第四章古代印度和阿拉伯数学

当我们不能用数学的圆规和经验的火炬时，… … 肯定的，我们连一步也不能向前迈进。

--------沃尔泰（法）

代数是搞清楚世界上数量关系的智力工具。

--------A.N.怀特海(法)

第4章古代印度与阿拉伯的数学

§4.1 古代印度数学

§4.2 中世纪阿拉伯数学

§4.1 古代印度数学

一、古代印度历史文化简述

印度位于喜马拉雅山南麓的印度河、恒河流域的南亚次大陆。（我国汉代史籍称之为“天竺”、唐代改译为“印度”），印度文明可远溯至公元前3000年，印度的主要原始居民达罗毗荼人创造了古老的哈拉帕文化。他们发展了相当水平的农业（其中植棉在世界上最早）、手工制造业和畜牧业，还建立了许多规模宏大的城市。在公元前2000年左右属于印欧语系的雅利安人部落从中亚高原南下，入侵印度，征服达罗毗荼人，哈拉帕文化开始走向衰亡。公元前1000年左右，印度开始进入奴隶制社会，南亚次大陆共出现20个左右奴隶制小型国家，互相征战，争夺霸权。

公元前6世纪，以恒河流域为中心的北印度逐步形成一个奴隶制君主专制的统一国家摩揭陀王国。到公元前四世纪末，发展为强盛的孔雀王朝（约公元前324～前185年）。在此期间，印度曾不断遭受外族入侵。公元前500多年，波斯帝国曾将印度部分土地并入它的版图；公元前327年，亚历山大大帝入侵旁遮普，在此建立了马其顿人的莫尔雅帝国。公元一世纪，大月氏人（原为我国甘肃敦煌一带的游牧民族）征服整个印度河流域，并将它们并入贵霜帝国。虽然公元四世纪至五世纪初，印度的笈多王朝（320～540）兴起，重新确立对印度西北部的统治，但从五世纪中叶开始，印度又相继遭受匈奴人、阿拉伯人、突厥人和蒙古人的侵占。这一切都使得古印度文明呈现东西方文明交错的

多元化复杂背景。

古代印度的数学主要起源于农业（天文观测）和宗教。印度是世界上宗教发展最早且最发达的国家，早在公元前一千多年，雅利安人为维护奴隶主统治就创立了婆罗门教（公元4世纪后改为印度教）。公元前6世纪，又兴起佛教（北印度）和耆（qi）那教(东印度)。宗教促进了数学的发展，如庙宇、祭坛的设计与测量都需要大量几何知识和代数计算。印度数学最早有文字记录的内容散见于婆罗门教的经典《吠陀》，如《绳法经》。

由于印度古代为象形文字，很难破译，且没有纸。其文字除少数刻在石头、竹木片或铜器上外，大量写在白桦树皮和棕榈叶上（唐玄奘（602～～664）去印度取来的佛经，几乎都是叶子写的），很难保存，故公元前的数学史料几乎很

少，甚至7世纪以前的数学也缺乏可靠依据。11世纪中国造纸术传入印度后，才出现纸写的典籍。

古代印度数学可分为三个时期：河谷文化时期（公元前3000～前1400）、吠陀时期（公元前10世纪～3世纪）、悉檀多时期（5世纪～12世纪）。其中，印度古代数学的高潮为悉檀多时期。

二、古代印度的主要数学家

1、阿耶波多（Aryabhata，又称圣徒，约476～550）

阿耶波多是现今所知印度最早的数学家，以天文数学著作《阿耶波多历数书》（499）

传世，主要贡献是对希腊三角学的改进和一次不定方程的解法。

2、婆罗摩笈多（Brahmagupta ，又称梵藏，约598～665）

主要著作：天文著作《婆罗摩修正体系》（628）和《肯德卡迪亚格》（约665）其中

含大量数学内容。

3、摩河毗罗（Mahavira ，又称马哈维拉，9世纪）

主要著作《计算方法纲要》，首次把数学从天文学中独立出来，是第一部系统的数学专

著。

4、婆什迦罗：（Bhaskara ，1114～1185?）

婆什迦罗是印度古代和中世纪最伟大的数学家和天文学家，主要数学著作《莉拉沃

蒂》和《算法本源》，前者主要包括算术计算、几何计算、代数方程和组合问题；后者主要

是算术和代数著作。

三、古代印度数学的主要贡献：

1、发明世界通用的阿拉伯数码及十进制计数法：

（1）现在通用的阿拉伯数码： 1，2，3，4，5，6，7，8，9，0是印度人发明的，它是印

度梵文数码经千年演变而成，后经阿拉伯人传入西方并通用于全世界，故应称“印度－阿拉

伯数码”。

尤其是数码“0”的发明是印度人的贡献。1881年在印度西北一个叫巴克沙里的村

落出土的白桦树皮残简（称“巴克沙里手稿”）中已开始用“•”表示零（约4～5世纪）。在佛

教和耆老教手稿中已出现“0”的记号（估计为公元6世纪，至迟7世纪）。“0”不仅表示空位，

还是一个中性数。

（2）十进制的计数法是印度数学的另一重要成就。公元二世纪的一部宗教经典说：“从单位

起算，高一位是前一位的十倍。” 巴克沙里手稿及以后的文献开始普遍使用这一记法。

2、建立使用分数、无理数、负数及方程为代表的代数学

（1）巴克沙里手稿中把分子记在分母之上，无分数线，带分数的整数部分又置于分子之上。

（2）婆罗摩笈多给出分数的四则运算法则，分数加减时以“分母相乘为公分母。”

婆罗摩笈多在628年左右正确给出了负数的四则运算法则，婆什迦罗把负数叫“负

债”或损失。并在数码上加一点表示负数，并指出：“正数的平方根有两个，一正一负”，“负

数没有平方根”。

开平方，开立方最早见于《阿耶波多历数书》，把被开方数看成正方形面积或体积，

开方只是求边长，开方开不尽时用近似值表示，吠陀时代取 巴克沙里手稿取

还给出了

说明印度数学计算技术高度发达，婆什迦罗对无理数的加、减、乘、除及开平方一一给出法

1,21a a =+

+,2r a a ==

+1111 1.414256863343434=+++=⋅⋅⋅⋅