【学习课件】第10章期权定价模型
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➢ 这里我们将首先证明,在标的证券或标的资产的未来收 益率分布业已固定的情况下,一个买入期权的价格是其 标的证券或标的资产的价格的增函数和凸函数。
➢ 第一个证明是:看涨期权的价格vj (pj, k)是pj的增函数, 并且如果 >k~x的j 概率严格为正,则vj (pj, k)是pj的严格 增函数。
➢ 第二个证明是:vj (pj, k)是pj的凸函数。
➢ 一个必须执行的,以执行价格k在时期1购买1个单位的标
➢ 的当证存券在j一的个义严务格,正其值现的值概为率pj使– k得/~x(1j +r严f)。格小于k时,不用
执行购买的选择权就具有严格正的价值。
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从纯粹市场套利的观点来讨论的期权 价格的一些性质
➢ 一支期权的价格是其执行价格的凸函数。可以证明,这个 性质在更加一般的条件下也成立,也即
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证券定价的两个基本方法: 均衡方法和无套利方法
➢ 均衡是从相互作用的经济行为主体的活动中产生,所以需要对经 济主体效用函数作出假设。经济行为主体的效用函数被假定为是 具有相同谨慎度B的线性风险容忍效用函数,并且假定经济行为 主体的初始收入只是交易证券。
➢ 无套利方法是基于无套利原理──在没有套利机会的金融市场中, 两个期末收益相同的证券在任一时刻的交易价格应该相等。它只 对价格进行比较,所以与行为主体效用函数无关。不管什么样的 效用主体,只要市场是完全和有效的,则其价格关系必须满足无 套利原理。
➢当B = -1/2时,代表性的经济行为主体时期1的消 费的效用函数为三次函数
u1(z)32(A12z)3
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从纯粹市场套利的观点来讨论的期权 价格的一些性质
➢ 由期权的性质我们可以判断期权的现时价格
vj(pj,k)mapx j [1 krf ,0]
并不依赖于经济行为主体的效用函数和标的证券的未来收 益分布。 ➢ 以上严格不等式背后隐含的直观经济含义如下:
➢ 进一步假设 ~x j 和 C~ 服从二维对数正态分布。
wenku.baidu.com
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➢ 求得布莱克-舒尔斯(Black-Scholes)期权定价公式 如下:
v j(p j,k ) p jN ( Z kj) ( 1 r f) 1 k( Z N k )
Zk lnp(j /k)jln1 (rf)1 2j
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几点说明:
《现代金融经济学》
第10章 期权定价模型
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本章大纲
➢ 复合证券和衍生证券的定价原则 ➢ 布莱克—舒尔斯(Black-Scholes)期权定价公式 ➢ 期权定价公式的应用
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10.1 复合证券和衍生证券的定价原则
➢ 前提假设:
➢ 经济行为主体及其效用函数的假设
➢ 证券市场组成的假设
➢ 证券市场的均衡消费配置是帕累托最优的
➢ 这就是说,只要期权是按照关系式(10.32)和(10.35)式定价的,那 么,在经济处于均衡时,引入一个买入期权,初始的均衡就不会 遭到破坏。
➢ 期权的定价使得在均衡时的经济中没有一个行为主体对其有所需 求。在这样的背景下,期权在经济均衡时就没有配置资源的作用, 因而有时就被称为多余证券或资产。
即在证券市场均衡时,证券j 的风险补偿和市场组合的风险 补u1偿'(M 成~)比的例协。方其差比之例比系数等于rj和 u1'(M~) 的协方差与rm和
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4
效用函数为幂函数时的定价关系
➢假设经济行为主体在时期1的效用函数为幂函数
ui(z)B11(Ai B)z11/B
➢当B = -1时,经济行为主体的效用函数为二次效用 函数,上式变为我们所熟悉的CAPM关系式。
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布莱克-舒尔斯(Black-Scholes)期权定价公式的 推导
➢ 前提假设
➢ 两期的证券市场经济
➢ 经济行为主体的效用函数如关系式(10.12)所定义
➢
A I
i1 i
0
➢ 在时期0,我们赋予经济行为主体消费物品和市场交
易证券
➢ 选择一个代表性的经济行为主体,使其效用函数为幂
函数 u 0z0 u 0z0 1 1 B z1 0 B1 1 B z1 1 B
v j(p j,k ) ( 1 ) v j(p j,k ˆ ) v j(p j,k ),
➢ 一支标的资产为正值权重的证券组合,执行价格为k的期 权,其价值要小于以组合中的证券为标的资产,执行价格 同样为k 的相同权重的期权组合的价值。
J
v* p*,k jvj(pj,k)
j1
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10.2 布莱克-舒尔斯期权定价公式
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➢ 无套利原理的核心思想是我们能用交易的证券完全复制一个证 券,并因此给该证券定价。但无套利方法并不总是可以使用, 有时我们无法使用无套利方法。但却可以使用均衡方法。
➢ 均衡方法为分析市场和证券定价提供了更一般的框架,也是一 以贯之地在本书中得到体现和强调的思想逻辑主线。该方法把 证券的价格更多地与基本经济概念联系起来,即使是最简单的 确定性模型,也可导出资产价格关于经济参数的表达式。正是 在这种意义上,均衡方法比无套利方法更基本,因为后者假定 价格是给定的,而均衡方法则可以说明价格的起因。
➢ 期权定价公式是在一种特定假设的经济中推导的,在这种经济中, 经济行为主体的效用函数是具有相同谨慎度B的线性风险容忍效 用函数,并且假定经济行为主体的初始收入只是交易证券。
➢ 在市场均衡时,每个经济行为主体都持有一支无风险证券和市场 组合构成的线性组合,并且实现了帕累托最优。这样,如果一个 以某支证券为标的的买入期权被引入经济中,在市场均衡时就没 有人需要这支期权。
也即风险证券j的风险补偿为正值的充分必要条件是其时期1
的随机收益与时期1的总财富正相. 关。
3
+ (10.9) ➢ E [ r m r f] ( 1 r f) C ( r m , u o 1 '( M ~ ) / v u 0 '( C 0 ))
E [rjrf]C C((o r o rm j,,u u v v 1 1''((M M ~ ~))E ))[rmrf]
➢ 在以上假设下,我们可以构建一个具有严格凹的增效用函数
u0 和u1 的代表性经济行为主体。并由此推导出证券的风险补 偿均衡关系:
利用效用函
E [ r j r f] ( 1 r f) C ( r j,u 1 o '( C ~ ) / u v 0 '( C 0 ))
数的特点
E [ r j r f] ( 1 r f) C ( r j , u 1 o '( M ~ ) / v u 0 '( C 0 ))