心压缩应力
外力向形心简化 弯压组合 M y Fez
第5(2)章 弯曲应力
本章主要研究： 梁的弯曲正应力 梁的弯曲切应力 梁的强度分析与设计 弯拉(压)组合问题
1
弯曲正应力回顾
表面变形观察
( y) E y (a)
平面假设
AdA 0 (b)
y
A ydA M (c)
中性轴位置： 中性轴过截面形心
中性层曲率： 1 M （Iz－惯性矩）
C
F bh
6Fez hb2
6Fe y bh2
0
6ez 6e y 1 bh
第1象限内截面核心之边界－直线 1-2
52
2. 其余象限内截面核心之边界
D
F bh
6Fez hb2
6Fe y bh2
0
6e z b
6e y h
1－边界2-3
同理：得边界 3-4 与 4-1
53
谢谢
54
E y (a)
M A [ ]
Wz
Wz
MA
[ ]
5.17 105
m4
选 №12.6, Wz=7.75×10-4 m4 , A=1.81×10-3 m2
4. 校核与修改设计
max
FNA A
MA Wz
111.5
MPa
[ ]
№12.6 满足强度要求，否则修改设计
51
例 6-2 确定矩形截面的截面核心
解：1. 第 1 象限内截面核心之边界
mm，截面宽 b = 40 mm，[] = 160 MPa ，校核梁强度
解：1. 问题分析 分别位于x-y 与x-z 平面的两个对称弯曲的组合 用叠加法求解
34
2. 内力分析 Fy =Fz =F
危险截面 －截面A
M yA 2Fa, MzA Fa
35
3. 应力分析
M yA 2Fa, MzA Fa
Iz
bh3 12
(
y)
3FS 2bh
1
4 y2 h2
可否取上部 计算，结论是 否相同？
max
3 FS 2A
10
截面翘曲与非纯弯推广
切应力非均布 切应变非均布 截面翘曲
当FS=常数时，ab = a'b' ，弯曲 仍保持线性分布 当梁上作用横向分布载荷时，只要 l > 5h，纯弯
公式仍足够精确
48
截面核心概念
当中性轴与横截面边缘相切 时，截面上各点处仅受压。
中性轴 1 对应外力作用点， 中性轴 2 对应外力作用点 ， 点、点、点构成一封闭 边界，当外力作用于边界内时， 横截面上各点处仅受压。
使横截面仅受压之偏心压力 作用点的集合，称为截面核心
脆性材料杆偏心承压时，外力作用点宜控制在截面核 心内。
31
例 4-2 铸铁梁， y1 = 45 mm，y2 = 95 mm，[t] = 35 MPa ，[c] = 140 MPa，Iz =8.8410-6 m4，校核梁的
强度
解：
危险截面－截面 D, B
MD－最大正弯矩 MB－最大负弯矩
32
截面B
截面D
MD MB , ya yd a d
b 点处－纯剪切
26
薄壁截面梁
d
a 点处－纯剪切 c , d 点处－单向应力
b 点处－ , 联合作用
27
梁的强度条件
弯曲正应力强度条件： max [ ]
max 最大弯曲正应力 材料单向应力许用应力
弯曲切应力强度条件： max [ ]
max 最大弯曲切应力 材料纯剪切许用应力 , 联合作用强度条件 （详见第8章强度理论）
断定：固定端mn上法向应力有使OO 面产生剪切的趋势。
T maxbh 3Ql
4
2h
T 3Q
lb 2 bh
7
矩形截面梁弯曲切应力
问题 狭窄矩形截面梁(h>b)，分析其弯曲切应力分布
假设 (y) // 截面侧边，并沿截面宽度均匀分布
思路 由正应力的差确定切应力 8
矩形截面梁弯曲切应力
Fx 0, 'bdx dF
A(整)
S(孔) z
A(孔)
负面积法
3
弯曲正应力的另一种推导
根据平面假设，令
a by A By
A dA 0
A y dA M
4
第5(2)章 弯曲应力
§1 弯曲正应力 §2 惯性矩与平行轴定理 §3 弯曲切应力 §4 梁的强度条件 §5 梁的合理强度设计 §6 弯拉(压)组合与截面核心