九年级数学锐角三角函数(正弦)

B
BC AB2 AC 2 122 52 119
A
5
C
因此
sin A
BC 119 AB 12
sin B
AC 5 AB 12
求sinA就是 要确定∠A的对 边与斜边的比； 求sinB就是要确 定∠B的对边与 斜边的比
练习
根据下图，求sinB的值． 解： （1）在Rt△ABC中，
B' B 30m A C 50m C'
A的对边 B' C ' 1 , 斜边 AB' 2
AB'＝2B ' C ' ＝2×50＝100
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形 1 的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 2
A 如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝ 90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜 边的比 BC ，你能得出什么结论？
AC 解：在Rt△ABC中，sin B AB
在Rt△BCD中， sin B
C
CD BC
A D B
因为∠B=∠ACD，所以
来自百度文库
求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以 转化为求和它相等角的正弦值。
AD sin B sin ACD AC
练一练
1.判断对错:
BC √ ） 1) 如图 (1) sinA= （ AB
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
Ｆ
Ｅ
例题示范
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值． 解： （1）在Rt△ABC中， B 3 A 4 C
AB AC2 BC2 42 32 5
求sinA就是 要确定∠A的对 边与斜边的比； 求sinB就是要确 定∠B的对边与 斜边的比 因此
BC 3 sin A AB 5
A
C
A'
C'
在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以 Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
BC AB B' C ' A' B'
BC B' C ' AB A' B'
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角 形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．并且直角 三角形中一个锐角的度数越大，它的对边与斜边的比值越大
正弦函数
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比 值叫做∠A的正弦（sine），记住sinA 即 B
A的对边 a sin A 斜边 c
A 例如，当∠A＝30°时，我们有
斜边
c
a 对边
∠A的邻 C 边b
sin A sin 30
当∠A＝45°时，我们有
1 2
2
综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的
对边与斜边的比都等于 1 ，是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A的 对边与斜边的比都等于 2 ，也是一个固定值.
2
2
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对 边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究
任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α， BC B' C ' 那么 与 有什么关系．你能解释一下吗？ AB A' B ' B' B
新沪科版九年级数学(下册)第二十四章
§28.1 锐角三角函数
意大利的伟大科学家C 伽俐 ． 略，曾在斜塔的顶
层做过自由落体运动的实 验.
B
“斜而未倒”
AB=54.5m BC=5.2m
α
A
情 境 探 究
问题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设 水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得 斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么 需要准备多长的水管？ B
B
m
AB BC 2 AC 2 m2 n2
A
n
C
因此
AC n n m2 n 2 sin B 2 2 AB m2 n 2 m n
求sinA就是 要确定∠A的对 边与斜边的比； 求sinB就是要确 定∠B的对边与 斜边的比
练习
如图，Rt△ABC中，∠C=90度，CD⊥AB，图中sinB可由哪 两条线段比求得。
BC (2)sinB= （×） AB
B 10m 6m C
(3)sinA=0.6m （×） (4)SinB=0.8 （√ ） BC 2)如图，sinA= （× ） AB
A
sinA是一个比值（注意比的顺序），无单位；
练一练 2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大
100倍，sinA的值（ C
A.扩大100倍
AC 4 sin B AB 5
（2）在Rt△ABC中， 因此
sin A
2
BC 5 AB 13
2 2 2
B
13 5 A
AC AB BC 13 5 12
sin B
AC 12 AB 13
C
练习
根据下图，求sinA和sinB的值． 解： （1）在Rt△ABC中，
）
1 B.缩小 100
C.不变
3.如图 A B 3
D.不能确定
则 C
1 2 sinA=______
.
300
7
小结
如图，Rt△ABC中，直角边AC、BC小于斜边AB， B
BC sin A ＜1 AB AC sin B ＜1 AB
A C
所以0＜sinA ＜1, 0＜sinB ＜1, 如果∠A ＜ ∠B,则BC＜AC , 那么0＜ sinA ＜sinB ＜1
本节课你有什么收获呢？
小结
拓展
1.锐角三角函数定义: sinA= Sin300
∠A的对边 斜边
回味无穷
斜边
B
∠A的对边 A ┌ C
1 = 2
sin45°=
2 2
2.sinA是∠A的函数.
3.只有不断的思考,才会有新的发现;只有 量的变化,才会有质的进步.
AB
C
B
在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等 腰直角三角形，由勾股定理得
AB AC BC 2 BC
2 2 2
2
AB 2BC
因此
BC BC 1 2 AB 2 2 BC 2
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角 形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 2
在图中 ∠A的对边记作a
2 sin A sin 45 2

∠B的对边记作b ∠C的对边记作c
1、在Rt△ＡＣＢ，Rt△ＤＥＦ中，∠Ｂ＝300， ∠Ｄ＝450， ∠Ｃ＝900，∠Ｆ＝ 900， 若ＡＢ＝ＤＥ＝２， （１）求∠Ｂ的对边与斜边的比值； （２）求∠Ａ的对边与斜边的比值； （３）求∠Ｄ的对边与斜边的比值．
A
C
分析： 这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， BC＝35m，求AB 根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即
A的对边 BC 1 斜边 AB 2
可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管．
在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的 水管？
B
3
AB AC 2 BC 2 52 32 34
A
5
C
因此
BC 3 3 34 sin A AB 34 34
AC 5 5 34 sin B AB 17 34
求sinA就是 要确定∠A的对 边与斜边的比； 求sinB就是要确 定∠B的对边与 斜边的比
练习
根据下图，求sinA和sinB的值． 12 解： （1）在Rt△ABC中，